第7讲 横式数字谜（二）（讲义）2026-2027学年三年级下册数学奥数人教版

第 7 讲　横式数字谜（二） 乘除型横式填数 · 带余除法数字谜 小学三年级下册 · 奥数培优讲义 适用年级：三年级下册　｜　建议课时：1 课时（60 分钟）　｜　难度：★★★★☆ 【课程信息表】 项目 内容 讲次 第 7 讲 专题 横式数字谜（二）｜乘除型横式填数、带余除法数字谜 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 表内乘除法；多位数乘除计算；带余除法关系；因数分解（第 2 讲） 核心方法 转化思想（除法⇄乘法）；因数分解；个位分析法；首位估值法；带余除法三关系式；枚举试算；约束筛选（同数字／不重复／0 不占首位） 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 掌握乘除型横式数字谜的一般思路；熟练运用带余除法三大关系式；学会用个位分析、首位估值、因数分解缩小范围；能处理“全部方框填同一个数字”“等式内数字不能重复”“0 不占最高位”三类附加约束。 过程与方法 经历“观察算式→变形转化→个位／首位分析→缩小候选→枚举试算→检验约束→完整验算”的完整推理流程，体会转化、估值、枚举的数学思想。 思维品质 提升数感与逻辑推理能力；做到先缩小范围再试算、不盲目乱猜；审题时主动圈画附加条件，做完主动验算。 情感与应用 感受数字谜的推理乐趣，养成严谨、有条理的解题习惯。 【前言】 前面我们认识了加减类横式数字谜，这一讲，数字谜换上了新“武器”——乘法与除法，难度也悄悄升级了。 先想一想：在除法算式里，“被除数、除数、商、余数”四位好兄弟之间，永远守着一条秘密规律。抓住这条规律，很多除法数字谜就能迎刃而解。 还有一个超级好用的技巧：除法可以“变身”成乘法。例如 36 ÷ 4 = 9，其实就是 36 = 4 × 9。把除法数字谜变成乘法数字谜，再做因数分解，答案往往就浮出水面。 注意：这一讲的部分题目还藏着“附加条件”，比如“所有方框填同一个数字”“填入的数字不能重复”。审题时一定要把它们圈出来，推理完成后还要认真验算。 　一、知识导航 图 1　本讲知识结构图 1. 带余除法三大关系式 图 2　带余除法三大关系式 设被除数为 a，除数为 b，商为 q，余数为 r（b ≠ 0，0 ≤ r ＜ b）： ① 求被除数：a = q × b + r ② 求商或除数：a − r = q × b，即 (a − r) ÷ b = q，或 (a − r) ÷ q = b ③ 关键条件：余数 r 一定小于除数 b 2. 数字谜常用推理手段 乘除互化：A ÷ B = C ⟺ A = B × C，把除法转成乘法后再分解因数； 因数分解：把被除数（或积）拆成“商 × 除数”的全部整数因数组合； 个位分析法：观察等式两端个位数字，锁定方框可填数字； 首位估值法：看最高位，估算乘数／除数的取值区间，排除过大、过小的数； 约束筛选：审题区分 ①全部方框填同一个数字；②数字不能重复；③数字取值范围。 3. 解题六步法 图 3　解题六步法 ①读题圈画附加条件 → ②除法优先转乘法、带余除法先减余数 → ③用个位、首位缩小候选 → ④枚举候选代入试算 → ⑤核对全部约束条件 → ⑥完整验算等式是否成立。 　二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 带余除法直接拿被除数 ÷ 除数，忘记先减余数 先算“被除数 − 余数”，再做除法 除法数字谜直接瞎猜，不转乘法分解因数 除法优先转乘法，分解因数找组合 忽略“数字不能重复”，算出答案不检查重复 得到结果后，逐个数字核对是否重复 余数大于等于除数，算式不成立 做完验算：余数必须小于除数 不做个位、首位分析，0~9 全部试算，效率低 先用个位、首位缩小范围，再试算 多解题目只写一组就交差 把满足条件的全部解找完整 　三、典例精讲 例 1　【乘除互化 · 因数分解】 【题目】在□里填上合适的数字（每个□代表一位数字，答案可能不唯一）： （1）315 ÷ □□ = □　　　（2）306 ÷ □□ = □□ （3）24 × □□ = 7□2 分析　除法的数字谜先转成乘法，再对“被除数（积）”做因数分解；乘法谜用个位、首位缩小候选。 详解 （1）转成乘法：315 = □□ × □。把 315 分解因数：315 = 3 × 3 × 5 × 7。 符合“两位数 × 一位数”的组合有 35 × 9、45 × 7、63 × 5，所以 315 ÷ 35 = 9、315 ÷ 45 = 7、315 ÷ 63 = 5。 （2）转成乘法：306 = □□ × □□。分解因数：306 = 2 × 3 × 3 × 17 = 17 × 18，所以 306 ÷ 17 = 18（或 306 ÷ 18 = 17）。 （3）积 7□2 是七百多。看个位：24 × □□ 的个位 4 × □ 要等于 2，乘数个位只能是 3 或 8； 看首位：24 × 30 = 720、24 × 39 = 936，乘数十位只能是 3。试算 24 × 33 = 792（24 × 38 = 912 超出），成立。 💡【方法点睛】 除法数字谜优先转成乘法，对被除数（积）做因数分解、枚举全部组合；乘法谜用“个位锁定 + 首位估值”缩小候选，再试算。 例 2　【带余除法横式谜】 【题目】　在□里填上合适的数字： （1）□□□ ÷ 28 = 6 …… 17 （2）641 ÷ □□ = □ …… 17 （3）4907 ÷ □□ = 76 …… 43 分析　套用带余除法关系式：a = q × b + r，以及 a − r = q × b。 详解 （1）求被除数：6 × 28 + 17 = 168 + 17 = 185。检验：185 ÷ 28 = 6 …… 17，余数 17 ＜ 28。 （2）先算 641 − 17 = 624，624 = □□ × □。分解 624 = 78 × 8，除数 78 ＞ 余数 17。检验：641 ÷ 78 = 8 …… 17。 （3）先算 4907 − 43 = 4864，4864 = 76 × 64，所以除数 = 64。检验：4907 ÷ 64 = 76 …… 43，余数 43 ＜ 64。 💡【方法点睛】 带余数字谜牢记“被除数 − 余数 = 商 × 除数”；求除数或商前先减余数；做完检查“余数 ＜ 除数”。 例 3　【多位数乘除谜 · 个位＋首位联合分析】 【题目】　在□里填上合适的数字： （1）1□5 × 4 = 6□0 （2）7□□2 ÷ 36 = □0□ 分析　先看个位锁定末位数字，再看首位估算最高位，最后试算中间位，可大幅减少试算量。 详解 （1）个位：5 × 4 = 20，积的个位一定是 0，符合； 首位估值：6□0 是六百多，4 × 1□5 应在 600~699 之间。 4 × 1a5 = 420 + 40a， 试 a = 5：155 × 4 = 620；试 a = 6：165 × 4 = 660。两组解都成立。 （2）转成乘法：7□□2 = □0□ × 36。 个位：36 × □ 的个位要等于 2，商的个位只能是 2 或 7； 首位估值：积是七千多，36 × 200 = 7200，商只能是二百多； 试算：36 × 202 = 7272、36 × 207 = 7452，两组解都成立。 💡【方法点睛】 多位数乘除谜“先个位、再首位、后中间”，把候选从几十个压缩到一两个，再代入完整验算。 例 4　【全部方框填同一个数字】 【题目】　每个方框都填同一个数字，使等式（或不等式）成立： （1）□ × □ = □ + □ + □ （2）□ × □ − □ = □ （3）□ × □ ＜ □ + □ + □ + □ 分析　把方框看作同一个未知数 x（0~9 的整数），代入逐个检验，也可以直接算。 详解 （1）x × x = x + x + x，即 x² = 3x。x = 0 时 0 = 0 成立；x = 3 时 3 × 3 = 3 + 3 + 3 = 9 成立。 （2）x × x − x = x，即 x² − 2x = 0，x（x − 2）= 0。x = 0 或 2：0 − 0 = 0、2 × 2 − 2 = 2，均成立。 （3）x × x ＜ x + x + x + x，即 x² ＜ 4x。x = 1、2、3 时分别得 1 ＜ 4、4 ＜ 8、9 ＜ 12，成立；x = 4 起不成立。 💡【方法点睛】 “方框填同一个数”题型，把方框统一看作未知数 x，在 0~9 中检验，或直接解出后再代入验证。 例 5　【附加约束：等式数字不能重复】 题目　576 = □ × □□□ 方框中填入的数字与“576”中的三个数字合在一起，7 个数字都不能重复。 分析　把 576 分解因数，找出“一位数 × 三位数”的组合，再逐一检查数字是否重复。 详解 576 的“一位数 × 三位数”分解有：1 × 576、2 × 288、3 × 192、4 × 144。 逐一检查：1 × 576（重复✗）、2 × 288（重复✗）、3 × 192（3、1、9、2 与 5、7、6 全不重复 ✓）、4 × 144（重复✗）。 唯一解：576 = 3 × 192。 💡【方法点睛】题目规定数字不能重复，先分解因数得到候选，再逐一筛查有没有重复数字，最后验算。 例 6　【0~6 七个数字全部使用】 【题目】　把 0、1、2、3、4、5、6 七个数字全部填入七个方框，每个数字只用一次： □□ ÷ □ = □ × □ = □ + □ 分析　这是一个连等式，先找出限制最强的“除法”或“乘法”片段；0 不能放在多位数首位。 详解 从“□□ ÷ □”入手：30 ÷ 5 = 6，恰好 6 = 6 × 1 = 2 + 4。 检查数字：30、5、6、1、2、4 恰好是 0~6 各一次，0 在 30 的个位，不占首位。 完整等式：30 ÷ 5 = 6 × 1 = 2 + 4（或 30 ÷ 5 = 1 × 6 = 4 + 2）。 💡【方法点睛】 多个等式共用一套数字，优先从限制最强的乘法／除法片段突破，算完后再把剩余数字分配给其他方框。 　四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 除法横式谜 乘除互化 除法转乘法，因数分解 看清除数位数，筛选因数组合 带余除法谜 带余三关系式 a = q × b + r；先减余数 验算余数必须小于除数 多位数乘除谜 个位＋首位分析 个位锁定末尾，首位估算区间 中间位代入试算，完整验算 方框填同一个数 代入检验 方框看作同一未知数，0~9 枚举 所有方框数字完全一致 数字不重复约束 先算再筛 得候选后筛查互不重复 0 不能放在多位数最高位 多等式共用一套数字 限制强处先攻 先突破乘法／除法片段，剩余分配 给定数字各用一次，不重不漏 　五、解题口诀 横式数字谜，乘除带余是重点； 遇到除法转乘法，因数分解找答案； 带余题目记公式，先把余数来消减； 个位分析锁末尾，首位估值缩范围； 同框就把数字代，零到九内试一遍； 题目若说不重复，算出还要筛一遍； 零放首位是禁忌，这个错误要避免； 多式共用一组数，限制强处先攻坚； 全部条件核对完，再把等式验算全！ 　六、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关 A1　在□里填上合适的数字： （1）425 ÷ □□ = □　　　（2）16 × □□ = 5□6 A2　带余除法填数： （1）□□□ ÷ 54 = 7 …… 19 （2）620 ÷ 37 = □□ …… 28 （3）7513 ÷ □□ = 86 …… 31 🟧 B 组｜能力提升 B3　每个方框都填同一个数字： （1）7 × □ = 3□　　　（2）6 × □ = 4□ B4　将 2、3、4、6 四个数字不重复填入方框： （1）□ ÷ □ = □ ÷ □　　　（2）□ × □ = □ × □ B5　在□里填上合适的数字，使等式中的数字都不重复： 162 ÷ □□ = □ 🟥 C 组｜挑战冲刺 C6　从 0~9 中选出 7 个互不相同的数字填入方框，使等式成立（答案不唯一）： □ × □□□ = □□□ C7　从 1~9 中选出 8 个互不相同的数字填入方框，使连等式成立（答案不唯一）： □□ ÷ □ = □□ ÷ □ = □□ 　七、参考答案与详细解析 🟦 A 组 A1（1）425 ÷ 85 = 5。分解因数：425 = 5 × 85 = 17 × 25，只有“两位数 × 一位数”的组合 85 × 5 使商是一位数。 A1（2）16 × 36 = 576。 个位：6 × 6 = 36，末位 6； 试算 16 × 31~16 × 37，只有 16 × 36 = 576 是“5□6”型。 A2（1）7 × 54 + 19 = 397。397 ÷ 54 = 7 …… 19。 A2（2）620 − 28 = 592，592 ÷ 37 = 16， 商是 16。620 ÷ 37 = 16 …… 28。 A2（3）7513 − 31 = 7482，7482 ÷ 86 = 87， 除数是 87。7513 ÷ 87 = 86 …… 31。 🟧 B 组 B3（1）7 × 5 = 35（7x = 30 + x，x = 5）。 B3（2）6 × 8 = 48（6x = 40 + x，x = 8）。 B4（1）6 ÷ 3 = 4 ÷ 2（都等于 2）。　　　 B4（2）2 × 6 = 3 × 4（都等于 12）。 B5　162 ÷ 54 = 3。162 = 54 × 3，数字 1、6、2、5、4、3 均不重复。 🟥 C 组 C6　 示例：4 × 173 = 692（数字 4、1、7、3、6、9、2 均不重复，答案不唯一）。 C7　 示例：38 ÷ 2 = 76 ÷ 4 = 19；也可填 52 ÷ 4 = 78 ÷ 6 = 13（答案不唯一）。 　八、本讲小结 ✦ 核心技巧：除法横式谜优先转成乘法，对被除数做因数分解。 ✦ 带余除法三关系式：a = q × b + r；(a − r) ÷ b = q（或 (a − r) ÷ q = b）；余数 ＜ 除数。 ✦ 推理工具：乘除互化、因数分解、个位分析法、首位估值法、枚举试算。 ✦ 审题圈画附加约束：①全部方框填同一个数字；②等式内数字不能重复；③0 不能放在多位数最高位。 ✦ 多等式共用一套数字：优先从限制最强的片段入手。 ✦ 解题流程：审题圈约束 → 变形转化 → 缩小范围 → 试算 → 筛查约束 → 完整验算。 　九、易错警示 ⚠ 易错警示 ❌ 带余除法直接拿被除数 ÷ 除数，忘记先减余数。　✅ 先算“被除数 − 余数”，再做除法。 ❌ 除法数字谜直接瞎猜，不转乘法分解因数。　✅ 除法转乘法，分解因数快速找候选。 ❌ 忽略“数字不能重复”条件，算出结果不筛查。　✅ 得到候选后逐一枚举检查有没有重复。 ❌ 带余除法验算忘记检查“余数 ＜ 除数”。　✅ 余数必须严格小于除数，否则算式不成立。 ❌ 把 0 放在两位数、三位数的最高位。　✅ 多位数首位不能是 0，直接排除这类填法。 ❌ 拿到题就全部枚举试数，不做个位、首位分析。　✅ 先用个位、首位缩小候选，减少试算量。 十、 学习建议 🧠 学习建议 ✓ 看到除法数字谜，第一反应：能不能转乘法？ ✓ 带余除法把三个关系式写在草稿纸上，避免记错。 ✓ 题目里的特殊要求（同数字、不重复）用笔圈出来。 ✓ 个位分析优先做，很多题直接锁定 1~2 个候选。 ✓ 多等式共用一组数字，先看限制最强的一段。 ✓ 做完不要只看个大概，完整算一遍验算，同时核对附加约束。 ✨ 横式数字谜推理：先变形，再缩小范围，再试算，不盲目猜数！祝贺你完成第 7 讲的学习！✨ 祝贺你完成了本讲的学习，成为横式数字谜小能手！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $