第二十六章 二次函数 复习题---二次函数的图像和性质、方程与不等式 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像性质与方程不等式综合应用，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像性质|单选1-8、填空9-13|开口/对称轴/顶点判断、图像平移规律、函数值比较|从解析式到图像特征，渗透数形结合思想| |方程与不等式|填空11-12、解答14-17|判别式应用、交点求解、不等式解集图像法|二次函数与一元二次方程/不等式互化| |综合应用|解答18-22|待定系数法、面积最值模型、动点路径分析|性质应用到实际问题，培养模型观念|

第二十六章《二次函数》复习题-一一二次函数的图像和性质、方程与不等式 一、单选题 1.关于抛物线y=r-2+1,下列说法错误的是（) A.开口向上 B。顶项点坐标为，0) C.对称轴为直线x=1 D.当x>1时，y随x的增大而减小 2.已知关于x的二次函数y=-(x-m+1,当x>3时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范 围是() A.m>3 B.0<m≤3 C.m≤3 D.m≥3 3.已知抛物线)=ar-4ar+c(a≠0)经过1-1，）B(2）,C(B,)三点，则下列说法正确的 是() A.若a>0,则y>> B.若a<0,则>>y C.若a>0,则y>y> D.若a<0,则y>>y2 4.关于二次函数y=-3x+12x-3,下列命题错误的是() A.开口向下 B.对称轴为x=2 C.与y轴交点坐标为0,3) D.用配方法得到的解析式为：y=-3(x+2)+15 5.如图，抛物线y=ax+br+c的对称轴是直线x=1,则以下五个结论中，正确的有 ①abc<0;②2a+b=0;③b2>4ac;④4a+2b+c>0;⑤3a+c≤0 个x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.知图，光物线=a+x+c与轴交于点1(-20)，B6,0),与'轴交于点C,小红同学得出 了以下结i论：①-4ac>0:②4+h=0;③当>0时，-2<x<6:④a+c旷<：⑥3a+c>0. 其中正确的个数为() y=ax2+bx+c B A.4 B.3 C.2 D.1 7.在平面直角坐标系中，对于二次函数y=-2（x-2)+1,下列说法中错误的是（) A.y的最大值是1 B.对称轴为直线x=2 C.它的图象可以由y=-2向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D.当x<2时，y随x的增大而减小 8.如图，二次函数少=r+bx+c(a≠0) 的函数图象经过点2)，且与抽交点的横坐标分别为 ,其中 1<x1<0,1<x2< 2,下列结论：①c>0:②20+b>0;®a-2b+c>0:④当=m (1<m<2)时，am2+bm<a+b;其中正确的有()个 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.将抛物线"=+r+3向下平移5个竿位长度后，经过底2利，则4如-2b-7 10.公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来， 若急刹车时汽车的行驶路程s(米)与时间t(秒)的函数关系式为s=20t-51，滑行的最远 距离是 米. 1,已知二次函数=am+r+da0)与一次函数为=c+m化0)的图家相交于启 A(-2,4) B(8,2) 如图所示，则能使州之”成立的x的取值范围是 12.二次函数y=ar+r+c(a≠0 的部分图象如图，对称轴为直线x=1,与轴的一个交点为 L0),与产销的另-交点为：方程+r+e=3和+0)的根为一 -1O 13.如图，在正方形4BCD中，点RC的坐标分别是(-21，(L0,点D在抛物线y=3+b 的图像上，则b的值是一· B 三、解答题 11已知二次函数方式-m+m-1(a为答数) (①若点2) 在该函数图象上，则m= (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； 8)若该函数图象上有两个点1(m+）、B(m+,9),当<为时，直接写出n的取值范图。 15,如图，抛物线)=+r+3a≠0)与x轴交于点4-20)、8(60)两点，与y轴交于点C =2 A B (1)求抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线上一点，使得SPa=SABc,求P点坐标. 16.如图，抛物线y=x+br+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为 0 O/B D (1)求此抛物线的解析式； 27 (2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使得△CAN的面积为8？若存在，请求 出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 17.如图，一次函数=c+力的图象与二次函数为=a的图象交于点1m)和B(2,4刊，与》轴 交于点C, v=ax? B -2-1O1 y=kx+b (1)求a,b,k的值： (2)求△AOB的面积； (3)直接写出>2时，x的取值范围. 18.如图，已知抛物线的顶点为 4,范物线与'轴交于点B(0),与轴交于GD两点 (点C在点D的左侧)，点P是抛物线对称轴上的一个动点. 4 B D (1)求此抛物线的解析式： (2)当-2<x<3时，y的取值范围是_； (3)F是抛物线上x轴上方的一个动点，当△FCD的面积为7时，求点F的坐标； (4)当PC+PB的值最小时，求点P的坐标. 19.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=r+br+2过B(-2,6,C(2,2)两点. 27 B 以 1 234 (1)求抛物线的表达式. (2)记抛物线与y轴的交点为D,求△BCD的面积. (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时△BMD周长最小？ 0巴知二次函数血a0Q6>0的我与y猫相文于片a (1)若a=1，b=4,求该二次函数的最小值； ②若b=40,点P(-30(8）都在该函数的图象上，比较”和”的大小关系： 8)若点M(m,l.N川m㎡+2)都在该二次函教图象上，分别求“D的取值范围 21.在平面直角坐标系0中，点42)在抛物线”=r+6x+2a<0)上. (1)直接写出抛物线的对称轴； ②抛物线上两点P(,）,0(）,且≤<+2,4-1<6≤6-1 ①当t=1时，直接写出，的大小关系； ②若对于，x,都有≠，直接写出t的取值范围. 2.在平面直角坐标系0中，点03)，6 在抛物线'=ar+r+ca0)上. (①)当=3时，求抛物线的对称轴； 2)若抛物线'=r+br+c(a≠0 经过点1 ,当自变量x的值满足1≤x≤2时，y随x的增 大而增大，求a的取值范围； (③)当a>0时，点 (m-4y2)（m,2） 在抛物线y=ar+r+C上.若片<<C,请直接写出m的 取值范围. 参考答案 一、单选题 1.D 【详解】解：：抛物线y=r-2x+1 小a=1八0，开口向上，对称轴为直线x=-子1， 2 当x>1时，y随x的增大而增大 故A,C正确，D错误， 当x=1时，y=1P-2+1=0, 1,0) .顶点坐标为 故B正确， 故选D. 2.C 【详解】解：由题意得：二次函数'=一-m旷+图象的开口向下，对称轴为直线x=m, ,当x>3时，'随x的增大而减小， .m≤3 故选：C 3.A 4=2 【详解】解：抛物线y=ar2-4r+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2 当a>0时，离对称轴越远，纵坐标越大， …2-（-1>3-2>2-2 >>; 当a<0时，离对称轴越远，纵坐标越小， 2-(>3-2>2-2 y<<2; 故选：A. 4.D 【详解】解：y=-3x2+12x-3, .a=-3,b=12,c=-3, 二2a-6=2,选项B正确； .对称轴：x= .a=-3<0, .二次函数图象开口向下，选项A正确； 令x=0,则=-3， .与y轴交点坐标为 ,3),选项c正确： :y=-3+12x-3=-3(x-2+9,选项D错误： 故选：D. 5.D 【详解】解：抛物线开口向上， .a>0 x=1 ·对称轴是直线”， _b=1>0, 2a ∴.b<0 “抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， .∴.c>0 ∴.abc<0 故①正确； x=1 ·对称轴是直线 b .20 ∴.b=-2a ∴.2a+b=0 故②正确； 由图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴.△=b2-4ac>0 ∴.b2>4ac 故③正确； =1 对称轴是直线， 当=2 x=0 时的函数值与当”时的函数值相等， ∴.4a+2b+c=c>0 故④正确； 由图可知，当x=-1时的函数值为0， ∴.a-b+c=0 b=-2a ∴.a-(-2a)+c=0 ∴.3a+c=0 故⑤错误； 一五个结论中，正确的是①②③④，有4个. 故选：D. 6.C 【详解】解：：抛物线=r+伽+C与产轴交于点 (-2,0)B(6,0) ∴.抛物线对应的一元二次方程ax+bx+c=0有两个不相等的实数根， 即△=b2-4ac>0,故①正确； b-2+6-2, 对称轴为直线=2a2 整理得4a+b=0,故②正确； 由图象可知，当>0时，即图象在x轴上方时， x<-2 、x>6 或，故③错误， 由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c<0, 当x=1时，y=a+b+c<0, .(a+b+c)(a-b+c)>0 即(a+c}-b'>0 则a+c> ,故④不正确； .…4a+b=0 ∴.b=-4a ∴.y=a-b+c=5a+c<0 .3a+c<-2a .a>0 即3a+c<0,故⑤错误. 则正确的有①②，共2个， 故选：C. 7.D 【详解】解：.二次函数y=-2(x-2)2+1, ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线x=2,当x=2时，y的最大，最大值是1，故AB正确； 它的图象可以由y=-2x向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故C正确； 当x<2时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：D. 8.A 【详解】解：.二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 .a<0,c>0, ,对称轴在y轴和直线x=1之间， :0<、6 2a ∴.-b>2a,b>0, ∴.abc<0,2a+b<0,故①②错误； 由函数图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c<0,故③错误； 由函数图象可知，当x=m<m<2)y<2 ∴.am2+bm+c<2, y=ax2+bx+c(a≠0) 1,2) 二次函数 的函数图象经过点 .当x=1时，y=2,即a+b+c←2， ∴c=2-a-b, 1<m<2,对称轴在y轴和直线x=1之间， ∴.am2+bm+c<2, .∴.am2+bm<2-c, :am+bm<2-(2-a-b） ∴.am2+bm<a+b,故④正确； .正确的有1个， 故选：A. 二、填空题 9.-1 【详解】解：将抛物线y=x+bx+3向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3-5=ax2+bx-2 将抛物线少=ar+br+ 向下平移5个单位长度后，经过点 （-2,4) ∴.4a-2b-2=4, .4a-2b=6, ∴.4a-2b-7=6-7=-1, 故答案为：-1. 10.20 【详解】解：=20-5=-5-4)=-5t-2+20 抛物线的对称轴为直线t=2,且开口向下， 当t=2时，s最大，此时滑行的距离最远，为20米， 故答案为：20. 11.x<-2或x>8 【详解】解：二次函数1=ax+r+a0与一次函数为=+m(k0) 的交点横坐标分别为 -2,8 .使>2成立的x的取值范围为x<-2或x>8, 故答案为：x<-2或x>8. (（-3,0) 12. x=0x2=-2 【详解】解：：对称轴为直线=1，与轴的一个交点为 1,0) ·与轴的另一交点为30叭」 当x=0时，y=3, 方程r+r+c=3a≠0 的一个根为x=0, 对称轴为直线x=-1, 方程ar+br+c=3a≠0 的另一个根为x=-2, 故答案为： (-3,0)x=0x3=-2 13.6 【详解】解：作DM⊥x轴于M,作BN⊥x轴于N, N O CM ”四边形ABCD 正方形， ∴∠BCD=90°，BC=DC .∴.∠BCN+∠DCM=90°=∠CDM+∠DCM ∴.∠BCN=∠CDM 又'∠BNC=∠DMC=90°， ∴.△CBN≌△DCM(AAS) ∴.CN=DM,BN=CM 设D(a,b). “点8C的坐标分别是-2，L0) a-1=1 a=2 .2+1=b,解得：b=3, .D(2,3) 3 :D在抛物线y写式+r的图像上， x22+2h=3 3 bs5 6, 故答案为：6· 三、解答题 14》解：将2-)代入y-+m-1, 得：12-2m+m-1, 解得m=2, 故答案为：2； (2解：由题可知A-(m-4×分xm-)=m-2m+2=m-l+1, (m-≥0 (m-}'+1>0 ∴.△>0， ∴.该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； T=m ③)解：产一m+m-1的对称轴为直线2 2 1 ”二次项系数2>0， 二次函数图象开口向上， .y<2, :点1m+)到对轴的距离小于 B(m+D,)到对称轴的距离， m+1-m<m+p-m 即小1 p>1或p<-1, 15.1)解：抛物线'=a+r+3a≠0)与x轴交于点1-2,0、B(60)两点， 1 a=- [4a-2b+3=0 4 …136a+6b+3=0,解得：b=1, :抛物线的解析式为=+x+3: (2)解：对于少=++3，当=0时，y=3, 点C的坐标为Q.:Se=5,0小4，%=3， 当y=3时，子+x+3=3, 解得：x=0,2=4 .P点坐标为 4,3) 当y=-3时，4+x+3-3,解得：=2+27，=2-27， P点坐标为2+27，-3列或2-27，-3) 综上所述：P点坐标为(4,3)或2+27，-3)或(2-27，-3 16.(1).0A=0C=3 :1(-3,0)C0-3) 把1(3,0)，C0)代入y=r+x+c可得： 0=9-3b+c -3=c b=2 解得： c=-3 抛物线的解析式为：y=x2+2x-3: (2)存在，理由如下： 设直线AC的解析式为：y=x+b, 把4(3,0)，C0,-3)代入=+b可得： [-3k+b=0 b=-3, [k=-1 解得：b=-3, .直线AC的解析式为：y=-x-3, 过点N作NE∥y轴交AC于点E,如图所示： 设心mm+2m-),则(m-加-)， EN=-m-3-(m2+2m-3=-m2-3m 5acNx民-）(m-3mk3=, 3 解得：m=2, 3 =9-3-3=-15 把x=-2代入y=x2+2x-3可得：y=4 4 ) 17.(1)解：：点B(-2,4)在=ar上， .4=a×(-2)2，即4a=4,解得a=1; :点m在乃= 在 上， ∴.m=12=1,即A1,10: 点A(1,)、B(-2,4)在=G+b上， [k+b=1 ∴-2k+b=4, 用第一个方程减第二个方程：3k=-3,解得k=-1; 将k=-1代入k+b=1,得-1+b=1,解得b=2; 故a=1,b=2,k=-1 (2)解：：乃=-x+2,令x=0,则4=2， .点C0,2),即OC=2;So8=SAAOC+S△c, 5cx0cx1x卡5x2x1=l,Sx=分x00x1x,卡x2x2=2, 2 2 ∴.S40s=1+2=3 答：△A0B的面积为3. (3)解：由两函数图象交点为A,)、B(-2,4),观察图象可知，当>时，x的取值范围是 -2<x<1 18.(1)解：设抛物线解析式为'=a(x-l+4(a≠0). 把点B的坐标代入y=a(x-旷+4中得3=a(0-少旷+4，解得a=-1, 抛物线解析式为=-(x-刂+4. (2)解：：抛物线解析式为y=-(x-+4 ∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=1, 离对称轴越远，函数值越小； 在=-(x-1少+4中，当x=-2时，=-(2-旷+4=-5 1-(-2)=3>3-1=2 ∴.x=-2时的函数值小于x=3时的函数值， .当-2<x<3时，y的取值范围是-5<y≤4； (3)解：在=-(-1旷+4中，当y=-(-1少+4=0时，解得x=-1或x=3, :C(-L0DB0）) ,CD=3-（-1)=4 ,△FCD的面积为7，且点F在x轴上方， D.yr=7, .2 1 .2×4yr=7, 7 p=2, 在”=--+4中，当=-(-+4 2时，解得 2或1 1+② 2, ∴点F的坐标为22或22： (4)解：如图所示，连接PD, 由对称性可得PC=PD, ∴.PC+PB=PB+PD, ∴.当P、B、D三点共线时，PB+PD有最小值，即此时PC+PB有最小值； 在-x-旷+4中，当=0时，y=3, .B(0,3) 设直线BD解析式为 =c+b(k≠0) [3k+b=0 .b=3, k=-1 b=3, ∴.直线BD解析式为y=-x+3, 在y=-x+3中，当x=1时，y=2, 点P的坐标为 （1,2) [4a-2b+2=6 19.（1)解：由题意得4a+2b+2=2, 〔1 解得b=-1., 抛物线的解析式为-+2： (2)解：连接BD,BC,DC,如图所示： 6 D 3 17 32io1234六 -1H 当x=0时，y=2, 故点D的坐标为(0,2)， .C D 两点的纵坐标相同， :CDMx轴， 点B到CD的距离为6 ,6-2=4 六S0m=2×2×4=4 （3》解：y=-x42,D0,2,C22, -1 三一 =1 心D,C关于对称轴 1 2× 对称， ∴.连接BC,与对称轴x=1的交点即为点M,连接MD, B 6 M D 1 3-2-10234 -1h 此时△BMD周长最小， B-2,6),C(2,2), 设BC的解析式为y=acr+d, 把B-2,6和C(2,2)分别代入y=a+d, [6=-2k+d 得出2=2k+d, [k=-1 解得d=4, .BC的解析式为y=-x+4, 令x=1,则y=3, M(.3) 20.(1)解：二次函数y=ax+bx+c的图象与y轴相交于点(0,1)， ∴.c=1. 又a=1,b=4, .二次函数为y=x2+4x+1 又y=x2+4x+1=(x+2)2-3, 当x=-2时，y取最小值为-3. (2）b=4a, “对称轴直线=2物2 2a2a .a>0 ∴.抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. 又-2-（-3)K-2-31 …y<y2 (3)由题意得，am2+bm+1=1①，am2-bm+1=m2+2②， ∴.①+②得，2am2+2=m2+3, Ma=m+1-11、少 =2m2+2m>2: ①-② 得， 2bm=-m2-1 则△=4b2-4≥0，可得b≥1或b≤-1（舍去）. 1 综上可得，a>2b21 21,1)解：在抛物线'=ar++2<0)中，令r=0,则y=2, 即抛物线与y轴的交点(0,2)， (4,2) 故点02)与点 关于抛物线对称轴对称， 而142，则抛物线对称轴为直线2 (2)解：①当t=1时，1≤<3,3<x≤5， .x1<x2 x-2≤11<x2-2≤3 即-26-2引 a<0 ..y>y2 ； ②设点P关于直线x=2的对称点为M(x,), 则￥+x=4,即x=4-为； :t≤x<t+2 .2-t<x≤4-t 而4-1<x3≤6-t, 则≠2. y≠y2 .X0≠2，x1≠x2 故当t+2<4-t或6-t≤t时，≠x, 解得：t<1或t≥3 22.(1)解：0,3， (6,3) 为抛物线上的对称点， x=5=0+6=3 2 2 ·抛物线的对称轴 =3 ； (2解：y=r+r+c(a≠0过l0,3（1,-, ∴.c=3,a-b+3=-1,b=a+4, b a+4 对称轴x=-2a-2a· ①当a>0时， -1≤x≤2时，y随x的增大而增大， a+4≤-1 .2a a≤4， .0<a≤4. ②当a<0时， ,-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， _a+4≥2，a2-5, 4 ∴.-2a 4sa<0, .5 综上：a的取值范围是 4≤a<0或0<a≤4 (3)解：：点0,3在抛物线y=ax+br+c上， ∴.C=3 :点m-4),(m 在抛物线y=ar+h+c上， ∴对称轴为直线x=m+m=m-2, 2 ①如图所示： (6,y) .<y<c ÷m<6且m-2>0牛6-3 2 .5<m<6 ②如图所示： y (6,y) y2<y< .m-4>6 .m>10 综上所述，m的取值范围为5<m<6或m>10.