1.4 全等三角形 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到拓展探究，构建“概念理解-性质应用-综合探究”的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|全等图形概念、全等三角形表示与性质|选择填空巩固基础，解答题直接应用性质，培养符号意识与运算能力| |B组|性质综合应用、多条件推理|结合比例计算、面积关系提升，强化推理意识与几何直观| |C组|图形变换与性质探究|通过翻折、平移等变换探究全等本质，发展空间观念与创新意识|

浙教版数学八年级上册 第1章 1.4 全等三角形 课时作业 第1章 三角形 1.4 全等三角形 课 时 作 业 班级：____________ 姓名：____________ 得分：__________ 用时：________分钟 学习目标 1. 理解全等图形、全等三角形的概念，知道全等图形能够完全重合；2. 会用符号"≌"表示两个三角形全等，并能按对应顶点的顺序正确书写；3. 会找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；4. 掌握全等三角形的性质，并能用它进行简单的计算和推理。 一、知识梳理 知识点 1 全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 图 1-1 平移、翻折、旋转都能得到全等图形 要点 ① "完全重合"指的是形状相同、大小也相同；② 把一个图形平移、翻折或旋转后所得的图形，与原图形一定全等；③ 形状相同但大小不同的两个图形（如两个大小不等的等边三角形）不是全等图形。 知识点 2 全等三角形及其表示 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合在一起时： 　　互相重合的顶点叫做对应顶点； 　　互相重合的边叫做对应边； 　　互相重合的角叫做对应角。 图 1-2 全等三角形的对应顶点、对应边和对应角 如图，△ABC 与 △DEF 全等，记作"△ABC ≌ △DEF"，读作"三角形 ABC 全等于三角形 DEF"。符号"≌"中，"∽"表示形状相同，"="表示大小相等。 书写规范（非常重要） 用符号"≌"表示两个三角形全等时，必须把对应顶点写在对应的位置上。例如写成 △ABC ≌ △DEF，就表示 A 与 D、B 与 E、C 与 F 是对应顶点，于是 AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 是对应边，∠A 与 ∠D、∠B 与 ∠E、∠C 与 ∠F 是对应角。 知识点 3 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 用符号语言表示： ∵ △ABC ≌ △DEF， ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF（全等三角形的对应边相等）； 　 ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F（全等三角形的对应角相等）。 图 1-3 由全等可以推出对应边、对应角相等 由性质还可以推出 ① 全等三角形的周长相等，面积也相等；② 全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线都分别相等。 知识点 4 找对应元素的方法 方　法 具　体　做　法 看符号 若已写成 △ABC ≌ △DEF，则按字母顺序一一对应，这是最可靠的方法 看角 相等的角是对应角；对应角所对的边是对应边 看边 相等的边是对应边；对应边所对的角是对应角 看位置 公共边一定是对应边；公共角一定是对应角；对顶角一定是对应角 看大小 最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 图 1-4 有公共边的两个三角形 如图，△ABD 与 △ACD 有公共边 AD，若这两个三角形全等，则 AD 一定是它们的对应边。 易错提醒 ① 写全等式时字母顺序不能随意颠倒，△ABC ≌ △DEF 与 △ABC ≌ △EDF 表示的对应关系完全不同；② "对应边"不等于"对应位置的边"，一定要先弄清楚哪两个顶点是对应顶点；③ 两个三角形面积相等、周长相等，并不能说明它们全等。 二、典例精析 例 1 找对应边与对应角 已知 △ABC ≌ △DEF。 　　（1）写出所有的对应边和对应角； 　　（2）若 AB = 5，BC = 6，AC = 4，求 △DEF 各边的长； 　　（3）若 ∠A = 50°，∠E = 60°，求 ∠C 的度数。 【解】（1）对应边：AB 与 DE，BC 与 EF，AC 与 DF； 　　对应角：∠A 与 ∠D，∠B 与 ∠E，∠C 与 ∠F。 （2）由全等三角形的对应边相等，得 DE = AB = 5，EF = BC = 6，DF = AC = 4。 （3）由全等三角形的对应角相等，得 ∠B = ∠E = 60°。 　　在 △ABC 中，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°。 【解析】这类题的核心是"按字母顺序找对应"。由 △ABC ≌ △DEF 立刻可知 A↔D、B↔E、C↔F，然后边、角都按这个对应关系一一写出。第（3）小题要先把 ∠E 转化为 ∠B，再用三角形内角和求 ∠C。 例 2 书写全等式 如图 1-2，已知两个三角形全等，且 AB = DE，∠B = ∠E。下面几种写法中，哪些是正确的？ 　　（1）△ABC ≌ △DEF；　（2）△BAC ≌ △EDF；　（3）△ABC ≌ △EDF；　（4）△CAB ≌ △FDE。 【解】（1）（2）（4）正确，（3）错误。 【解析】对应关系是 A↔D、B↔E、C↔F。 （1）A↔D、B↔E、C↔F，正确； （2）B↔E、A↔D、C↔F，正确； （4）C↔F、A↔D、B↔E，正确； （3）中把 A 对应成了 E、B 对应成了 D，与实际对应关系不符，错误。 结论：只要每一位上的字母都是真正的对应顶点，写法就正确，与从哪个顶点开始写无关， 　　但两个三角形的字母顺序必须"步调一致"。 例 3 含公共边的全等三角形 如图，AD 是 △ABC 的中线，且 △ABD ≌ △ACD。 图 1-5 例 3 用图 　　（1）写出这两个三角形的对应边和对应角； 　　（2）若 ∠B = 55°，求 ∠C 的度数； 　　（3）若 ∠ADB = 90°，说明 AD 是 BC 边上的高线。 【解】（1）由 △ABD ≌ △ACD 知，对应顶点是 A↔A、B↔C、D↔D， 　　对应边：AB 与 AC，BD 与 CD，AD 与 AD（公共边）； 　　对应角：∠B 与 ∠C，∠BAD 与 ∠CAD，∠ADB 与 ∠ADC。 （2）由全等三角形的对应角相等，得 ∠C = ∠B = 55°。 （3）∵ ∠ADB 与 ∠ADC 是对应角，∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°。 　　又∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（B、D、C 三点共线），这与上面一致， 　　∴ AD ⊥ BC，即 AD 是 BC 边上的高线。 【解析】遇到有重叠或有公共部分的全等三角形，先把公共边（公共角）找出来，它一定是对应边（对应角）。必要时可以把两个三角形在草稿纸上分开画，对应关系会更清楚。 例 4 全等的性质在计算中的应用 已知 △ABC ≌ △DEF，△ABC 的周长是 24 cm，AB = 8 cm，BC = 9 cm。 　　（1）求 AC 的长； 　　（2）求 △DEF 的周长； 　　（3）求 DF 的长。 【解】（1）AC = 24 - 8 - 9 = 7（cm）。 （2）因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长相等， 　　所以 △DEF 的周长也是 24 cm。 （3）由 △ABC ≌ △DEF 知 AC 与 DF 是对应边，所以 DF = AC = 7 cm。 【解析】全等三角形的三条边分别对应相等，因此周长必然相等，面积也必然相等。反过来要注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 三、课时作业 A 组 基础巩固 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列说法中，正确的是（　　） 　　A. 面积相等的两个三角形一定全等　　B. 周长相等的两个三角形一定全等 　　C. 能够完全重合的两个三角形全等　　D. 形状相同的两个三角形一定全等 2. 若 △ABC ≌ △DEF，则下列结论中错误的是（　　） 　　A. AB = DE　　　B. ∠B = ∠E　　　C. AC = EF　　　D. ∠C = ∠F 3. 已知 △ABC ≌ △DEF，∠A = 60°，∠B = 70°，则 ∠F 等于（　　） 　　A. 50°　　　B. 60°　　　C. 70°　　　D. 130° 4. 若 △ABC ≌ △DEF，且 △ABC 的周长为 20，AB = 6，BC = 8，则 DF 的长为（　　） 　　A. 6　　　B. 8　　　C. 6 或 8　　　D. 无法确定 5. 一个图形经过下列变换后，与原图形不一定全等的是（　　） 　　A. 平移　　　B. 翻折　　　C. 旋转　　　D. 放大 6. 如图 1-4，AD 是公共边，若 △ABD ≌ △ACD，则下列各组元素中，不是对应元素的是（　　） 　　A. AB 与 AC　　　B. BD 与 CD　　　C. ∠B 与 ∠C　　　D. ∠BAD 与 ∠ADC 7. 已知 △ABC ≌ △DEF，若 △ABC 中最长的边是 AB，则 △DEF 中最长的边是（　　） 　　A. DE　　　B. EF　　　C. DF　　　D. 无法确定 8. 下列图形中，一定是全等图形的一组是（　　） 　　A. 两个等边三角形　　　　　　B. 两个直角三角形 　　C. 两个面积相等的长方形　　　D. 同一张底片洗出的两张同样尺寸的照片 二、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 9. 能够完全重合的两个图形叫做____________；能够完全重合的两个三角形叫做____________。 10. 全等三角形的对应边________，对应角________。 11. 若 △ABC ≌ △DEF，则 ∠A 的对应角是________，边 BC 的对应边是________。 12. 已知 △ABC ≌ △DEF，AB = 7，DF = 5，EF = 6，则 △ABC 的周长是________。 13. 若 △ABC ≌ △DEF，∠A = 45°，∠E = 65°，则 ∠C = ________度。 14. 两个全等三角形的面积________（填"相等"或"不一定相等"）；面积相等的两个三角形________全等（填"一定"或"不一定"）。 15. 如图 1-4，若 △ABD ≌ △ACD，∠BAD = 30°，则 ∠BAC = ________度。 三、解答题（共 28 分） 16.（8 分）已知 △ABC ≌ △MNP。 　　（1）写出所有的对应顶点、对应边和对应角； 　　（2）若 AB = 10 cm，BC = 12 cm，AC = 9 cm，写出 △MNP 各边的长； 　　（3）若 ∠A = 55°，∠N = 75°，求 ∠P 的度数。 17.（10 分）如图，△ABC ≌ △DEF。 图 1-6 第 17 题用图 　　（1）写出图中所有相等的线段和相等的角； 　　（2）已知 AB = 5，BC = 6，AC = 4，求 △DEF 的周长； 　　（3）若 △ABC 的面积是 11，求 △DEF 的面积，并说明理由。 18.（10 分）如图，点 D 在 BC 上，AD 是 △ABC 的中线，且 △ABD ≌ △ACD。 图 1-7 第 18 题用图 　　（1）指出这两个三角形的公共边，并说明它是不是对应边； 　　（2）若 AB = 13，BD = 5，求 AC 和 CD 的长； 　　（3）若 ∠BAC = 80°，求 ∠BAD 的度数； 　　（4）求 ∠ADB 的度数，并说明 AD 与 BC 有什么位置关系。 B 组 能力提升 19.（8 分）已知 △ABC ≌ △DEF，∠A ∶ ∠B ∶ ∠C = 2 ∶ 3 ∶ 4。 　　（1）求 △ABC 三个内角的度数； 　　（2）求 ∠D、∠E、∠F 的度数； 　　（3）若 △DEF 中 DE = 6，EF = 8，DF = 10，判断 △ABC 中最长的边是哪一条，并说明理由。 20.（8 分）如图 1-6，△ABC ≌ △DEF，AB = 8，BC = 10，AC = 6，△ABC 中 BC 边上的高为 h。 　　（1）写出 △DEF 中与 h 相等的线段（用文字描述）； 　　（2）若 △ABC 的面积是 24，求 h 的值； 　　（3）求 △DEF 中 EF 边上的高。 21.（8 分）小明说："如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等。" 　　（1）你同意小明的说法吗？ 　　（2）请举出一个反例说明； 　　（3）由此你认为要判断两个三角形全等，只有角的条件够不够？为什么？ C 组 拓展探究 22.（10 分）如图，把一个三角形纸片沿着一条直线翻折，使点 B 落在点 C 的位置上，折痕为 AD。 图 1-8 第 22 题用图（AD 为折痕） 　　（1）翻折前后的两个三角形有什么关系？为什么？ 　　