3.4 相似三角形的性质(2) 同步练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以三级达标分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的梯度路径，强化相似三角形性质应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|相似比、周长比、面积比等单一知识点|直接应用性质的选择、填空及简单解答题，如面积比与相似比互化| |B级能力提升|结合图形变换、动态问题的综合应用|含正方形、作图等情境题，需转化线段关系建立方程，如第11题正方形面积比| |C级综合拓展|动态几何与多问证明的复杂探究|多问探究题，需全等与相似转化，如第15题旋转背景下的线段计算与证明|

第三章图形的相似 第四节 相似三角形的性质(2) 今日复习 1.相似多边形中，对应的三角形 ，其相似比等于原相似多边形的 . 2.相似多边形中，对应线段的比等于 . 3.相似多边形的周长之比等于 ，面积之比等于 名师点拨 1.要注意分清相似多边形的相似比，求图形面积时可应用相似形的性质，而不必用面积公式. 2.注意将相似多边形转化成相似三角形. 3.运用相似多边形性质的关键：把一般的线段之比转化为“对应边”之比. 4.在“运动”类相似形问题中，解答之前，应把相关的边用时间“t”的表达式表示出来，以便利用“相似性质”建立方程求解. 课时三级达标 A级双基过手 1. 若△ABC∽△DEF,且面积之比为9：4，则相似比为 . 2.(1)(2026·青羊)如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们的面积之比为 . (2)已知△ABC∽△DEF,AG和DH 是它们的对应边上的高，若AG=4,DH=6,则△ABC 与△DEF的面积比是 . 3.(1) 两个相似三角形的对应边分别是 15 cm和23 cm,它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是 . (2) 若△ABC∽△A'B'C',且面积比为4 ：9，则其对应边上的高的比为 . 4.(1) 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边 BA,BC上,且 则△DBE 与四边形 ADEC的面积的比为 . (2)(2025·简阳)如图,在▱ABCD 中,E是AD 中点,连接BE,交AC 于点 F.若△AEF 的面积为 ，则四边形DCFE的面积为 . 5.(2024·内江)已知△ABC 与△DEF 相似,且相似比为1:3,则△ABC与△DEF的周长之比是 ( ) A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 6. 如图,在▱ABCD中,E是边AD上的一点,且AE=5,BC=8,则下列说法不正确的是 ( ) B.△DEF∽△BCF D. S△DEF :S△BCF =3:8 7.如图,在△ABC中,点 D,E,F分别在边 AB,AC,BC 上,连接 DE,EF，已知四边形 BDEF 是平行四边形，若△ADE 的面积为1，则平行四边形 BDEF 的面积为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8. 已知△ABC∽△DEF,相似比为 1 : 2,且△DEF 的面积为 12,则△ABC的面积为 ( ) A.84 B.24 C.6 D.3 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°, 将△ABC 绕点A顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB'C',连接 BB',CC',求△CAC'与△BAB'的面积之比. 10. 如图,E 是矩形ABCD 中AD边的中点,BE 交AC 于点F,△AEF的面积为2.求四边形CDEF 的面积. B级 能力提升 11. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形 BCME 的面积比为 . 12.(2025·金牛)如图,在△ABC中,D是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N;②以点 D 为圆心,以AM长为半径作弧,交 DB 于点M';③以点 M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点 N'；④过点N'作射线 DN'交 BC 于点 E.若△BDE与四边形ACED 的面积比为1：8，则 的值为 . 13.(2026·郫都)如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形 EFCD沿MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，则 14. 如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE 交AD 于点 F,求△AFE 面积的最大值. C级综合拓展 15.(2025·锦江)如图,在△ABD中,AB=AD,∠BAD=α. C是BD 延长线上一动点，连接AC，将AC 绕点A 按顺时针方向旋转α得到AE,连接 DE 交 AC 于点F. (1)求证:∠ACB=∠E; (2)如图1,若DE∥AB,DF=2,FE=7,求BD的长； (3)如图 2,若 F 为AC 中点, CD=4,求AB的长.(用含 n的代数式表示) 【今日复习】 1.相似 相似比 2.相似比 3.相似比 相似比的平方 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1. 2.(1)1:16 (2)4: 9 3.(1)75cm,115cm (2) 4.(1) (2) 5. B 6. D 7. B 8. D 9.【解】由旋转的性质可知， \because A B = A B ' , A C = A C ' , 10.【解】∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD∥BC,BC=AD,AB=CD,∠ABC=∠D=90°, ∵E是矩形ABCD 中AD 边的中点, ∴BC=AD=2AE. ∵AE∥BC,∴△AEF∽△CBF, B级(能力提升) 11.1:3 12. 13. 14.【解】如图,连接DE. ∵CD=2BD,CE=2AE, ∴DE∥AB, ∴△CDE∽△CBA, ∵DE∥AB,∴S△ABE=S△ADD, ∴当AB⊥BD时,△ABD 的面积最大，最大值 ∴△AEF的面积的最大值 C级(综合拓展) 15.(1)【证明】∵将AC绕点A 按顺时针方向旋转α得到AE, ∴∠CAE=a,AC=AE. ∵∠BAD=α, ∴∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE中 ∴△BAC≌△DAE(SAS),∴∠ACB=∠E. (2)【解】∵△BAC≌△DAE, ∴∠ABC=∠ADE,BC=DE=DF+FE=9. ∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE. ∴∠B=∠ADB=∠DAB,∴AB=AD=BD. 设AB=AD=BD=x,则CD=9-x. ∵DE∥AB,∴△CDF∽△CBA, 解得x=3或x=6. ∴BD的长为3 或6. (3)【解】 △BAC≌△DAE, ∵F为AC中点, 由(1)知,∠ACB=∠E. ∵∠DFC=∠AFE,∴△DFC∽△AFE, ∴FE=2n+2,DF=2. ∴DE=DF+FE=2n+4. ∵△BAC≌△DAE,∴BC=DE=2n+4, ∵BC=BD+CD,∴BD=2n. 如图,过点A 作AM⊥BD于点M,AN⊥DE于点N. ∵AB=AD,∴BM=DM= 由(2)知,∠ADB=∠ADE. 在△ADM和△ADN中, ∴△ADM≌△ADN(AAS),∴AM=AN, ∴DM=DN=n,∴EN=DE-DN=n+4, 在 Rt△ABM 中,根据勾股定理,得 AB = 学科网（北京）股份有限公司 $