1.5 等腰三角形 同步分层练习 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到创新探究梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、逆命题|选择填空结合图形，如第1题考查直角三角形中线性质，强化概念理解| |能力提升|旋转性质、垂直平分线、全等证明|解答题综合应用，如第14题结合垂直平分线与等边三角形证明，提升推理能力| |拓展创新|“好线”“好好线”分割等腰三角形|探究题分类讨论，如第16题涉及多情况分析，培养创新意识与数学思维|

苏科版数学八年级上册 1.5 等腰三角形 同步分层练习 一、夯实基础 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线·若CD=4，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130°，∠DAC=95°，则∠ADB的度数为(　　) A．100° B．120° C．130° D．140° 3．如图， 已知屋顶的主桁架△ABC 是等腰三角形，AB=AC， ∠A=70°， 点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD=BE，则∠E 的度数是(　　) A．22.5° B．25° C．27.5° D．35° 4．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是60°的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 5． 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（　　） A． B．70 C． D．80 6．如图，三角板中，，，将它绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别是点，则（　　） A． B． C． D． 7． 已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A=80°， 则底角∠B=　 　． 8．如图，已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB＝2，则CD＝　 　 ． 9．如图，在中，，于点，于点，于点，，则　 　cm． 二、能力提升 10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于(　　) A．40° B．50° C．65° D．115° 11．如图，在Rt△中，，，，于点，是的中点，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，△ABC饶点A 按顺时针方向转动50°得△AED，点D恰好在边BC上，则∠ADC=　 　°. 13． 如图， 在△ABC中， ∠ACB =90°，AC=BC=4， 点 D 是边 BC的中点， 点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值为　 　. 14．如图，在△ABC中， AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F， FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E=30°. （1）求证： △ABC是等边三角形； （2）若BF=2，则求AE的长. 15． 如图， 在 Rt△ABC中， ∠ABC=90°， 延长AB 至点D， 使AD=AC，取AC的中点F，连结DF交BC于点 G， 并延长至点E， 使AE=CE. （1） 求证： △ABC≌△AFD； （2） 求∠ACB 的度数. 三、拓展创新 16．如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”． （1）如图，在 中，，点 D在边上，且，则　 　度； （2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E在 边上，且，，则的度数为　 　． 17．在中，，为的中点，分别为上的点，连接． 【探究发现】 （1）如图①，若，为的中点，，求证：； 【类比猜想】 （2）如图②，若，，试说明之间的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若，，，求的长度． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴AB=2CD=8. 故答案为：D。 【分析】本题结合图中信息得出，CD是斜边AB上的中线，然后依据“三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，列式计算即可得出AB的长度。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130° ∴， ∵∠DAC=95° ∴∠ADB=∠C+∠DAC=120° 故选：B. 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先求出∠C的度数，再根据三角形外角的性质即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=70° ∴ ∴∠ABE=∠A+∠C=125° ∵BD=BE ∴ 故答案为：C 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠C，根据三角形外角性质可得∠ABE，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A：逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意； B：等边三角形的三个内角均为60°，为真命题，不符合题意； C：逆命题为：三个角对应相等的两个三角形为全等三角形，为假命题，符合题意； D：逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意； 故答案为：C 【分析】写出个选项的逆命题，结合等腰三角形判定定理，等边三角形性质，全等三角形判定定理，垂直平分线判定定理逐项进行判断即可求出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：过点A作于点E，过点B作于点F 由题意可知，闸机最大通行宽度减去AB的长度，即为两侧挡板垂直于侧立面的长度之和， ∵， ∴。 在中，， ∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半， ∴。 故答案为：B 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质在实际问题中的应用。解题时首先需要通过作辅助线构造直角三角形，结合闸机的宽度条件求出直角三角形中30°角对应的直角边长度，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，即可求出挡板边缘的总长度。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵三角板中，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故选：C． 【分析】 先利用直角三角形两锐角互余计算出的度数，再结合旋转的性质得到的度数，最终即可求出对应结果. 7．【答案】50° 【解析】【解答】解： 故答案为：50° 【分析】根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理即可求出答案. 8．【答案】1 【解析】【解答】 解：∵△ABC是等边三角形，AB=2， ∴AB=BC=AC=2， 又∵AD是BC边上的高， ∴BD=DC=BC=×2=1， 故答案为：1． 【分析】 先利用等边三角形的性质得出AB=BC=AC=2，再由AD是BC边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是BC中点，即可求得CD的值． 9．【答案】10 【解析】【解答】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线进而可以得到，由于，将数值代入计算即可。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：∠BAD=50°，AB=AD，∠ABC=∠ADE， ∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=65°， ∴∠ABC=180°-∠ABD=115°=∠ADE， ∴∠CDE=∠ADE-∠ADB=50°. 故选：B. 【分析】根据旋转的性质可得∠BAD=50°，AB=AD，∠ABC=∠ADE，由此得△ABD为等腰三角形，从而得到∠ABD=65°，然后利用邻补角的定义，求得∠ABC的值，最后利用角的和差关系即可得解. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，AB=8， ∴， ∵∠A=30°， ∴∠B=180°-90°-30°=60°， ∵BE=CE=4， ∴△CBE为等边三角形， ∵CD⊥AB， ∴D为BE中点， ∴． 故答案为：A． 【分析】先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CE=BE=4，再算出∠B=60°，判定△CBE是等边三角形，最后根据等边三角形三线合一，得到点D平分BE，求出DE长度为2． 12．【答案】65 【解析】【解答】解： 按顺时针方向转动得 AD=AC， ∴， 故答案为：65. 【分析】根据旋转的性质得到∠CAD=50°，AD=AC，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ADC的度数即可. 13．【答案】1 【解析】【解答】解：如图，在CD的下方作等边△CDT ∵∠CDT=∠QDP=60°，DP=DQ，DC=DT ∴∠CDP=∠QDT 在△CDP和△TDQ中 ∴△CDP≌△TDQ ∴∠DCP=∠DTQ=90° ∵∠CTD=60° ∴∠CTQ=30° ∴点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值为 故答案为：1 【分析】在CD的下方作等边△CDT，根据等边对等角可得∠CDP=∠QDT，根据全等三角形判定定理可得△CDP≌△TDQ，则∠DCP=∠DTQ=90°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CTQ=30°，则点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，结合含30°角的直角三角形性质即可求出答案. 14．【答案】（1）证明：∵AD 垂直平分BC， ∴AB=AC， BD=CD， ∵DF⊥AB， ∴∠AFE=∠BFD=90°， ∵∠E=30°， ∴∠BAC=90°-∠E=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， AB=BC， ∴∠BDF=90°-∠B=30°， ∴在Rt△BDF中， BD=2BF=2×2=4， ∵BD=CD， ∴AB=BC=2BD=2×4=8， ∴AF=AB-BF=8-2=6， ∵∠E=30°， ∴在Rt△AEF中， AE=2AF=2×6=12. 【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到AB=AC，BD=CD，再利用三角形内角和定理得到∠BAC=60°，即可证明； (2)根据等边三角形的性质得到∠B=60°，AB=BC，利用含30度角的直角三角形的性质得到BD=2BF=4，利用线段的和差关系求出AF=AB-BF=6，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出AE的长. 15．【答案】（1）解：证明：∵AE=AC，F为AC的中点 ∴EF⊥AC ∴∠AFD=∠ABC=90° ∴∠DAF+∠D=90° 又∵∠DAF+∠ACB=90° ∴∠ACB=∠D ∵AD=AC ∴△ABC≌△AFD(ASA) （2）解：连接CD，如图所示， ∵由(1)知F为AC的中点，DE⊥AC ∴DE垂直平分AC ∴DA=DC ∵AC=AD ∴△ACD为等边三角形 ∴∠CAD=60° ∴∠ACB=90°-∠CAD=90°-60°=30 ∴∠ACB=30° 【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知AC⊥DF，由此得∠ACB=∠D，结合AD=AC即可证 △ABC≌△AFD； (2)由(1)知DE垂直平分AC，知DA=DC，而AC=AD，即知△ACD为等边三角形，得∠CAB的度数，即得∠ACB的度数. 16．【答案】（1）36 （2）或 【解析】【解答】解：（1） 设 则 即 解得 则 故答案为：36； （2）设. ①当AD=AE时，如图： ②当AD=DE时，如图： 所以的度数为或 故答案为：或 【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数； (2)设∠C=x，分为①AD=AE或AD=DE两种情况时，利用三角形内角和定理列方程解答即可. 17．【答案】证明：（1）如图①， ，， ， 为等边三角形， ． ， ， ， ， 为BC的中点， ， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 解：（2）如图②， ，， ， 为的中点， ，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）如图③， 取的中点，连接， ， ，为的中点， ，平分，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． ∴的长度为24． 【解析】【分析】（1）根据，，得，即可得为等边三角形，再根据条件证明，进一步得，进一步得. （2）根据已知条件得，，进一步证明，可得，即可得. （3）取的中点，根据已知可证明，即可，再根据， 得，进一步的长度为24． 学科网（北京）股份有限公司 $