（2）写出所有的对应边和对应角； 　　（3）由此可以得到 AB 与 AC、∠B 与 ∠C 之间有什么关系？ 　　（4）由（3）你能得出等腰三角形的一条什么性质？请用一句话表述。 23.（8 分）在方格纸上，小方格的边长都是 1。 　　（1）任意画一个三角形，再把它向右平移 4 格得到第二个三角形，这两个三角形全等吗？为什么？ 　　（2）把原三角形绕它的一个顶点旋转 180° 得到第三个三角形，它与原三角形全等吗？ 　　（3）把原三角形的每条边都放大到原来的 2 倍，得到的三角形与原三角形全等吗？为什么？ 　　（4）由（1）（2）（3）你能总结出什么规律？ 四、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1. C　2. C　3. A　4. A　5. D　6. D　7. A　8. D 详解： 1. 全等的定义就是"能够完全重合"，选 C。 　　A、B 错：面积或周长相等，形状可以完全不同；D 错：形状相同但大小可以不同。 2. 由 △ABC ≌ △DEF 知 A↔D、B↔E、C↔F， 　　所以 AC 的对应边是 DF 而不是 EF，C 错误，选 C。 3. ∠C = 180° - 60° - 70° = 50°，而 ∠F 与 ∠C 是对应角，所以 ∠F = 50°，选 A。 4. AC = 20 - 6 - 8 = 6，DF 与 AC 是对应边，所以 DF = 6，选 A。 5. 平移、翻折、旋转都不改变图形的形状和大小，得到的图形与原图形全等； 　　放大会改变大小，不再全等，选 D。 6. 由 △ABD ≌ △ACD 知 A↔A、B↔C、D↔D， 　　所以 ∠BAD 的对应角是 ∠CAD，而不是 ∠ADC，选 D。 7. AB 的对应边是 DE，对应边相等，所以 △DEF 中最长的边是 DE，选 A。 8. 两个等边三角形边长可以不同；两个直角三角形形状大小都可能不同； 　　面积相等的长方形长宽可以不同；同一张底片洗出的同尺寸照片能完全重合，选 D。 二、填空题 9. 全等图形；全等三角形 10. 相等；相等 11. ∠D；EF 12. 18 由对应关系：AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。 　　所以 AC = DF = 5，BC = EF = 6，又 AB = 7， 　　△ABC 的周长 = 7 + 6 + 5 = 18。 13. 70 ∠B = ∠E = 65°，所以 ∠C = 180° - 45° - 65° = 70°。 14. 相等；不一定 15. 60 由 △ABD ≌ △ACD 得 ∠CAD = ∠BAD = 30°， 　　所以 ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 30° + 30° = 60°。 三、解答题 16. 见解析 （1）对应顶点：A 与 M，B 与 N，C 与 P； 　　对应边：AB 与 MN，BC 与 NP，AC 与 MP； 　　对应角：∠A 与 ∠M，∠B 与 ∠N，∠C 与 ∠P。 （2）MN = AB = 10 cm，NP = BC = 12 cm，MP = AC = 9 cm。 （3）∵ ∠B 与 ∠N 是对应角，∴ ∠B = ∠N = 75°。 　　在 △ABC 中，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 75° = 50°， 　　∵ ∠P 与 ∠C 是对应角，∴ ∠P = ∠C = 50°。 17.（1）见解析　（2）15　（3）11 （1）相等的线段：AB = DE，BC = EF，AC = DF； 　　相等的角：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 （2）△ABC 的周长 = 5 + 6 + 4 = 15， 　　因为全等三角形的三边分别对应相等，所以 △DEF 的周长也是 15。 （3）△DEF 的面积也是 11。 　　理由：两个全等三角形能够完全重合，重合的图形面积当然相等。 18.（1）AD，是对应边　（2）AC = 13，CD = 5　（3）40°　（4）∠ADB = 90°，AD ⊥ BC （1）公共边是 AD。由 △ABD ≌ △ACD 知 A↔A、D↔D，所以 AD 与 AD 是对应边。 　　（公共边一定是对应边，这是找对应元素的一条重要经验。） （2）AB 与 AC 是对应边，所以 AC = AB = 13； 　　BD 与 CD 是对应边，所以 CD = BD = 5。 （3）∵ ∠BAD 与 ∠CAD 是对应角，∴ ∠BAD = ∠CAD。 　　又 ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 80°，∴ ∠BAD = × 80° = 40°。 （4）∵ ∠ADB 与 ∠ADC 是对应角，∴ ∠ADB = ∠ADC。 　　∵ 点 D 在 BC 上，∴ ∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义）， 　　∴ 2∠ADB = 180°，∴ ∠ADB = 90°， 　　所以 AD ⊥ BC，即 AD 是 BC 边上的高线。 B 组 能力提升 19.（1）40°，60°，80°　（2）∠D = 40°，∠E = 60°，∠F = 80°　（3）AC，理由见解析 （1）设 ∠A = 2x°，∠B = 3x°，∠C = 4x°， 　　由内角和定理得 2x + 3x + 4x = 180，即 9x = 180，x = 20， 　　所以 ∠A = 40°，∠B = 60°，∠C = 80°。 （2）由对应角相等，得 ∠D = ∠A = 40°，∠E = ∠B = 60°，∠F = ∠C = 80°。 （3）△ABC 中最长的边是 AC，长为 10。 　　理由：DF 是 △DEF 中最长的边（DF = 10），而 AC 与 DF 是对应边， 　　由对应边相等得 AC = DF = 10，所以 AC 是 △ABC 中最长的边。 20.（1）EF 边上的高　（2）h = 4.8　（3）4.8 （1）BC 与 EF 是对应边，所以 △ABC 中 BC 边上的高与 △DEF 中 EF 边上的高相等， 　　即与 h 相等的线段是 △DEF 中 EF 边上的高。 （2）由三角形面积公式 S = × 底 × 高，得 24 = × 10 × h， 　　即 5h = 24，所以 h = 4.8。 （3）由（1）知 △DEF 中 EF 边上的高等于 h，所以也是 4.8。 　　也可以这样算：△DEF 与 △ABC 全等，面积相等，都是 24，且 EF = BC = 10， 　　由 24 = × 10 × 高，得高 = 4.8。 21.（1）不同意　（2）（3）见解析 （1）不同意，小明的说法是错误的。 （2）反例：边长为 2 的等边三角形与边长为 5 的等边三角形， 　　它们的三个内角都是 60°，三个角分别相等， 　　但一个大一个小，不能完全重合，所以不全等。 （3）只有角的条件是不够的。 　　因为角只能决定三角形的"形状"，不能决定它的"大小"， 　　而全等要求形状和大小都相同，所以判断两个三角形全等时，必须有边的条件参与。 C 组 拓展探究 22. 见解析 （1）翻折前后的两个三角形全等（即 △ABD ≌ △ACD）。 　　理由：翻折不改变图形的形状和大小，翻折后的图形能与原图形完全重合。 （2）对应边：AB 与 AC，BD 与 CD，AD 与 AD（折痕，是公共边）； 　　对应角：∠B 与 ∠C，∠BAD 与 ∠CAD，∠ADB 与 ∠ADC。 （3）由全等三角形的对应边相等，得 AB = AC； 　　由全等三角形的对应角相等，得 ∠B = ∠C。 （4）性质：等腰三角形的两个底角相等，简称"等边对等角"。 　　（因为 AB = AC，说明 △ABC 是等腰三角形，而它的两个底角 ∠B 与 ∠C 恰好相等。） 23. 见解析 （1）全等。因为平移只改变图形的位置，不改变它的形状和大小， 　　所以平移后的三角形能与原三角形完全重合，两者全等。 （2）全等。旋转同样只改变位置和方向，不改变形状和大小，所以两者全等。 （3）不全等。因为每条边都放大到原来的 2 倍以后， 　　新三角形与原三角形形状相同但大小不同，不能完全重合。 （4）规律：平移、翻折、旋转这三种变换都不改变图形的形状和大小， 　　变换前后的图形一定全等；而放大或缩小会改变图形的大小，得到的图形与原图形不全等。 本课时小结 （1）全等的本质是"能够完全重合"，形状与大小都要相同；（2）书写全等式时，对应顶点必须写在对应位置上，这是最容易失分的地方；（3）找对应元素的口诀："公共边是对应边，公共角是对应角，大边对大边，大角对大角"；（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等，从而周长相等、面积相等，对应边上的高、中线和对应角的平分线也分别相等；（5）反过来不成立：周长相等、面积相等或三个角分别相等的两个三角形，都不一定全等。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $