3.5图形的位似(2) 同步练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以三级分层设计（A级/B级/C级）构建位似图形知识巩固路径，从基础坐标变换到综合探究证明，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|位似图形坐标变换、位似比计算|以选择填空为主，直接应用位似比求坐标，夯实双基| |B级|位似与平行四边形/矩形性质结合|解答题形式，结合图形性质进行综合计算，提升推理能力| |C级|位似与相似三角形综合探究|含观察猜想、类比证明等探究题型，培养创新意识与数学思维|

第三章 图形的相似 第五节 图形的位似(2) 今日复习 如图，作△ABC的位似图形，如果选取点 A为位似中心，位似比为1：2，作图过程是：延长CA到点C',亻使 延长BA 到点B',使 ,连接 ,则 与△ABC是位似图形. 名师点拨 1.利用位似图形将图形放大或缩小的步骤： (1)确定位似中心，在原图上取若干个关键点； (2)以中心为端点，向各关键点作射线； (3)根据位似比，在射线上取对应点； (4)依次连接各对应点. 2.位似图形中的计算问题，可转化为由平行线构成的“A”或“X”形相似形来处理. 课时三级达标 A级 双基过手 1. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,3),B(-6,3),以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB 缩短为原来的 ，得到线段CD，其中点C对应点A，点D 对应点 B，则点 D 的坐标为 . 2.(2026·青羊)如图，在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴,AB的长为2,点A 的坐标为(2，1)，以O为位似中心在第一象限内画线段A'B'，使它与线段 AB 位似.若A'B'=6(点A，B的对应点分别为点A',B'),则点 B'的坐标为 . 3.(2026·锦江)在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2).若以原点O为位似中心，将线段AB 缩短为原来的 后得到线段A'B'，则点A 的对应点A'的坐标为 . 4.(1) 已知在平面直角坐标系中,△AOB 的顶点分别为点 A(2,1)、点B(2,0)、点O(0,0),若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为 . (2)(2025·东部新区)如图，在平面直角坐标系中,△ABC 与△ODE 是位似图形,则它们位似中心的坐标是 . 5.在平面直角坐标系中，已知点 P(-3,1),Q(-1,-1),以原点O为位似中心，相似比为 ,把△OPQ缩小,则点 P 的对应点P'的坐标是 ( ) A.(-1, B.(-9,3) C.(-1, 或 D.(-9,3)或(9,-3) 6. 已知两点A(4,6),B(6,2),以原点 O为位似中心，在第一象限内将△OAB缩小为原来的 ，则点 A 的对应点C的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(3,1) C.(2,1) D.(3,3) 7. 在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(2,1),C(-1,2),以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点 C的对应点C'的坐标为( ) 或(( ,-1) C.(-2,4) D.(-2,4)或(2,-4) 8.如图,矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形 ABCD,且点 B,F 的坐标分别为(-4,4),(2,1),则位似中心的坐标为( ) A.(0,3) B.(0,2.5) C.(0,2) D.(0,1.5) 9.如图，在平面直角坐标系xOy中,△OAB 的顶点坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(3,1)(每个方格的边长均为1个单位长度). (1)将△OAB先向左平移4个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后得到 ，请在平面直角坐标系中画出平移后的 , (2)请以O为位似中心，在y轴右侧画出△OAB 的位 似图形 ，使△OA₂B₂与△OAB的相似比为2:1,则点 A₂的坐标为( . ),点B₂的坐标为( , )。 10.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(4,0),C(0,2). (1)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ,得到△A₁B₁C₁,请在y轴的右侧画出△A₁B₁C₁. (2)在y轴上是否存在点P，使得| 的值最大?若存在，请求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. B级 能力提升 11. (2026·金牛)如图，在平面直角坐标系中,△ABC 与△ODE 是位似图形,则它们位似中心的坐标是 . 12. (2026·龙泉驿)如图，在平面直角坐标系中,△ABC与△ADE位似,相似比为1:2. 已知位似中心点 A 的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，4)，则点 D 的坐标为 13.(2026·青羊)如图,在▱ABCD 中, ∠ABC=120°,AB=4,点 E 在边BC上, BE=2,点 F 在边CD 上,CF=1,连接AE,EF.若∠AEF=120°,则线段CE的长为 . 14.如图,在矩形 ABCD 中, AB=9,BC=6,点E,F分别在BC,CD上. 若DF=2,∠EAF=45°,求 BE的长度. C级综合拓展 15.(2025·彭州)【观察与猜想】 (1)如图1,O是矩形ABCD 内一点,过点O的直线EF⊥MN，分别交矩形的边于点E,F,M,N.若AD=10,CD=7,EF=8,则MN= . 【类比探究】 (2)如图2,在平行四边形 ABCD中,点E,M分别在边AB,BC上,连接DM与CE 交于点O.若∠DOE=∠B,求证:CE·AB=DM·BC. 【拓展延伸】 (3)如图 3,在四边形 ABCD 中,BC=17 ,AB=4,∠B=∠ADC=120°, 点 M 在边 BC上,连接AC与DM 交于点 O,当∠AOD =∠B时，求 的值. 【今日复习】 B'C'△ AB'C' 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.(-2,1) 2.(12,3) 3.(3,4)或(-3,-4) 4.(1)(4,2)或(-4,-2) (2)(4,2) 5. C 6. A 7. D 8. C 9.【解】(1)如图所示,△O₁A₁B₁即为所求. (2)如图所示,△OA₂B₂即为所求,点A₂的坐标为(2,4),点 B₂ 的坐标为(6,2). 10.【解】(1)如图所示,△A₁B₁C₁ 即为所求. (2)在y轴上存在点 P，使得 的值最大.理由如下： 若A₁，B₁，P三点构成三角形，则 ∴当A₁,B₁,P 三点不能构成三角形,即点A₁,B₁,P共线时， 最大，此时 如图所示. 由A₁ 为OA 的中点,B₁ 为OB 的中点,且 A(3,3),B(0,4),得A₁( , ),B₁(2,0). 设直线 A₁B₁ 的解析式为 y= kx+b,把点 ),B₁(2,0)代入, 得 解得 ∴直线A₁B₁ 的解析式为y=-3x+6. 令x=0得y=6,∴P(0,6). 11.(4,2) 12.(-2,-2) 13.3 14.【解】如图,在 AB,CD上截取AM=DN=6,连接MN,交 AE 于点 H,连接 FH,延长 CD 至点G,使DG=MH,连接AG. ∵AM=DN=6,AM∥DN, ∴四边形AMND 是平行四边形. ∵∠ADC=90°,AD=DN=6, ∴四边形 AMND 是正方形, ∴MN=AD=6,∠AMN=∠ADF=90°. ∵AM=AD=6,∠AMH=∠ADG=90°,MH=DG, ∴△ADG≌△AMH(SAS), ∴∠DAG=∠MAH,AG=AH. ∵∠EAF=45°, ∴∠MAH+∠DAF=45°=∠DAF+∠GAD, ∴∠GAF=45°=∠EAF,且AG=AH,AF=AF, ∴△AFH≌△AFG(SAS), ∴FH=FG. ∵DF=2, ∴FN=4,GF=2+DG=2+MH. ∴MH=3. ∵∠BAE=∠MAH,∠AMN=∠ABC=90°, ∴△AMH∽△ABE, C级(综合拓展) 15.(1)【解】如图1,过点M作MQ⊥CD于点Q,过点E作EP⊥BC于点 P, 则四边形ABPE,四边形 BCQM是矩形, ∴PE=AB=CD=7,MQ=BC=AD=10. 易知,∠PEF=∠QMN. ∵∠EPF=∠MQN=90°,∴△EPF∽△MQN, 故答案为 (2)【证明】∵∠DOE=∠COM,∠DOE=∠B,∴∠B=∠COM. 又∵∠MCO=∠ECB,∴△COM∽△CBE, ∠DMC=∠BEC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠DCO=∠BEC, ∴∠DMC=∠DCO. 又∵∠ODC=∠CDM, ∴△DOC∽△DCM,∴= ∴CB·DM=CE·DC, ∴CB·DM=CE·AB. (3)【解】如图3,过点 D作DE∥BC交BA 的延长线于点E,过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F, ∴四边形 BEFC是平行四边形， ∴BE=CF,BC=EF,∠B=∠ADC=∠CFE=120°,∴∠E=60°. 在EF上截取EG=EA,连接AG,则△EAG为等边三角形， ∴∠AGD=120°=∠CFE=∠ADC, ∴∠GAD+∠GDA=∠GDA+∠FDC=60°, ∴∠GAD=∠FDC,∴△DFC∽△AGD, 设 FC=4x,则GD=5x, ∴EB=FC=4x, ∴AE=EG=AG=4x-4, 解得x=2, ∴EB=FC=8. 过点 F作FN∥DM交BC 于点N. ∴四边形 DFNM为平行四边形,∴FN=DM, 由(2)可得,BE·CA=BC·FN, ∴BE·CA=BC·DM, 学科网（北京）股份有限公司 $