第一章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元，覆盖定义、判定及应用，融合赵爽弦图、《九章算术》等文化素材与梯子、消防车云梯等生活情境，适配单元复习，提升数学抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判定、梯子问题、赵爽弦图面积关系|基础概念与直观应用结合，如第6题借弦图考代数关系| |填空题|6/18|直角三角形判定、古代芦苇问题、动态滑动问题|文化情境与动态思维，如第13题《九章算术》水池问题| |解答题|8/72|综合计算、实际救援、弦图证明与应用|分层设计，从基础计算（17题）到创新实践（24题弦图跨情境应用），体现推理能力与模型意识|

第一章 勾股定理（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数中是勾股数的一组是（   ） A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．，， 【答案】B 【详解】解：，因此2，5，6不是一组勾股数，A选项不符合题意； ，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意； 0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意； ，因此、、不是一组勾股数，D选项不符合题意； 2、如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米）， 3、如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【答案】A 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 在中，， ∴， ∵， ∴． 4、在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 5、如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 又∵CF=DE=3m， ∴ 在中，， 得： 解得： 6、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 7、在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【详解】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 8、如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得， 由题中作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为为；      9、如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ， ∵， ∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得： ，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个， 10、如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：过作， ， ， ， ∵是线段上的动点（不含端点、）． ， 或4， ∵线段长为正整数， ∴可以有三条，长为4，3，4， ∴点的个数共有 3 个， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是 ． 【答案】直角三角形 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形 12、如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】52 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， 所以正方形的面积. 故答案为：52． 13、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为尺， 由题意得：， 故答案为： 14、如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 15、一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【详解】解：展开后图形是： ∵底面周长为12cm，高18cm， ∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（）， 故答案为：30． 16、如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【详解】解：在中，，，， ∴=25， ∴AB=5 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2) 直角三角形，理由见详解 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 18、 某县中学有一块空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种花，经测量，，，，．求出该空地的面积． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴该空地的面积是：． 19、在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 20、如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 21、一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯子的底端在水平方向沿一条直线向右滑动多少米？    【答案】梯子底端向右滑动了1米 【详解】解：在中， 因为，所以． 所以米． 所以米． 在Rt中， 因为，所以． 所以米． 所以米． 即梯子底端向右滑动了1米． 22、消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 23、综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 24、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见详解，② (2)新路比原路少千米； (3) 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组数中是勾股数的一组是（   ） A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．，， 2、如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 3、如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 4、在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5、如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 6、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 7、在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 8、如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 9、如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10、如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是 ． 12、如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ． 13、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为 ． 14、如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 15、一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 16、如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 18、 某县中学有一块空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种花，经测量，，，，．求出该空地的面积． 19、在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 20、如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 21、一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯子的底端在水平方向沿一条直线向右滑动多少米？    22、消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 23、综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 24、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $