第二章 一元二次方程【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过知识框架总览将基础概念、核心工具、四种解法（由简到繁）、实际应用模型串联，构建完整知识网络，体现知识点间逻辑联系。 其亮点在于聚焦高频易错点诊断与分层练习设计，如通过“忽略a≠0”等易错提醒培养学生数学思维的严谨性，实际应用题（增长率、面积问题）强化模型意识，综合题涵盖选择、填空、解答分层训练，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 第二章 一元二次方程 章末复习（专项精讲+练习） 本章是初中代数核心章节，承接整式、分式、一元一次方程，是后续二次函数、圆的计算、中考应用题的基础。本章核心分为三大模块：方程概念与判定、四种解方程方法、方程实际应用，同时包含根的判别式、根与系数的关系两大重难点，题型覆盖选择、填空、解答，是期末与中考必考重点章节。 一、本章知识框架总览 1. 基础概念：一元二次方程定义、一般形式、方程的根、参数取值判定 2. 核心工具：根的判别式、根与系数的关系（韦达定理） 3. 四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（由简到繁，择优选用） 4. 实际应用：增长率问题、图形面积问题、销售利润问题、数字问题 二、核心知识点精讲（必背考点） 1. 一元二次方程基础定义 定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程。一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。 关键条件：a≠0（决定是否为二次方程），b、c可为0；系数包含正负符号；分式、根式方程不属于整式方程，不是一元二次方程。 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，可代入方程求参数。 2. 根的判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$，仅适用于一元二次方程： $$\Delta>0$$：两个不相等的实数根；$$\Delta=0$$：两个相等的实数根；$$\Delta<0$$：无实数根。 易错提醒：已知方程有实数根，需满足$$\Delta\ge0$$，不可遗漏等于0的情况。 3. 根与系数的关系（韦达定理） 当$$ax^2+bx+c=0(a eq0，\Delta\ge0)$$时，两根$$x_1、x_2$$满足：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。 高频变形公式：$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$，$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$。 4. 四种解法择优使用（核心解题技巧） ① 直接开平方法：适用于$$(mx+n)^2=p(p\ge0)$$形式，最快最简； ② 因式分解法：优先首选！适用于可提公因式、平方差、完全平方、十字相乘的方程； ③ 配方法：通用基础方法，多用于代数式求最值、推导公式； ④ 公式法：万能通用方法，所有有实根的一元二次方程均可使用，无技巧性。 5. 实际应用核心模型 ① 增长率/降低率：$$a(1\pm x)^2=b$$，两次连续变化，负根一律舍去； ② 图形面积问题：利用平移、拼接表示边长，结合面积公式列方程，边长需为正数且符合实际尺寸； ③ 通用解题步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验合理性→作答。 三、本章高频易错汇总 1. 忽略$$a eq0$$，误将二次项系数为0的方程判定为一元二次方程； 2. 韦达定理两根之和漏写负号，系数取值遗漏正负； 3. 解方程随意约去含未知数因式，导致漏根； 4. 应用题不解方程检验，保留负数根、超尺寸无效根； 5. 配方法忘记方程两边同时加常数，破坏等式成立条件。 四、章末综合专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $$x+5=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$\dfrac{1}{x}+x^2=2$$ D. $$xy+2x=1$$ 2. 方程$$2x^2-4x+1=0$$的判别式的值为（） A. 8 B. 12 C. 4 D. -8 3. 已知方程$$x^2-5x+3=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2$$的值为（） A. -5 B. 5 C. 3 D. -3 4. 解方程$$(x-2)^2=9$$最简便的方法是（） A. 因式分解法 B. 直接开平方法 C. 配方法 D. 公式法 5. 某商品两次降价，单价从100元降至81元，设平均降价率为x，方程为（） A. $$100(1-x)^2=81$$ B. $$100(1+x)^2=81$$ C. $$100-2x=81$$ D. $$100x^2=81$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程$$3x^2-6x-2=0$$的二次项系数是________。 2. 方程$$x^2-9=0$$的根为________。 3. 若方程$$x^2+kx+4=0$$有两个相等实数根，则k=________。 4. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-2x-1=0$$的两根，则$$x_1x_2=$$________。 5. 矩形长20cm，宽15cm，四周等宽边框宽x cm，内部矩形面积为________。 （三）解答题（共60分） 1.（16分）选用合适方法解方程：（1）$$x^2-4x=0$$ （2）$$(x+1)^2=4$$ （3）$$x^2-2x-2=0$$ （4）$$x^2-5x+6=0$$ 2.（14分）已知方程$$x^2+(m-3)x-2m=0$$的两根和为1，求m的值及两根之积。 3.（15分）某工厂两年内产值从100万元增长到121万元，求年均增长率。 4.（15分）矩形草坪长25m、宽18m，内部修等宽十字道路，剩余绿化面积352㎡，求道路宽度。 五、参考答案与详细解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 解析：2.$$\Delta=16-8=8$$；3.韦达定理$$x_1+x_2=5$$；5.降价率模型套用$$a(1-x)^2=b$$。 填空题：1.3 2.$$x_1=3，x_2=-3$$ 3.$$\pm4$$ 4.-1 5.$$(20-2x)(15-2x)\mathrm{cm}^2$$ 解答题 1. 解：（1）因式分解得$$x(x-4)=0$$，$$x_1=0，x_2=4$$；（2）直接开方得$$x+1=\pm2$$，$$x_1=1，x_2=-3$$；（3）公式法解得$$x_1=1+\sqrt{3}，x_2=1-\sqrt{3}$$；（4）因式分解得$$(x-2)(x-3)=0$$，$$x_1=2，x_2=3$$。 2. 解：由韦达定理得$$-(m-3)=1$$，解得$$m=2$$，两根之积$$-2m=-4$$。 3. 解：设年均增长率为x，列方程$$100(1+x)^2=121$$，解得$$x_1=0.1，x_2=-2.1$$（舍去）。答：年均增长率10%。 4. 解：设道路宽x m，列方程$$(25-x)(18-x)=352$$，整理得$$x^2-43x+98=0$$，解得$$x_1=2，x_2=41$$（舍去）。答：道路宽度为2m。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 一元二次方程 概念 解法 根与系数的关系 实际应用 转化思想 特殊到一般 降次思想 建模思想 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 两根之和 两根之积 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 注意：①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 知识点1 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式： ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。 ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； (2)设——设出合适的未知数； (3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。 知识点4 用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 理论依据：平方根的意义。 适用范围：能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 根的表示： 对于方程x²=n，当n≥0时，x1=，x2=-。 对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，x1=-m，x2=--m。 知识点5 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 知识点6 用公式法解一元二次方程 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 = 知识点6 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一化：将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 二定：确定a，b，c的值。 三算：计算b²-4ac的值。 四解：若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点6 用公式法解一元二次方程 根的判别式： b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0，方程有两个相等的实数根。 Δ<0，方程没有实数根。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么 ， 。 注意 应用根与系数的关系时要满足： (1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式； (2)方程必须有实数根，即b²-4ac≥0。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数关系的常见的变形： ①； ②； = 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。 知识点9 一元二次方程的应用 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 核心考点巩固 考点1 一元二次方程的有关概念 1.下列方程中：；； ； ； ，是一元 二次方程的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 考试考法 16 2.将方程 化成一般形式是______________ ______。 返回 考试考法 17 3.已知是关于的一元二次方程 的解，则 ____。 返回 考试考法 18 考点2 一元二次方程的解法 4.一元二次方程 的解是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 5.用适当的方法解下列方程： （1） ； 解：移项，得 。 配方，得 ， 即 。 两边开平方，得 。 ， 。 考试考法 20 （2） ； 解：原方程可化为 。 这里，， 。 , 。 , 。 考试考法 21 （3） ； 解：原方程可变形为 ， 或 。 ， 。 （4） 。 解：两边开平方，得 ， ，或。, 。 返回 考试考法 22 考点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 6.[安徽中考] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 23 7.[河北中考] 若一元二次方程 的两根之和与两根之积 分别为，，则点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 考试考法 24 8.已知关于的一元二次方程 有两个实数 根， 。 （1）求实数 的取值范围； 解： 原方程有两个实数根， ， ， 实数的取值范围是 。 考试考法 25 （2）是否存在实数，使得成立?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。 解：不存在实数，使得 成立。 理由：假设存在实数，使得 成立。 ， 是原方程的两个实数根， ， ， 由 ， 得 ， 考试考法 26 ， 整理得 ， 只有当 时，等式才能成立。 又 ， 不存在实数，使得 成立。 返回 考试考法 考点4 一元二次方程的应用 9.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 500个，并按计划逐月增 长，预计八月份将提供岗位1 815个。设七、八两个月提供就业岗位数 量的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为_____________________ ______。 返回 考试考法 28 10.如图，用长为 的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度为 ），围成中间隔 有一道篱笆（平行于 ）的矩形花圃。如果 要围成面积为的花圃， 的长是多少？ 解：设，则 。 根据题意可得，解得， 。 当时， ； 当时，，不合题意，舍去。 当的长为 时，花圃的面积为 。 返回 考试考法 29 11. 中国是世界上最大的茶叶种植国，发展出独具民族特 色的茶文化。某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，当销售价为120元/ 盒时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现， 如果每盒茶叶每降价1元，那么平均每天可多售出2盒。在最大让利于顾 客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1 050元？ 考试考法 30 解：设每盒茶叶降价元，则每盒的销售利润为 元，平 均每天的销售量为 盒， 依题意得，解得， 。 需要让利于顾客， 。 在最大让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价25元时，商家平均每天能 盈利1 050元。 返回 考试考法 31 思想方法演练 思想1 整体思想 12.已知是方程 的一个根，则代数式 的值为___。 5 返回 考试考法 32 思想2 分类讨论思想 13.[杭州期中] 已知的两边，的长是关于 的一元二次方程 的两个根，第三边 的长是10。 （1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 解：证明： ， 无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根。 考试考法 33 （2）当为何值时，为等腰三角形？并求 的周长。 解：由（1）可得， 当 为等腰三角形时，腰长为10， 且为此一元二次方程的一个根，把 代入原方程， 得 ， 解得， 。 ①当时，原方程为 ， 设等腰三角形的底边长为，则 为原方程的另一个根， 根据根与系数的关系，得，， 的周长 为 ； 考试考法 34 ②当时，原方程变为 ， 设等腰三角形的底边长为，则 为原方程的另一个根， 根据根与系数的关系，得，解得 ， 的周长为 。 综上所述，当或10时，是等腰三角形，此时 的周长 为32或28。 返回 考试考法 35 谢谢观看 THANKS $