第一章 勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元卷，以文化传承与现实应用为特色，覆盖勾股定理核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，培养数学抽象、推理及模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、《九章算术》问题、折叠作图|结合赵爽弦图考面积关系，第10题辨析勾股定理证明方法，强化推理意识| |填空题|6/18|最短路径、勾股树、圆柱展开|机器人走位（第15题）融入科技情境，勾股树（第12题）提升空间观念| |解答题|8/72|实际应用（放风筝、航海）、跨学科（物理实验）|23题航海安全考距离与信号覆盖，24题结合定滑轮实验，培养模型意识与应用能力|

第一章 勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．，， 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长.在这个问题中，AC的长为(　　) A．尺 B．尺 C．4尺 D．5尺 3．如图，在中，，是的平分线．已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．若△ABC的三边a、b、c满足 则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点M和N；②直线MN交边AB于点E.已知AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知Rt△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，则斜边上的高为（　　） A．6 B．12 C．5 D．2.4 7．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．2：5 C．： D．1：3 9．第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞　 　米． 12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是　 　． 13．如图，圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为　 　cm. 14．如图，已知等腰，，平分，于点D，连结，则的面积为　 　． 15．央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为　 　米． 16．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为　 　． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系? 18．一块木板如图所示，已知，，，，，木板的面积是多少？ 19．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； （2）连接，求的度数． 20．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5，BC=13，BE=12. （1）求证：BE⊥CE； （2）求线段AB的长。 21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 23．在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． （1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间； （2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 24．某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图 说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， （1）如图1，求绳子的总长度； （2）如图2，求滑块向左滑动的距离． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】10 12．【答案】 13．【答案】5π 14．【答案】 15．【答案】4 16．【答案】45 17．【答案】解：∵由勾股定理得： 同理 18．【答案】解：如图，连接， ，中，，， ， 中，，，， 即， 是直角三角形， 木板面积． 19．【答案】（1）；；；. （2）解：如图， ，， ， 为直角三角形， ． 20．【答案】（1）证明： ∵BE=12， CE=5， BC=13， ∴△BEC是直角三角形， 且∠BEC=90 °， ∴BE⊥CE （2）解：设AE=x ∵AB=AC ∴AB=AC=x+5 在Rt△ABE中，BE2+AE2=AB2 即x2+122=(x+5)2 解得：x=16.9 ∴线段AB的长度为16.9 21．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，， ∴米或米 （负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 22．【答案】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 23．【答案】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）解：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 24．【答案】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $