1.5 等腰三角形(2)—等腰三角形的判定 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学等腰三角形判定新授课同步练，15题涵盖选择、填空、解答，分层设计从基础判定到综合应用，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|1-5题选择，内角计算、三线合一判定|直接应用判定定理，巩固概念理解| |提升层|6-11题填空，图形计数、分类讨论|如第10题多解等腰三角形，训练空间观念| |拓展层|12-15题解答，证明、新定义“等角分割线”|培养推理能力与创新意识，衔接阶段测评|

1.5 等腰三角形(2)—等腰三角形的判定（课时作业） 1．（2025•麒麟区开学）一个三角形的两个内角分别是50°和80°，它是（　　） A．等腰三角形；B．等边三角形；C．直角三角形； D．无法确定 2．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 3．（2025•灞桥区校级一模）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个第4题 第3题 第5题 4．（2025•雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心BC为半径画弧交AC于点E，连接BE，作BE的中垂线交AB于点F，连接EF，则图中（除△ABC外）的等腰三角形有（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2025春•靖远县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB+CE； ③△ADE的周长等于AB+BC； ④BF＝CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC．则图中有 　 　 个等腰三角形．第6题 7．（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是　 　 ． 8．（2025秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 　 　 ．第9题 第7题 第8题 9．（2025秋•瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，作AC边上的中垂线EF，分别交BC，AC于点E，F，若△ABC周长为26，AC＝10，则DC的长为　 　 ． 10．（2025秋•南昌校级月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　 　 ．第11题 第10题 11．（2025春•管城区期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有　 　 个．（在图上作出点P的位置） 12．（2025秋•滨江区校级期中改编）如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，∠BAC＝80°， ∠C＝70°． （1）求∠BAE的大小； （2）求证：DE＝DC． 13．（2024秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D． （1）求∠BDC的度数； （2）延长CB至E，连接DE，当DF垂直且平分EC时，求证：△BED是等腰三角形． 14．（2025秋•深圳校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　 ． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 15．（2025秋•仙游县期中改编）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 示例：如图1，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠A＝40°，CD把△ABC分割成△ADC和△CDB两个小三角形，其中∠DCB＝40°， ∴∠BDC＝∠ACB＝110°, ∠ACD＝∠ADC＝70°． ∴AC＝AD，即△ADC为等腰三角形； 又∵∠B＝∠B，∠DCB＝∠A＝40°，∠ACB＝∠CDB＝110°， ∴△BDC与△BCA三个角分别相等； ∴CD为△ABC的“等角分割线”． （1）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝50°，∠B＝30°，求证：CD为△ABC的等角分割线； （2）如图3，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线，求∠ACB的度数． 1.5 等腰三角形(2)—等腰三角形的判定（课时作业） 参考答案与试题解析 1．（2025•麒麟区开学）一个三角形的两个内角分别是50°和80°，它是（　A　） A．等腰三角形；B．等边三角形；C．直角三角形； D．无法确定 2．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（　D　） ①一条边上的高线与这条边上的中线重合 ②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合 ③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合 A．只有①和②可以 B．只有①和③可以 C．只有②和③可以 D．①②③全部都可以 3．（2025•灞桥区校级一模）如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　C　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个第4题 第3题 第5题 4．（2025•雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心BC为半径画弧交AC于点E，连接BE，作BE的中垂线交AB于点F，连接EF，则图中（除△ABC外）的等腰三角形有（　B　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2025春•靖远县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　B　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB+CE； ③△ADE的周长等于AB+BC； ④BF＝CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC．则图中有 　6　 个等腰三角形． 7．（2025•越秀区校级模拟）如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝11，BC＝5，D是边AC上一点，且∠BDC＝∠BCD，过点D作DE⊥BD，交边AB于点E，则△BDE的周长是　16　 ． 8．（2025秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是 　11　 ．第9题 第7题 第8题 9．（2025秋•瑞安市校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，作AC边上的中垂线EF，分别交BC，AC于点E，F，若△ABC周长为26，AC＝10，则DC的长为　8　 ． 10．（2025秋•南昌校级月考）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为　120°或75°或30° ． 解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝30°， ①当E在E1时，OE＝CE， ∵∠AOC＝∠OCE＝30°， ∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°； ②当E在E2点时，OC＝OE， 则∠OEC＝∠OCE（180°﹣30°）＝75°； ③当E在E3时，OC＝CE， 则∠OEC＝∠AOC＝30°； 故答案为：120°或75°或30°． 11．（2025春•管城区期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有　6　 个．（在图上作出点P的位置） ．12．（2025秋•滨江区校级期中改编）如图，在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠BAE的大小； （2）求证：DE＝DC． （1）解：∵AE是角平分线，∠BAC＝80°， ∴， 即∠BAE的大小为40°； （2）证明：∵AE是角平分线，∠BAC＝80°， ∴∠CAE∠BAC80°＝40°， ∵∠C＝70°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠AEC＝∠C， ∴AE＝AC，即△ACE为等腰三角形， ∵AD是高线， ∴AD⊥CE， ∴DE＝DC． 13．（2024秋•山阳县期末）如图，在△ABC中，∠A＝32°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D． （1）求∠BDC的度数； （2）延长CB至E，连接DE，当DF垂直且平分EC时，求证：△BED是等腰三角形． （1）解：∵∠A＝32°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB74°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD74°＝37°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝69°； （2）证明：由（1）知∠ABC＝74°，∠BCD＝37°， ∵DF垂直且平分EC， ∴DC＝DE， ∴∠E＝∠BCD＝37°，∠BDE＝∠ABC﹣∠E＝74°﹣37°＝37°， ∴∠BDE＝∠E， ∴BD＝BE， ∴△BED是等腰三角形． 14．（2025秋•深圳校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：EF＝BE+CF ． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO， ∵EF＝EO+FO， ∴EF＝EB+FC， （2）EF＝BE﹣CF， 理由是：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EBO＝∠EOB， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝CF， ∵EF＝EO﹣FO， ∴EF＝BE﹣CF． 15．（2025秋•仙游县期中改编）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 示例：如图1，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠A＝40°，CD把△ABC分割成△ADC和△CDB两个小三角形，其中∠DCB＝40°， ∴∠BDC＝∠ACB＝110°, ∠ACD＝∠ADC＝70°． ∴AC＝AD，即△ADC为等腰三角形； 又∵∠B＝∠B，∠DCB＝∠A＝40°，∠ACB＝∠CDB＝110°， ∴△BDC与△BCA三个角分别相等； ∴CD为△ABC的“等角分割线”． （1） 如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝50°，∠B＝30°，求证：CD为△ABC的等角分割线； （1）证明：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°， ∵CD为角平分线， ∴， ∴∠BCD＝∠A，∠DCA＝∠A， ∴CD＝AD， ∴△ACD为等腰三角形， 又∵∠BCD＝50°，∠B＝30°， ∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝100°， ∴∠BDC＝∠ACB，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴△BDC与△BCA三个角分别相等， ∴CD为△ABC的等角分割线； （2）如图3，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线，求∠ACB的度数． （2）解：∵∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线， ∴△ACD为等腰三角形或者△BCD为等腰三角形， 当△ACD是等腰三角形时， ①当AC＝AD，∠A＝∠BCD＝48°时，如图， 则， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝48°+66°＝114°， ∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝66°+48°＝114°； ②当DA＝DC，∠A＝∠BCD＝48°时，如图， 则∠ACD＝∠A＝∠BCD＝48°， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝96°， ∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°； ③当CA＝CD，∠A＝∠BCD＝48°时， 则∠ADC＝∠A＝∠BCD＝48°， ∴AD∥BC，故此情况不存在； 当△BCD是等腰三角形时， ④当BD＝CD，∠B＝∠ACD时，如图， 则∠ACD＝∠B＝∠BCD， 由∠A+∠B+∠ACB＝180°得，48°+3∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝44°， ∴∠ACB＝2∠ACD＝88°； ⑤当BD＝BC，∠ACD＝∠B时，如图， 则∠BCD＝∠BDC， 设∠ACD＝∠B＝α， 则∠BCD＝∠BDC＝∠A+∠ACD＝α+48°， 由∠B+∠BCD+∠BDC＝180°得， α+2（α+48°）＝180°， ∴α＝28°， ∴∠ACB＝2α+48°＝104°； ⑥当CD＝BC，∠ACD＝∠B时， 则∠ACD＝∠B＝∠BDC， ∴AC∥BD，故此情况不存在； 综上所述：∠ACB＝114°或96°或88°或104°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $