5.2二次函数的图象(2) 课时练习 2026--2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质，分层设计从基础概念到综合应用，通过辨析、计算、探究题组培养抽象能力与推理意识，适配新授课巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图象开口方向、对称轴、平移规律|选择/填空题（如第1-7题、9-12题），直接应用概念辨析与基本计算| |中档|顶点坐标、与坐标轴交点、综合判断|选择第8题、填空13题，结合图表分析参数关系| |提高|实际情境应用、动态探究、跨知识综合|解答题18-20题，含解析式推导、最值探究，发展模型意识与创新思维|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.2二次函数的图象(2) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 2．（本题3分）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（  ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 5．（本题3分）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 6．（本题3分）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（  ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 7．（本题3分）若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 8．（本题3分）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②；③；④． 其中正确结论是（  ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 _____象限． 10．（本题3分）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 11．（本题3分）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 12．（本题3分）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 13．（本题3分）如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为____________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）二次函数中的满足如下表． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 n 0 ．．． (1)观察表中信息，发现___________，抛物线的对称轴为___________． (2)求该抛物线的解析式，并说明二次函数的开口方向． 15．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的周长最小时，求点的坐标； 17．（本题9分）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求b，c的值； (2)将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． 18．（本题9分）已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 20．（本题11分）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.2二次函数的图象(2) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限．故选：C 2．（本题3分）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 只有选项B符合题意， 故选：B． 3．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，三象限； 故选A． 4．（本题3分）抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（  ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 解：对于选项B：∵当和时，的值均为，这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线，故B选项正确； 对于选项A：观察表格可知，当从增大到时，从减小到，即对称轴右侧随的增大而减小，根据二次函数性质，可知抛物线开口向下，故A选项正确； 对于选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，而非减小，故C选项错误； 对于选项D：已知对称轴为直线，对应表格中的， ∴抛物线的顶点坐标为，故D选项正确； 故选：C． 5．（本题3分）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴．故选：A 6．（本题3分）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到．故选：B 7．（本题3分）若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 8．（本题3分）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②；③；④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③．故选：B 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 _____象限． 解：由图象得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴， ∴a＞0，c＜0， ∴b＜0， ∴ac＜0， ∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 10．（本题3分）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______． 解：设点的坐标为， 由于抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，则点和点的中点的横坐标等于对称轴的横坐标， 即， 解得， 故点的坐标为． 故答案为． 11．（本题3分）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． 12．（本题3分）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 13．（本题3分）如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为____________． 解：连接，交轴于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，，，， ∴， 故， ∴点坐标为， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）二次函数中的满足如下表． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 n 0 ．．． (1)观察表中信息，发现___________，抛物线的对称轴为___________． (2)求该抛物线的解析式，并说明二次函数的开口方向． （1）解：观察表格信息得当时，则的值是或， 故二次函数的对称轴为直线， 令时，则，即， 故答案为：，直线； （2）解：由（1）得对称轴为直线，， 即，， 观察表格数据得二次函数经过点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴开口方向向上． 15．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． （1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 16．（本题8分）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的周长最小时，求点的坐标； （1）解：当时，，解得，． ∴、． 由题意得，设对应的函数表达式为， 又∵经过点， ∴， ∴． ∴对应的函数表达式为． （2）∵、与轴交点均为、， ∴、的对称轴都是直线． 连接，交对称轴直线于点P，如图， 则， 的值最小， 此时点为直线与直线的交点， 由得、、，则直线对应的函数表达式为． ，， 则点． 17．（本题9分）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求b，c的值； (2)将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． （1）解：把和代入得，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， ∴向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的表达式为． 18．（本题9分）已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． （1）解：∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为， （3）解：由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 19．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． （1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 20．（本题11分）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． （1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $