3.2.2黄金分割 同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学黄金分割同步练，新授课使用。分层设计梯度明晰，从基础概念到综合应用，注重数学眼光观察现实世界与数学思维推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|黄金分割定义及直接计算|如选择1、3直接应用比例公式，巩固核心概念| |中档层|作图与实际情境应用|如选择2作图验证、填空8唢呐长度计算，培养应用意识| |提升层|几何与方程综合应用|如解答14黄金三角形证明及计算，发展推理能力与创新意识|

3.2.2黄金分割 同步练习 北师大新版九上 一．选择题（共7小题） 1．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝2，则AD的长是（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BCAB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 4．如图，乐器板面上的一根弦AB＝80cm，支撑点C是AB的一个黄金分割点（AC则A，C之间的距离是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在设计人体雕像时，雕刻者总是按照一定的比例进行设计雕刻，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，恰好等于下部与全部（全身）的高度比，以增加视觉美感．若按照这样的要求，设计的这个雕像的高为4m，设雕像上部AC的高为xm，则下列结论不正确的是（　　） A．雕像的上部高度AC与下部高度BC的关系为AC：BC＝x：（4﹣x） B．根据题意可以列方程x2﹣12x+16＝0 C．依题意可以列方程x2＝4（4﹣x） D．雕像下部高度为 6．如图，线段AB上的一点C把AB分割为两条线段AC、BC，当满足时，则称点C是线段AB的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段AB上的点C，设BC＝x米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（　　） A．（110﹣x）2＝110x B．x2＝110（110﹣x） C．x（110﹣x）＝1102 D．（110﹣x）2＝110x2 7．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 8．唢呐是中国的传统双簧木管乐器，其主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成（如图1）．李师傅制作了一个唢呐，将其抽象为线段AB（如图2），唢呐杆为AC，唢呐碗为BC．若点C为线段AB的黄金分割点（即AC2＝BC•AB），AB＝30cm，则唢呐杆AC的长度是　 　 cm．（结果保留根号） 9．数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高AC为468米，其上球体点B位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果．那么上球体到塔底的距离AB为　 　 米．（结果保留根号的形式） 10．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点C把线段AB分成AC，BC两部分，如果BC：AC＝AC：AB＝k，那么称点C是线段AB的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为36°的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，△DEF，△EFG，均为“黄金三角形”，若DE＝1，则GF的长是　 　 ． 11．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 12．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 13．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （1）求黄金矩形ABCD中BC边的长； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明结论． 14．阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 3.2.2黄金分割 同步练习 北师大新版九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝2，则AD的长是（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝2， ∴ADAD21， 故选：B． 2．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BCAB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 设AB＝2a，BC＝a，则ACa， ∵CD＝BC＝a， ∴AD＝AC﹣CD＝（1）a， ∵AP＝AD， ∴AP＝（1）a， ∴． 故选：A． 3．两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C．6.18cm D． 【解答】解：由条件可知：， ∴， 解得：． 故选：A． 4．如图，乐器板面上的一根弦AB＝80cm，支撑点C是AB的一个黄金分割点（AC则A，C之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据黄金分割的概念和黄金比值可知： 点C是AB的一个黄金分割点（AC＞BC），AB＝80cm， ∴AC＝80cm， 故选：A． 5．如图，在设计人体雕像时，雕刻者总是按照一定的比例进行设计雕刻，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，恰好等于下部与全部（全身）的高度比，以增加视觉美感．若按照这样的要求，设计的这个雕像的高为4m，设雕像上部AC的高为xm，则下列结论不正确的是（　　） A．雕像的上部高度AC与下部高度BC的关系为AC：BC＝x：（4﹣x） B．根据题意可以列方程x2﹣12x+16＝0 C．依题意可以列方程x2＝4（4﹣x） D．雕像下部高度为 【解答】解：根据黄金分割的定义逐项分析计算判断如下： ∵设计的这个雕像的高为4m，雕像上部AC的高为xm， ∴雕像下部BC的高为（4﹣x）m， ∴雕像的上部高度AC与下部高度BC的关系为AC：BC＝x：（4﹣x），故A正确，不符合题意； 依题意列方程x：（4﹣x）＝（4﹣x）：4，即（4﹣x）2＝4x，故C错误，符合题意； 整理得：x2﹣12x+16＝0，故B正确，不符合题意； 解得：（舍去）， ∴雕像下部高度为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，线段AB上的一点C把AB分割为两条线段AC、BC，当满足时，则称点C是线段AB的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段AB上的点C，设BC＝x米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（　　） A．（110﹣x）2＝110x B．x2＝110（110﹣x） C．x（110﹣x）＝1102 D．（110﹣x）2＝110x2 【解答】解：设BC＝x米，则AC＝110﹣x米，由条件可得： ， 整理得：（110﹣x）2＝110x． 故选：A． 7．鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 二．填空题（共4小题） 8．唢呐是中国的传统双簧木管乐器，其主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成（如图1）．李师傅制作了一个唢呐，将其抽象为线段AB（如图2），唢呐杆为AC，唢呐碗为BC．若点C为线段AB的黄金分割点（即AC2＝BC•AB），AB＝30cm，则唢呐杆AC的长度是　　 cm．（结果保留根号） 【解答】解：根据黄金分割的定义可知： ． 故答案为：． 9．数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高AC为468米，其上球体点B位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果．那么上球体到塔底的距离AB为　（）　 米．（结果保留根号的形式） 【解答】解：∵点B是线段AC上的一个黄金分割点，且AB＞BC，AC＝468米， ∴那么上球体到塔底的距离AB468＝（234234）米， 故答案为：（）． 10．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点C把线段AB分成AC，BC两部分，如果BC：AC＝AC：AB＝k，那么称点C是线段AB的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为36°的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，△DEF，△EFG，均为“黄金三角形”，若DE＝1，则GF的长是　　 ． 【解答】解：如图①，设AB＝y，AC＝x，则BC＝y﹣x， ∵BC：AC＝AC：AB＝k， ∴AC2＝AB•BC，， ∴x2＝y（y﹣x）， 整理得x2+xy﹣y2＝0， ∴，即k2+k﹣1＝0， 解得：或k（负值舍去，不合题意）， ∵△DEF为“黄金三角形”， ∴，即， ∴， ∵△EFG为“黄金三角形”， ∴，即， ∴若DE＝1，则， 故答案为：． 11．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　22　 ． 【解答】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵CE＝4， ∴BE＝BC+CE＝x+4， ∵四边形ABEF是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x＝22， 经检验：x＝22是原方程的根， ∴AB＝22， 故答案为：22． 三．解答题（共3小题） 12．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝80（4040）cm， ∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80160）cm． 13．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （1）求黄金矩形ABCD中BC边的长； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明结论． 【解答】解：（1）∵宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， ∴， ∴BC； （2）矩形DCEF是黄金矩形，证明如下： 由题意得：，BC， ∵四边形ABEF是正方形， ∴AB＝AF＝BE＝EF＝CD， ∴FD＝EC＝BC﹣BE， ∴， ∴矩形DCEF是黄金矩形． 14．阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D． （1）求证：△BCD为黄金三角形； （2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号） 【解答】（1）证明：由作图可知，BP平分∠ABC， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠BCD∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BC＝BD， ∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCD为黄金三角形； （2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴△ABC是黄金三角形， ∴． ∵AC＝4， ∴BC． ∵△BCD为黄金三角形， ∴， ∴CD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/28 14:23:21；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $