26.2 二次函数图象与字母系数之间的关系 专项提升 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与字母系数关系，通过数形结合系统构建“图象特征-系数符号-代数推理”的解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象与系数关系判断|14道选择填空+3道解答|①开口方向定a符号；②对称轴位置推b符号；③特殊点函数值（x=±1等）证关系式；④判别式分析交点情况|从二次函数概念出发，通过图象特征（开口、对称轴、交点）逆向推导a,b,c的符号及关系，形成“形→数→式”的逻辑链条|

第26章 二次函数--二次函数图象与字母系数之间的关系 专项提升 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0 3．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 5．如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④，⑤（）（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题 7．如图，二次函数的图象过点，与y轴正半轴相交，且交点在的上方，下列结论：①2a﹣b＜0；②当x＞﹣1时，y随着x增大而减小；③；④．其中一定成立的结论的序号是________． 8．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 9．如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 10．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 12．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 13．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 14．如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 三、解答题 15．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 16．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 17．设抛物线：（，）经过点，当时，． (1)计算： ．（用含b的式子表示） (2)求b的取值范围． (3)若，点在抛物线上，点在另一条抛物线上（），为平面内一点，若对于任意实数x，点A、B到点C的距离都相等，设抛物线的顶点为点D，抛物线的对称轴与抛物线的交点为F，直线的解析式为，请求出m的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C C D D 1．D 根据二次函数的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴；由图象知， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B不符合题意； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故C不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D符合题意， 故选：D． 2．D 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． （A）由图象开口可知：a＜0 由对称轴可知：＞0， ∴b＞0， ∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故A正确，不符合题意； （B）由图象可知：x=﹣1，y＜0， ∴y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，故B正确，不符合题意； （C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2， ∴＞2，a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac，故C正确，不符合题意； （D）对称轴x=＜1，a＜0， ∴2a+b＜0，故D错误，符合题意； 故选D． 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型． 3．C 解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 4．C 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 5．D 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③当时，，故③正确； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到值最小，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，先随的增大而减小，后y随x的增大而增大，故⑥错误， 故选：D． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 6．D 抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 7．①③④ 将点代入函数的解析式可得，再根据与轴正半轴相交，且交点在的上方可得，从而可得，由此可判断①；先根据函数图象的开口向下可得，再求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可判断②；根据时，；时，可得，由此即可判断③；根据，可得，由此即可判断④． 解：①将点代入得：，即， 二次函数的图象与轴正半轴相交，且交点在的上方， ， ，则结论①正确； ②由函数图象的开口向下可知，， 二次函数的图象过点， 抛物线的对称轴， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则结论②不正确； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ， ，即，结论③正确； ④由①已得：，， ， ，即，结论④正确； 综上，一定成立的结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 本题考查了二次函数的图象、以及对称轴和增减性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 8．①②④ 由二次函数的图象与性质，判断出，，再由根的判别式（不相等的两个根）得出，对称轴得出．①②由上述条件加减乘除运算即可判断出结论；③由对称轴与抛物线交点即为顶点，值最大，利用不等式的基本性质即可判断出结论；④联立与，利用韦达定理、两根相加小于3建立关系即可判断得出． 解：图象开口向下且与轴交于点，与轴交于，两点， ，，． 对称轴， ，． 当时，，①、②正确． 时，， ，即，③错误． 直线与抛物线相交，且点的横坐标小于3， ， ，解得，④正确． 故答案为：①②④． 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数关系的理解能力．主要涉及二次函数图象与系数的关系（开口向上、开口向下），根的判别式（两个不相等的根、两个相等的根、无根），韦达定理等知识点．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．①④⑤ 本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 10．２ 先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 11．①③⑤ 根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 12． 根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 13．①②⑤ 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 14．①②/②① 本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴； ∴，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ 解得：；②正确 ∵ ∴ 由图像可知： ∴ 即：；③错误； ∵对于的任意值都有 ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线 ∴，即： ∵二次函数图像经过点 ∴ ∴该二次函数的表达式可化为： 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小 ∴线段变短；⑤错误 综上，正确的有①②； 故答案为：①②． 15．(1)， (2) 经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． （1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）略 16．(1) (2)2 (3) 本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． （1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 17．(1) (2) (3)1 （1）将点坐标代入抛物线解析式，整理后即可得到和的关系； （2）先求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的性质得到点在对称轴左侧，即，结合（1）中及求出的取值范围； （3）先代入确定的解析式，根据点A、B到点C的距离都相等，则是线段的中点，进而得到的解析式，再求出的顶点D和交点F的坐标，将其两点坐标代入直线求解的值． （1）解：将代入得：， ， ， ； （2）解：根据题意得：抛物线的对称轴为， ， ∴抛物线开口向上，当时，， 点在对称轴左侧或对称轴上， ， ， ， 由（1）知，， ， 解得：， 、， ， ， ， 的取值范围为； （3）解：当时，， ， ， ， 点A、B到点C的距离都相等，且点A、B、C横坐标相同， 点C为中点， ， ， 点D坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 将代入得： ， 点F坐标为 ， 将点D、F的坐标代入得： ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $