5.3 二次函数的应用 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过基础巩固、情境建模、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的进阶，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|图形、增长率等单一知识点|如正方体表面积（单选7）、降价百分率（单选5），直接应用函数概念| |中档|拱桥、销售等实际情境建模|如拱桥结论判断（单选2）、销售利润最值（填空14），需建立函数关系| |提升|运动、综合问题多步求解|如小球飞行高度与时间（解答18）、动点面积变化（解答16），融合几何与函数综合应用|

5.3 二次函数的应用 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形（）花园，这个花园的最大面积是（    ）    A． B． C． D．以上都不对 2．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 5．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（    ） A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 7．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，点在线段上，记最小值的平方为，当点沿轴正向从点运动到点时（设点的横坐标为），关于的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 10．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，用长为的铝合金条制成“日”字形矩形窗户，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是______．    12．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 13．某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 14．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为_________元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 三、解答题 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示： ___________，___________，___________． (2)写出关于的函数解析式及的取值范围． 17．如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 18．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 19．某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为． (1)求与之间的函数表达式； (2)求水柱的最大喷射距离． 20．某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … … 周销量（盒） … … (1)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (2)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D C C A C D 1．【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查配方法求一元二次方程的最值，掌握一元二次方程与实际问题的综合，理解图形面积的计算，配方法求最值的方法是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， ∴设，则， ∴这个花园的面积， ∴当时，花园的最大面积是， 故选：． 2．【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 5．【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：， 当时，s取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒， 故选C． 7．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解． 【详解】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x2， ∴y与x关系式为y=6x2， 故选：C 【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键． 8．【答案】A 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】过点作，过点作，两线交于点，如图所示（见详解），作点关于的对称点，交与点，则转换为，求直线与点的横坐标的关系，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，，， ∴， 当在点处，取到最大值，即为，即是关于的一元二次方程， ∵， ∴当时，；当时，， 故选：． 【点睛】本题主要考查根据正方形的性质求线段的最小值，根据题意构造正方形，并找出点的对称点在正方形的边上，由此列出是关于的一元二次方程是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得． 【详解】解：当时，， 解得或， 则小球从飞出到落地用时为，结论①正确； ， 则小球飞行的最大高度为，结论②正确； 当时，， 解得或， 则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． 依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴． ∴抛物线为． 又∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴抛物线为． ∵点B在第一象限，到y轴的距离为， ∴B的横坐标为． ∴令，则， 即点B到x轴的距离为． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】设出矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，利用长方形的面积求出函数解析式，进一步利用函数求最大值． 【详解】解：设矩形窗户的透光面积为，窗户的宽为，则窗户的高为，根据题意得： ， 整理得， ∵， ∴抛物线开口向下，取得最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题注意考查了二次函数的应用，解题的关键是得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想． 12．【答案】45 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 13．【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 14．【答案】52 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 15．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 16．【答案】(1)，， (2) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴根据题意有：， ∵，， ∴， 故关于的函数解析式为． 17．【答案】(1) (2)水面宽度为米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 18．【答案】(1) (2)或 (3) (4)小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出当时y的值即可得到答案； （2）求出当时x的值即可得到答案； （3）求出当时x的值即可得到答案； （4）把函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）解：在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）解：在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）解：∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用： （1）根据顶点坐标，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线顶点为 设与之间的表达式为：． 将代入得：． 解得． ∴． （2）解：令，则 ． 解得，（不合题意，舍去） 答：水柱的最大喷射距离为． 20．【答案】(1)当销售单价定为元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元 (2)元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用． (1)设关于的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数的解析式；设销售利润为元，根据利润销量单件利润，可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可以求出最大利润； (2)根据，求出每周利润的取值范围，即可得到每周至少可获得的利润． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 当时，， 当时，， 可得：， 解得： 关于的函数表达式为； 设销售利润为元， 由题意可得：， 整理得：， ， 有最大值， 当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； （2）解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润， 又， 当时，所获利润最小为元； 当时，所获利润最大为元， 销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $