第二章 一元二次方程 章末复习 教学课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过知识结构表、解法对比表和配方法步骤详解，将直接开平方法、公式法等核心内容串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于设计“问题引导-方法对比-分层应用”复习路径，如用配方法、公式法、因式分解法解同一方程培养运算能力，通过增长率、面积问题等应用题发展模型意识。分层练习让不同水平学生提升，教师可精准把握学情，提高复习效率。

章末复习 2 北师版九年级上册 1 回顾与思考 1. 一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。 2. 在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明。 3. 举例说明解一元二次方程有哪些方法。配方法的一般过程是怎样的？ 回顾与思考 4. 如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？请举例说明。 5. 一元二？这种关系有什么作用？请举例次方程的根与系数有什么关系说明。 6. 利用方程解决实际问题的关键是什么？ 7. 梳理本章内容，用适当的方式星现全章知识结构，并与同伴进行交流。 一元二次方程 1. 概念： 只含有一个未知数 x ，最高次数是 2 的整式方程，可化成 ax2+bx+c = 0（a，b，c是常数，a ≠ 0）的形式 2. 解法： （1）直接开平方法 （2）配方法 （3）公式法 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的解为： （4）因式分解法 3. 根与系数的关系 知识结构 4. 应用： 其关键是能根据题意找出等量关系 复习回顾 一元二次方程 只含有一个未知数 x 的整式方程， 都可以化为 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，或叫作一元二次方程的根。 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax+m)2=n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 一元二次方程的解法 当 Δ = b2 - 4ac > 0 时， 当 Δ = b2 - 4ac = 0 时， 当 Δ = b2 - 4ac < 0 时， x没有实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的情况可由 b2 -4ac 来判定。我们把 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 一元二次方程根的判别式 解方程：x2 + 4x－5 = 0 配方法 解：x2 + 4x = 5 x2 + 4x + 22 = 5 +22 （x + 2）2 = 9 x + 2 = ± 3 x = ± 3 - 2 x1 = 1，x1 = -5 公式法 解： ∵a = 1，a = 4，a = -5 ∴Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×（-5） = 36＞0 x1 = 1，x1 = -5 因式分解法 解：x2 + 4x - 5 = 0 ∵(x + 5)(x – 1)= 0 ∴(x + 5) = 0 或(x – 1) = 0 ∴ x1 = 1，x1 = -5 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 配方法的一般过程： ax2 + bx = －c 对于一元二次方程 当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 注意：必须是一般形式的二元一次方程； 必须满足 b2－4ac ≥0 才能代入公式计算。 求根公式： ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个___________的乘积。 至少_________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个_____________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 根与系数的关系 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 如果方程有两个实数根 x1，x2， x1 + x2 = ______，x1x2 = _______ 只有当 a ≠ 0，∆ ≥ 0 时，才有根与系数的关系。 列一元二次方程解应用题的一半步骤： 审 设 列 解 验 答 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程 解方程，求出未知数的值 检验方程的解能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 一元二次方程根的应用 知识技能 1. 两个数的差等于 4 ，积等于 45 ，求这两个数。 【选自教材P55 复习题 第1题】 解：设其中一个数为 x，另一个数为 x+4， x(x + 4) = 45， x = 5 或 -9， 这两个数是 5 和 9；-5 和 -9。 达标检测 当 x = 5 时，x + 4 = 9； 当 x = -9 时，x + 4 = -5； 2. 解方程： 解：（1）x1=0，x2=14. 【选自教材P55 复习题 第2题】 （1）x(x-14) = 0； （2）x2 + 12x + 27 = 0； （2）由题意，得 x1+x2 = -12， x1x2 = 27. 解得 x1=-3，x2=-9. （3）x2 = x + 56； （4）x (5x + 4) = 5x + 4； （3）x2 – x – 56 = 0 (x +7)(x– 8) = 0 解得 x1 = -7，x2 = 8。 （4）5x2 – x – 4 = 0 解得 x1 = ，x2 = 1. （5）4x2-45 = 31x； （6）-3x2 + 22x - 24 = 0； （5）4x2 –31x–45 = 0 x1+x2 = ， x1x2 = 。 解得 x1 = ，x2 = 9。 （6）3x2 –22x+24 = 0 x1+x2 = ， x1x2 = 8 。 解得 x1 = ，x2 = 6。 2. 解方程： 【选自教材P55 复习题 第2题】 （7）(x+8)(x+1) = -12； （8）2(x+3)2 = x(x+3)； （7）x2 +9x+20 = 0 (x + 4)(x + 5) = 0 解得 x1 = -4 ，x2 = -5。 （8）2(x+3)2 – x(x+3) = 0 解得 x1 = -3，x2 = -6。 2. 解方程： 【选自教材P55 复习题 第2题】 (x+3)[2(x+3) – x] = 0 (x+3)(x+6) = 0 （9） ； （10）(x + 1)2 - 3(x+1) + 2 = 0。 2. 解方程： 【选自教材P55 复习题 第2题】 （9） 解得 x1 = ，x2 = 。 （10）将 x+1看作一个整体 [(x+1)-2][(x+1)-1] = 0 (x+1)-2 = 0 (x+1)-1 = 0 x1 = 1，x2 = 0。 3. 不解方程，判断下列方程的根的情况： 【选自教材P55 复习题 第3题】 （1）2x2 + x-1 = 0； （2）4(x2-x) = -1； （3）7x2 + 2x + 3 = 0。 解: （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 4. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： 【选自教材P56 复习题 第4题】 （1）x2 -5x-6 = 0； （2）3x2 + 5x + 1= 0。 x1+x2 = 5， x1x2 = -6 。 x1+x2 = ， x1x2 = ， 5.（1）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值等于 0？ （2）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值等于 42？ （3）当 x 取什么值时，代数式 x2 - 13x + 12 的值与代数式 -4x2+18 的值相等？ 解： （1）x2-13x + 12 = 0 (x-1)(x-12) = 0 x1= 1，x2= 12。 （2）x2-13x + 12 = 42 (x+2)(x-15) = 0 x1= -2，x2= 15。 （3）x2-13x + 12 = -4x2+18 5x2-13x – 6 = 0 x1 = ， x2 = 3。 【选自教材P56 复习题 第5题】 6. 某公司今年第一季度缴税 40 万元，今年第三季度缴税 48.4 万元。该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是多少？ 【选自教材P56 复习题 第6题】 解：设该公司缴税的年均增长率为 x。 40 (1＋x)2＝48.4， 解得 x1 ＝ －2.1(舍去)，x2 ＝ 0.1 ＝ 10％。 所以，该公司缴税的年均增长率为 10％。 7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子。已知盒子的容积是 400 cm3，求原正方形铁皮的边长。 【选自教材P56 复习题 第7题】 解：设原铁皮的边长为 x cm。 4(x-8)2＝400，解得 x1＝18，x2＝－2(舍去)。 所以，原铁皮的边长为 18 cm。 8. 一块长方形草地的长和宽分别为 20 m和 15 m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路。已知小路的面积为 246 m2，求小路的宽度。 【选自教材P56 复习题 第8题】 解: 设小路的宽度为 x m。 (20＋2x)(15＋2x)－20×15＝246， 解得 x1＝－ (舍去)，x2＝ 3。 所以，小路的宽度为 3 m。 9. 某剧场共有 1161 个座位，已知每排的座位数都相同，且每排的座位数比总排数少 16，求每排的座位数。 【选自教材P56 复习题 第9题】 解：设每排的座位数为 x。 ( x＋16)x ＝ 1161， 解得 x1＝－43(舍)，x2＝27。 所以，每排的座位数为 27。 【选自教材P56 复习题 第10题】 10. 将一条长 56 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 100 cm2，该怎么剪？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于196 cm2吗？可能等于 200 cm2 吗？ 解：设第一段为 x cm， 两个正方形之和为 S。则 （1）令 S＝100，即 解得 x1＝24，x2＝32。 所以要使两个正方形的面积之和等于100cm2，则一个剪 24cm，一个剪 32 cm。 （2）令 S＝196，即 解得 x1＝0，x2＝56。此时铁丝未被剪开，所以不可能。 10. 将一条长 56 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 100 cm2，该怎么剪？ （2）这两个正方形的面积之和可能等于196 cm2吗？可能等于 200 cm2 吗？ 【选自教材P56 复习题 第10题】 解：设第一段为 x cm， 两个正方形之和为 S。则 令 S＝200，即 解得 x1＝ ，x2＝ 。 这两个正方形的面积之和不可能等于200cm2。 11. 解方程 (x -1)2-5(x-1) + 4 = 0 时，我们可以将 x-1 看成一个整体，设x-1 = y，则原方程可化成 y2- 5y + 4 = 0，解得 y1 = 1，y2 = 4。当 y = 1时，即 x-1=1，解得 x = 2；当 y = 4 时，即 x-1= 4，解得 x = 5。所以原方程的解为x1 = 2，x2 = 5。请利用这种方法解方程： (3x+5)2-4(3x+5)+3=0。 【选自教材P56 复习题 第11题】 解：设 3x＋5＝y．则原方程可化为 y2－4y＋3＝0， 解得 y1＝1，y2＝3。 当 y＝1 时，即 3x＋5＝1，解得 x＝－ ； 当 y＝3 时，即 3x＋5＝3，解得 x＝－ 。 ∴原方程的解为 x1＝－ ，x2＝－ 。 12. 已知 2+ 是方程 x2- 4x + c = 0 的一个根，求这个方程的另一个根及 c 的值。 【选自教材P56 复习题 第12题】 解：因为 x1 + x2 = ，x1x2 = ， 是方程的一个根 所以另一个根 = 4－（ ）= ； c = ( ) ( ) = 4－3 = 1。 13. 写出一个一元二次方程，使它的两个根为 1，－2。 【选自教材P56 复习题 第13题】 解：因为方程的两个根分别为 1，－2， (x－1)(x + 2) = 0 整理，得 x2 + x－2 = 0。 14. 如图(1)，在 △ABC 中，∠C = 90°，CA = CB，AB = 20 cm；在矩形 DEFG 中，EF = 30 cm，DE = 10 cm；△ABC 在矩形 DEFG 的左侧，AB 与 EF 在一条直线上，且点 B 与点 E 重合。现△ABC 以 1 cm/s 的速度沿直线 AF 从左向右运动（矩形 DEFG 保持不动），当 △ABC 运动如图(2)所示的位置时，△ABC 与矩形 DEFG 重叠部分的面积为 68 cm2，此时 △ABC 运动了多少秒？ 【选自教材P57 复习题 第14题】 (1) (2) ∵在 △ABC 中，∠C = 90∘，CA = CB，AB = 20 cm， ∴△ ABC 是等腰直角三角形。 AB 边上的高为 10 cm，S△ABC ​= ​×20×10=100 cm2。 设 △ABC 向右运动了 t 秒，则 BE = t cm，AE = (20 − t) cm。 重叠部分面积 = 大三角形面积 − 左侧小等腰直角三角形面积 左侧小三角形为等腰直角三角形，直角边长为 (20−t) cm，面积为 。 由题意，重叠部分面积为 68 cm2 ，得： 20 － t = 8（舍去负根） t = 12 答：此时 △ABC 运动了 12 s。 15. 一列高速列车在启动加速过程中，行驶的路程 s (单位：m) 与时间 t (单位：s)之间的关系为：s = 10t + t2。在这一过程中，该高速列车行驶 800 m 需要多长时间？ 【选自教材P57 复习题 第15题】 解：当 s = 10t + t2 = 800 时， 解得 t1＝20，t2＝ (舍去)。 所以，行驶 800m 需 20 s。 16. 如图，在一块长 92 m、宽 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽度都相同)，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块，水渠的宽度是多少？ 【选自教材P57 复习题 第16题】 解：设水渠宽 x m。 60x·2＋92x－2x2＝92×60－885×6， 解得 x1＝105(舍去)，x2＝1。 所以，水渠应挖 1 m 宽。 17. 某果园原计划种 100 棵某种果树，这种果树平均每棵结 1000 个果子。现准备多种一些这种果树以提高产量。试验发现，每多种 1 棵果树，每棵果树的产量就会减少 2 个，且多种的果树不能超过 100 棵。如果要使总产量增加 15.2%，那么应多种多少棵这种果树？ 【选自教材P57 复习题 第17题】 解：设应多种 x 棵桃树。 则有 (100＋x)(1000－2x)＝1000×100(1＋15.2％)， 解得 x1＝380(舍去)，x2＝20。 所以，要使产量增加 15.2％，应多种 20 棵桃树。 18. 一个直角三角形的斜边长 7 cm，一条直角边比另一条直角边长 1 cm，求两条直角边的长度。 【选自教材P57 复习题 第18题】 解：设一条直角边为 x cm，另一条直角边是 x-1 cm。 x2 + (x-1)2 = 72 两直角边分别为 cm 和 cm。 19. 某军舰以 20 kn 的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30 kn 的速度由南向北航行，它能侦察出周国 50 n mile(包括50 n mile）范围内的目标。如图所示，当该军舰行至 A 处时，电子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB = 90 n mile。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。 【选自教材P57 复习题 第19题】 解: 能。设最早 x h 能侦察到， 则有 (20x)2＋(90－30x)2 ＝ 502， 解得 x1＝2，x2＝ 。 而 2＜ ，故最早 2 h 能侦察到这艘军舰。 20. 2021 年我国新增高效节水灌溉面积 188万 hm2，如果要使 2021 年至 2023 年三年新增高效节永灌溉面积总和为 622.28万 hm2，那么 2022 年、2023 年两年新增高效节水灌溉面积的年均增长率应为多少? 【选自教材P57 复习题 第20题】 解:设年均增长率为x， 根据题意，得188+188(1+x)+188(1+x)2=622.28， 解这个方程，得x1=0.1=10%，x2=-3.1(不合题意，舍去)。 所以，2022年、2023年两年新增高效节水灌溉面积的年均增长率为10%。 【选自教材P58 复习题 第21题】 21. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了 66 次手。这次会议参会的人数是多少？ 解: 设这次会议的人数是 x。 解得 x1＝12，x2＝－11 (舍去)。 所以，这次会议到会的人数是 12。 22. 如图，一次函效 y = -2x + 3 的图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点B，点 P 在线段 AB 上(不与点A，B 重合)，过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线，垂足为C，D。点 P 在何处时，矩形 OCPD 的面积等于 1？ 【选自教材P58 复习题 第22题】 解：设点 P 坐标为(m，n)。P 在 y ＝ －2x ＋3 上，则有 －2m ＋3＝ n，S矩形OCPD ＝mn＝m(－2m ＋3)＝1， 解得 或 ∴当P 在 ( ，2) 或 (1，1)处时，矩形 OCPD 面积为 1。 m＝ ， n＝2， m ＝1， n＝1。 【选自教材P58 复习题 第23题】 23. 如图，一艘轮船以 30 km/h 的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 20 km/h 的速度由南向北移动，距台风中心 200 km 的圆形区域(包括边界)都属台风影响区。当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离 CB = 500 km，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离 BA= 300 km。如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果情确到 0.01h) ？ 解: （1）会。 （2）经过 t = h，它就会进入台风影响区。 【选自教材P58 复习题 第24题】 24. 我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程，你对它们之间的联系与区别有怎样的认识？请画图或撰写小短文分享你的认识。 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $