3.2 探索三角形相似的条件同步练习2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦三角形相似判定与黄金分割，通过基础巩固、综合应用、跨学科拓展三层设计，实现从概念理解到实践应用的递进，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相似判定、性质及黄金分割概念|选择题1-8、填空题10-13，直接考查定义与简单应用，巩固核心知识点| |提升|相似综合证明与动态问题|解答题16-19，结合正方形、等边三角形等背景，需逻辑推理与分类讨论| |拓展|跨学科与拔高应用|选择题9（拔高）、填空题14（跨学科情景）、解答题15（易错题），关联生活实际与复杂图形分析|

3.2 探索三角形相似的条件 一、选择题： 1.在和中，，，根据下列条件，能判断和相似的是(    ) A. B. C. D. 2.已知点是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 3.生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，可以增加视觉美感若图中为米，则约为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.如图，在和中，，要使与相似，还需满足下列条件中的(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似不包括本身的三角形有(    )    A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.把的各边都扩大为原来的倍，得到，则下列结论不正确的是(    ) A. 与的三边对应成比例 B. ∽ C. 与的三个角分别相等 D. 与的相似比为 7.如图，在中，的平分线交于点，过点作的平行线交于点若，则图中的相似三角形共有(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 8.要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边长为(    ) A. B. C. D. 9.（拔高题）如图，在中，为上一点，有下列四个条件：其中能使和相似的条件有(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一人们发现，当二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐悦耳如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则下方的琴弦长为          结果保留根号 11.“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点，汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观若正方形“黄金格”的边长为，则以四个黄金分割点为顶点的正方形的边长为          ． 12.如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则          ． 13.符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感如图所示的五角星中，，且，两点都是的黄金分割点，若，则的长是          结果保留根号 14.（跨学科情景题）跨学科实践活动中，在玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的声音实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时如图，可以敲击出“”的声音若，且敲击时发出“”的声音，则的长度为          ． 三、解答题： 15.（易错题）本小题分一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，那么这个人好看．如果一位女性肚脐以上的高度为，肚脐以下的高度为，那么她应该穿多少厘米高的鞋子才好看精确到？ 16.本小题分如图，已知，相交于点，连接，，且求证：∽． 17.本小题分如图，点，分别在正方形的边，上，，，求证：∽． 18.本小题分已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，求证：∽． 19.本小题分如图，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，，分别从，同时出发，经过多少秒，以，，为顶点的三角形恰与相似？ 20.本小题分如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证：； 求证：∽； 若，则           ． 参考答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  【解析】【分析】 略 【解答】 略 10.  11.  12.  13.  【解析】，两点都是的黄金分割点，，，，，，，． 14.  15.解：设她应穿高的鞋子，  根据题意，得解得  答：她应该穿高的鞋子才好看．  16.证明：，， ．   17.证明：，，，四边形是正方形，，，，∽．  18.证明：是等边三角形， ，                                又，          ，        ∽．  【解析】本题考查的是相似三角形的判定，等边三角形的性质有关知识，根据是等边三角形得出，，然后再利用三角形相似的判定定理进行解答即可． 19.解：设经过秒后，∽，此时，∽，，，  设经过秒后，∽，此时，∽，，，  综上，经过或，以，，为顶点的三角形与相似．  20.【小题】 证明：四边形是正方形，，，，． 【小题】 证明：，，，，，，∽． 【小题】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $