21.1 认识一元二次方程&21.2 一元二次方程的解法（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 一知识梳理 一元二次方程 整式方程中都只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ,这样的方 的概念 程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式是ax2十bx十c=0(a,b,c是已知数，a 0),其中a, 一般形式 b,c分别叫做 苏 针对训练 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程 (2)5x(x-2)=4x2-3.x; 的是 ( ) A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=9 D.x2+xy-2=0 2.将一元二次方程(3x一1)2=5x化为 般形式后，二次项系数为9，则其一次项 系数为 ( (3)(3x-2)(x十1)=8x-3. A.1 B.-1 C.-11D.11 3.已知关于x的一元二次方程x2+mx一 8=0的一个根为2，则m的值为( A.1 B.-1 C.-2D.2 4.若关于x的一元二次方程(m一1)x2+ 2x+m一1=0的常数项为0，则m的 6.根据下列问题列方程，并判断所列方程 值为 是否为一元二次方程 5.把下列一元二次方程化为一般形式，并 (1)两个相同的正方形面积之和为3，求 写出它的二次项系数、一次项系数和常 这两个正方形的边长y; 数项 (2)一个矩形门框的宽比长少1，面积是 (1)2x2=1-3.x; 5,求矩形的宽x. ·5· 21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 一知识梳理 一般地，对于方程x2=p. 直接开平方法 (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=一√币，x2=√币， 解方程x2=p 此法也叫做直接开平方法； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x=0; (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有x≥0，所以此方程无实数根 用直接开平方法解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两 直接开平方法 个一元一次方程 √针对训练 1.一元二次方程x2=25的根是( (2)9x2=25; A.x1=5,x2=0 B.x1=x2=-5 C.x1=x2=5 D.x1=5,x2=-5 2.已知b<0,则关于x的一元二次方程 (x一1)2=b的根的情况是 ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 (3)(x-5)2-36=0; 3.若关于x的方程2x2=m十4可以用直 接开平方法求解，则m的取值范围是 4.若x=3是一元二次方程x2-p=0的一 个根，则力的值是 ,方程的另一个 (4)9(x+1)2=16. 根是 5.解下列方程： (1)x2-3=0; ·6· 第2课时因式分解法 √知识梳理 不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的形式， 因式分解法 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因 式分解法 (1)将方程的一边化为0； 用因式分解法 (2)将方程另一边分解成两个一次因式的积的形式： 解一元二次方 (3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程； 程的步骤 (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 针对训练 1.方程(x-3)(x十2)=0的根是( (2)x(x-5)=8(5-x); A.x1=-3,x2=-2B.x1=-3,x2=2 C.x1=3,x2=-2 D.x1=3,x2=2 2.爸爸在检查小亮的作业时，发现他有一道 解一元二次方程的题做错了. 小亮的解题过程如下：(x十1)(x一3)= 2x-6. (3)(x-3)2-9(x-3)=0: 解：(x十1)(x-3)=2(x-3)①，x+1= 2②，x=2一1③，x=1④.则他开始出错的 步骤是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.一个三角形的两边长分别是2和4，第三 边的长是方程x(x一2)一3x=0的解， 则这个三角形的最长边为 (4)x(x+4)=8x+12. 4.用因式分解法解下列方程： (1)5x2+3.x=0; ·7 21.2.2配方法 √知识梳理 配方法解方程的依据 a2±2ab+b=(a±b)2 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边 配方法 是一个 ,从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程 的方法叫做配方法 配方法解方程的一般步骤 一移；二化；三配；四开 针对训练 1.若方程x2一kx十9=0的左边是完全平 6.用配方法解下列方程： 方式，则及的值是 (1)x2-4x-3=0; A.±6 B.6 C.±12 D.4.5 2.用配方法解方程x2一2x=1,应在方程 两边同时加上 A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.用配方法解方程2x2一12x十9=0，下列 配方正确的是 (2)3x2-6x-5=0. A.(x-3)2= B.(x-3)2= 9 4 C.2(x-3)2= 9-2 D2x-3yP=号 4.填空，将左边的多项式配成完全平方式： a++=+ (2)x2-6x+=(x-)2. 5.若方程x2-8x-3=0可配方成(x十m)= n的形式，则m一n的值是 ·8· 21.2.3公式法 √知识梳理 求根公式 一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的求根公式为 (1)把方程化为一般形式； 公式法解方程 (2)确定a,b,c的值（注意各项系数的符号）； 的一般步骤 (3)计算b-4ac的值.当b2-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式进行计算； 当b2-4ac<0时，方程无实数根 √针对训练 1.用公式法解方程x2-2=一3x时，a,b,c (2)2x2+3=7x; 的值分别是 ( A.0,-2,-3 B.1,3,-2 C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 2.一元二次方程x2一2x一1=0的根是 A.x1=x2=1 B.x1=1+√2，x2=-1-√/2 (3)3(x-2)2-36=0; C.x1=1十√2，x2=1-√2 D.x1=-1十√2，x2=-1-√2 3.下列方程中，以x=一5±√25+4X2为 2 根的是 A.x2-5x-2=0 B.x2+5x-2=0 C.x2-5x+8=0 D.x2+5x+2=0 4.选择合适的方法解下列方程： (4)3x2+20x+24=-x2-1. (1)x2-3x=0; ·9· 21.2.4一元二次方程根的判别式 √知识梳理 在一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)中，b2一4ac叫做一元二次方程根的判别式， 根的判别式 通常用符号“ ”来表示 (1)△>0台方程有两个 的实数根； 实数根的情况 (2)△=0台方程有两个 的实数根； (3)△<0台方程 实数根 √针对训练 1.一元二次方程x2-5x一4=0的根的情 (2)(x+3)2=2x+5. 况是 ( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.下列方程中，没有实数根的是( A.x2-x-1=0 B.x2-x十2=0 6.已知关于x的一元二次方程kx2一6x十 C.x2-3x+2=0 D.x2-x=0 9=0. 3.一元二次方程3.x2一2x十1=0的根的判 (1)为何值时，方程有两个不相等的实 别式的值为 ,该方程 (填 数根？ “有”或“没有”)实数根。 (2)k为何值时，方程有两个相等的实数根？ 4.若关于x的方程x2一x十2k=0有两个相 (3)k为何值时，方程无实数根？ 等的实数根，则的值是 5.不解方程，判断下列方程根的情况： (1)3x2=1+2x; ·10 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 √知识梳理 若关于x的一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0，b2一4ac≥0)的两个根分别为 根与系数的关系 x1,x2,则x1十x2= x1x2= 一针对训练 1.若a,b是方程x2-x-2=0的两个根， (2)2(x2-1)=3-5x2: 则ab的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.下列方程中，两根之和为5的方程是 ( A.x2-x-6=0 (3)3x2+2=1-4x. B.x2+5x-6=0 C.x2+x+6=0 D.x2-5.x+6=0 3.已知关于x的方程x2十kx一3=0的一 个根为一3，则另一个根为 4.已知x1=一1，x2=2是关于x的方程 x2十mx十n=0的两个根，则m的值是 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+ a一1=0的两个根分别为x1,x2. 5.不解方程，求下列方程的两个根x1,x2 (1)求a的取值范围； 的和与积. (2)若2x1十2x2-x1x2=5,求a的值. (1)x2-6x=-5; ·11·阶段小测（七） 1.D2C3.B4.C5.D6.C7.随机8.029号10.号山.解：1D随机 不可能（②）由题意，得名沿解得m=8.12.解：列表如下。 第一次 第二次和 1 2 2 2 3 共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，.P(两次分数之和不大 于3)=子13解：1 ,(2)画树状图如下： 爸爸 亮亮CD正 D C D 图可知共有12种等可能的结果，其中亮亮和爸爸邻座的结果有4种，∴.P(亮亮和爸爸被分 配到相邻座位)-意弓14解，山面树状图如下： 所 有(m,n)可能的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,2),(4,3),(4,4),共12种.(2)，m,n都是方程x2-7x十12=0的根，m=3,n=4 或m=4,n=3.由树状图可知共有12种等可能的结果，m,n都是方程x2-7x十12=0 的根的结果有4种（包括m=n=3和m=n=4两种情况），同理m,n都不是方程x2一 5x十6=0的根的结果有2种，∴P(小明获胜)=是=名，P(小利获胜)=是=合 :子>。“小明获胜的概率大. 阶段小测（八） 1.C2.A3B4.A5.D6.A7.-18.号9310.务1，解：1)原式 3√2-(3十2√2)十3-1=32-3-2√2+2=√2-1.(2)原方程可化为(x-1)(2x-3)= 0,解得=1，=号.12.解：(1)设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x根 据题意，得100(1十x)2=144.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答： 该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为20%.(2)设售价应降低m元，则每千克的销 售利润为(300-m一240)元，每周能售出(50十2m)kg.根据题意，得(300-m 240)(50十2m)=3600.整理，得m2-35m十300=0.解得m1=20,2=15.:要尽量减 少库存且让顾客得到实惠，·m=20,答：售价应降低20元.13.解：过点B作BF⊥ AC于点R.由题意，得an∠BAF-器=员，AB=25m.设BF=7am,AF=2am, .(7a)2+(24a)2=252,解得a=1..AF=24m,BF=7m.:∠DAC=45°，∠C=90°， ∴∠DAC=∠ADC=45°..AC=DC.设DE=xm,则DC=(x十7)m,BE=CF=x十7 24=(-17)m.在R△BDE中，an∠DBE-,即an60=千77-5， 解得x≈41，答：东楼的高度DE约为41m.14.(1)证明：：AD∥BC,∴.∠ACB= ∠CAD,∠ADB=∠CBD.义：∠BAC=∠ADC,△ABCO△DCA.÷答-0 CA2=BC·AD.BD平分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴.AB= AD.∴.CA=BC·AB.根据“比例三角形”的定义可知△ABC是“比例三角形”.(2)解： 过点A作AH⊥BD于点H.由(1)知AB=AD,BH=号BD.:AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180°..∠BCD=180°-∠ADC=90°...∠BHA=∠BCD.由(1) ∠ABH=∠DBC,.△ABHO△DBC.-BAB·BC=BH·DB.& BC-号BD.由(I)知AB·C=AC号BD=AC.∴肥-E(负值已合去). 88 随堂反馈答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 知识梳理 √aa≥0非负数aa 针对训练 1B2.D3D4≥25.专6解：1)被开方数≥0且4-x≠0，即<4 “当x<4时，二次根式√仁有意义，(2油题意得 2x十1≥ x一2≠0 0解得>-合且x≠2. 7.解：(1)原式= 号.(2)原式=号=(3)原式=子 20.2二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 知识梳理 √ab√a·√b 针对训练 1A2.A3解：1)原式=3X卫=V丽=6.2)原式=√分×27=厅=-3. (3)原式=√×是=-√气=号(0原式=4√·于=4瓜，4解：1)原 式=-√9X5=-√5×5=-3√5.(2)原式=√×W7=3√7.(3)原式=√/6×√/25= 4×5=20.(4)原式=/32×4=3×2=6. 20.2.3二次根式的除法 知识梳理 分母小于2 针对训练 1.C2A3(答案不雕-）4.解：)原式-√厚=(2)原式=√厚 压=8.(3)原式=√唇÷√停-√侣×-.（原式=√盛-√层 V√2z x 5.解：255×165÷10V压=406÷10VE=40√层=40× 5 8√I0(cm),∴.乙的宽为8√/10cm. 20.3二次根式的加减 知识梳理 乘方乘除加减 针对训练 1.C2.C3.854.55.解：(1)原式=26-6-6.(2)原式=25-2×2+ 2√2=2W5-√2+2W2=2√5+√2.(3)原式=(2√3+√5)×6÷2√2=3√3X√6÷2√2 =9v万÷2E=号.(4)原式=5+4v5+4什5-4=10+46 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 知识梳理 一2≠二次项系数一次项系数常数项 89 针对训练 1.C2.C3.D4.-15.解：(1)化为一般形式为2x2十3x-1=0.它的二次项系数 为2，一次项系数为3，常数项为一1.(2)化为一般形式为x2一7x=0.它的二次项系数 为1，一次项系数为-7，常数项为0.(3)化为一般形式为3x2一7x十1=0.它的二次项 系数为3，一次项系数为-7，常数项为1.6.解：(1)由题意，得2y=3,是一元二次方 程.(2)由题意，得x(x十1)=5，是一元二次方程. 21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 针对训练 1.D2.C3.m≥一44.9x=一35.解：(1)移项，得x2=3.直接开平方，得x= 士，即1=原=一(2)方程两边都除以9，得2=要直接开平方，得x= 上号，甲=号=一号(8)原方程可以变形为(：一5)=36，直接开平方，得x-5 5. =士6.心=11，=一1.(4)方程两边都除以9，得(x十1)=9直接开平方，得x+ 1=±3=3x=-3 4 1 第2课时因式分解法 针对训练 1.C2.B3.54.解：(1)方程左边分解因式，得x(5x十3)=0..x=0或5x+3=0, 得1=0，=一子.(2)原方程可以变形为x(x-5)十8(-5)=0.方程左边分解因 式，得(x-5)(x十8)=0..x一5=0或x十8=0，得x1=5,x2=一8.(3)方程左边分解 因式，得(x-3)(x-3-9)=0,即(x-3)(x-12)=0.x-3=0或x-12=0,得x1= 3,x2=12.(4)整理，得x2一4x一12=0.方程左边分解因式，得(x一6)(x十2)=0.∴.x一 6=0或x十2=0，得x1=6,x2=-2. 21.2.2配方法 知识梳理 非负常数 针对训练 1A2.C3.A4(1)号(2)935.-236.解：(1)移项，得2-4x=3.配方， 得x2-2·x·2十22=3+2，即(x-2)2=7.直接开平方，得x-2=士√7.x1=2十 5 F=2-√7.(2)移项，得3x-6x=5.两边都除以3，得x-2x=号.配方，得x- 2·x·1+12 号+1，用(-1)=号直接开平方，得1=士5：=1十 3,2=1-26 2√6 3 21.2.3公式法 知识梳理 x=二±B4a匹(6-4ac≥0) 2a 针对训练 1.B2.C3.B4.解：(1)方程左边分解因式，得x(x-3)=0.x=0或x-3=0,即 x1=0,x2=3.(2)将方程化为一般形式，得2x2-7x十3=0.这里a=2,b=-7,c=3, :6-4ac=(-7)-4X2X3=25>0,.x=二生B4ac=7告压-7生5，即 2a 2×2 4 90 4=号4，=3.(3)原方程可化为3(x-2)=36.两边都除以3，得(x-2)=12.直接 开平方，得x-2=士2√3.x1=2十2√，x2=2-2√5.(4)将方程化为一般形式，得 4x2十20.x十25=0.这里a=4,b=20,c=25.:b2-4ac=202-4×4×25=0..x= 02,即1==号 2×4 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 △不相等相等没有 针对训练 1.B2.B3.-8没有485.解：(1)原方程可变形为3x-2x-1=0.4 (-2)2-4×3×(一1)=16>0，·方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 x2十4x十4=0.：4=42-4×1×4=0，∴.方程有两个相等的实数根，6.解：由题意， 得△=(-6)2-4kX9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36一36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，.x1十x2=6, 1=5.(2)原方程可化为7x2-5=0.1十=0，=-号.(3)原方程可化为 3r十4十1=0n十0=一亭，0=子6解：1由题意，得4=2：-4X1Xa .4 1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1.,2x1十2x2-x1x2= 2(x1十x2)-x1x2=5,.2×(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 针对训练 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x) (50一2x)=3600.整理，得x2一75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题意，舍去). 答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 针对训练 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35.x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 相同形状合=台（或a:b=c:合=行AP P AB 针对训练 1.D2.D3.(1)8(2)24.(405-40)5.解：1)：2a=36,.2a-b-36-b=2. 91 (2):线段m是a,b的比例中项，m=ah.2a=36,a=6,b=2X6=4.m=4X 3 6=24..m>0,.m=26. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 平行线 针对训练 1C2.A3 4.解：DE∥BC,DF∥AC,∴.四边形DECF是平行四边形. FC=DE=2mDr/AC既-器脚些=亭B版=4m点第：1：AB/ CD//EF...AC_BD AE BF' AC6.D015..CE-AE- AC=9.(2:AB/CD∥F,5-8架=合=是：a=20器-子 204 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 成比例相等对应成比例对应相等对应边的比 针对训练 1.C2.C3.A4.100° 琴5万：16.解：设新的相框的另一边长为rcm 5 当所求的边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所 求的边与10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15..新的相 框的另一边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 成比例相等相似 针对训练 1.B2.C3.C4.55.解：AD=6,CD=18,∴.AC=AD+CD=24.又△ADE △ABC长器是：普=京景AE=8AB=186解：AB/DB, 43 ABC∽△DEC.C=C,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm,…D元 .CD=8cm.,.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △APCO△BPD.六0-8邵即巴-号.BD=85证明：DE∥AC ∴.∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.∴△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 成比例夹角成比例 针对训练 1.D2.C3.1.54.证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8, 92 AC=AE+B=10.福=青=名，把-品=分∴福-把又：∠A=∠A ∴.△ADE△ACB.5.解：△ABCc∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√1+3z=√10，DE=1,EF=√/1+2=√5，DF=√/1+1=√2， 提后器后品-爱后提器品AAaR 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 相似比相似比的平方相似比 针对训练 1.B2.A3.3:44.125.解：和△ABC相似的△A'B'C的最长边长为30， .△ABC与△A'B'C的相似比为10：30=1：3.：△ABC的周长为6+8十10=24， .△A'B'C的周长为24X3=72.6.解：：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, AD∥BC.∴.△AFDp△EFB.又BE:EC=3:1,∴.BE:BC=3:4.∴.BE:AD= 3:4.S△地= AD、2 S△EFB （0)-(青)广9∴S.v.m=2cm 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 针对训练 1心2B3解准结MN兴-品赢长品品票-盖又 :∠A=∠A,△AC△ANM∴系=、=品BC=45m,MN= 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,∴.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC △ADB,S-BE即产2=DE=16,2m答：古塔DE的高度为16,2m 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 中线专 针对训练 1.C2.D32 4.证明：：DE∥BC,EF∥AB,四边形DBFE是平行四边形. DE=BR:DE∥BC△ADB△AC铝-.六铝=既 5.证明： :AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.:DE⊥AB,易得△ABD∽△ADE.AP AE 0:AD=AE·AB,同理，得AD=AF·ACAE·AB=AF·AC 22.4位似图形 知识梳理 位似中心 针对训练 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△A1B1C即为所求 (2) 1 9 93