奥数培优 第1讲 辐射型数阵图（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数培优讲义 第1讲　辐射型数阵图 数阵图专题 · ★★★★★ 【课程信息】 项目 内容 讲次 第 1 讲 专题 数阵图——辐射型数阵 适用年级 小学三年级 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 100 以内加减法、连续自然数求和、整除判断 核心方法 找重叠数；重叠次数分析；和的整除判断；分类枚举 【学习目标】 学完本讲，你将能够： ① 认识辐射型数阵图，能说清“重叠数”“重叠次数”的含义； ② 掌握辐射型数阵的核心等式，会求重叠数或每条直线的和； ③ 面对三类不同已知条件的题目，能选对方法、完整填数； ④ 养成“逐条验算”的好习惯，并能发现数阵中的多解情况。 【前言】 同学们，数学王国里住着一群爱排队的小数字。今天它们要玩一个新游戏——把自己填进一个像太阳光芒一样的图形里：图形正中心站一个数字，向四周伸出好几条直线，每条直线上都排 3 个数字。神奇的是，无论哪条直线，线上 3 个数字相加，结果全都一样！ 这种“像太阳光芒一样向四周辐射”的数阵图，就叫辐射型数阵图。玩这个游戏最关键的是找到正中心那个“被好多条直线一起使用”的数字——它叫重叠数。找到它，整张数阵的答案就呼之欲出啦！ 一、知识导航 1. 认识辐射型数阵图 只有 1 个中心重叠数，从中心向外伸出 m 条直线，每条直线上有 n 个数字（含中心数），这样的图形记作：辐射型 m-n 图。 例如：3 条直线、每条 3 个数 → 辐射型 3-3 图；5 条直线、每条 3 个数 → 辐射型 5-3 图；十字图（横竖两线）→ 辐射型 2-3 图。 图1　辐射型 3-3 图（模板，共 7 个圆圈） 2. 核心概念：重叠数与重叠次数 重叠数：被多条直线共同计算的数字。在辐射型数阵中，它就是正中心的数字——中心数出现在几条直线上，就被重复计算了几次。 重叠次数：中心数被“多加”的次数。一条直线本来只算 1 次，中心被 m 条直线共用，就要多加（m−1）次。 2 条直线重叠 1 次，3 条直线重叠 2 次，5 条直线重叠 4 次。 图2　重叠数示意：正中心的数被 3 条直线同时使用 3. 核心公式（万能钥匙） 把每条直线上的和全部加起来：中心数在 m 条直线上都被算进去，其余数字都只算 1 次。于是得到辐射型数阵的核心等式： 无论是已知线和求中心、已知中心求线和，还是两个都未知，最终都回到这一个等式。 4. 三类题型 题型 已知条件 解题思路 类型 A 知道每条直线的和 用核心公式反推重叠数，再做数字配对 类型 B 知道重叠数（中心数） 用核心公式求每条直线的和，再做数字配对 类型 C 重叠数和线和都不知道 用整除条件筛选重叠数的全部可能取值，再逐一求解 5. 解题六步法 ① 求总和：先算出题目给出的全部数字的和； ② 识图形：数清直线条数 m，确定重叠次数 m−1； ③ 代公式：把已知数代入核心等式，用整除判断重叠数可以取哪些值； ④ 算配对和：算出每条直线剩余两数的和（＝线和 − 重叠数）； ⑤ 配对数：把剩下的数字两两配对，凑成上面的和，分别填入每条直线； ⑥ 回代验算：逐条直线相加，核对每条线的和是否相等。 二、易错辨析 ❌ 易错做法 ✅ 正确做法 分不清重叠次数，直接把直线条数当作重叠次数 重叠次数 ＝ 直线条数 − 1，不是直线条数 算出重叠数后随便乱填剩余数字 先算配对和，再两两配对填入 忽略整除条件，随便猜重叠数 线和必须是整数，除法必须整除，先筛选再求解 填完不验算，凭感觉结束 把每条直线全部相加，核对和是否相等 遇到多解题只写一组答案 把所有合法重叠数对应的填法全部写出来 三、典例精讲 例1【类型 A：已知线和，求重叠数】 题目：把 2、3、4、5、6 这五个数分别填入十字图的五个圆圈里（如图3），使横行、竖列三数之和都等于 12。 图3　十字图（辐射型 2-3 图，共 5 个圆圈） 分析：十字图是辐射型 2-3 图，有 2 条直线，正中心是重叠数。 重叠次数 ＝ 2 − 1 ＝ 1； 全部数字总和 ＝ 2＋3＋4＋5＋6 ＝ 20； 两条线总和 ＝ 12×2 ＝ 24。 详解： 中心填 4；剩下 2、3、5、6 要两两相加等于 12−4＝8。 横行填（2，4，6），竖列填（3，4，5），如图4。 图4　例1 填好图：横行、竖列之和均为 12 验算： 方法点睛：已知每条直线的和，直接用核心公式反推重叠数，再做数字配对。 例2【类型 B：已知重叠数，求线和】 题目：把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数填入辐射型 3-3 图（如图5），正中心已经填好数字 7，要使三条直线三数之和相等。 图5　辐射型 3-3 图（模板） 分析：3 条直线，重叠次数 ＝ 3−1 ＝ 2，重叠数 ＝ 7。 详解： 每条直线和 ＝ 14；除去中心 7，每条直线剩余两数之和 ＝ 14−7 ＝ 7。 三组配对分别填入三条直线，如图6。 图6　例2 填好图：三条直线之和均为 14 验算： 【方法点睛】 已知中心重叠数，先算全部数字总和，再代入公式求每条直线的和。 例3【类型 C：重叠数、线和均未知，讨论取值】 题目：把 2、3、4、5、6 填入十字图（如图7），使横行、竖列三数之和相等。共有几种填法？请全部写出来。 图7　十字图（模板） 分析：2 条直线，重叠次数 ＝ 1。设中心数为 a，则有： 所以 20＋a 必须是偶数，即 a 必须是偶数。2～6 中的偶数：2、4、6，共 3 种可能。 详解： 以 a＝4 为例，填法如图8。 图8　例3 其中一组填法（中心数为 4） 答：共有 3 种填法，中心数分别可取 2、4、6。 【方法点睛】 重叠数和线和都未知时，先用整除条件筛选重叠数的全部合法取值，再分情况一一求解，防止漏解。 例4【类型 A：辐射型 5-3 图】 题目：把 2～12 这十一个自然数填入辐射型 5-3 图（如图9），使每条直线三数之和都等于 25。 图9　辐射型 5-3 图（模板，共 11 个圆圈） 分析：5 条直线，重叠次数 ＝ 5−1 ＝ 4。 详解： 中心填 12；每条直线剩余两数之和 ＝ 25−12 ＝ 13。 五组配对分别填入五条直线，如图10。 图10　例4 填好图：每条直线之和均为 25 验算： 【方法点睛】 5 条直线，中心重叠 4 次，公式里重叠数要乘 4，这是本讲最高频的易错点。 例5【类型 C：辐射型 3-3 图，求全部取值】 题目：把 3、4、5、6、7、8、9 这七个数填入辐射型 3-3 图（如图11），使每条直线三数之和相等。中心数可以取哪些值？请写出对应的填法。 图11　辐射型 3-3 图（模板） 分析：3 条直线，重叠次数 ＝ 2。数字总和 ＝ 42。 42＋重叠数×2 必须是 3 的倍数。42 能被 3 整除，所以重叠数×2 也要能被 3 整除，即重叠数必须是 3 的倍数。3～9 中 3 的倍数：3、6、9。 详解： 以 a＝6 为例，填法如图12。 图12　例5 其中一组填法（中心数为 6） 答：中心数可以取 3、6、9，对应 3 种填法。 【方法点睛】 遇到“和相等但没给具体数”的题目，先把整除条件写出来，再逐个检验重叠数。 七、方法总结表 题型 突破口 核心关系 检验要点 类型 A 已知线和 全部直线总和 − 数字总和 重叠数×重叠次数 ＝ 线和×线数 − 数字总和 回代等式，核对整除 类型 B 已知重叠数 代入公式求单条直线和 线和 ＝（数字总和＋重叠数×重叠次数）÷ 线数 配对和 ＝ 线和 − 重叠数 类型 C 均未知 整除条件筛选重叠数 数字总和＋重叠数×重叠次数 能被线数整除 枚举全部合法值，防漏解 通用 分清线数与重叠次数 数字总和＋重叠数×（线数−1）＝ 线和×线数 填完逐条相加验算 八、解题口诀 辐射数阵找中心，重叠次数要分清； 重叠次数线数减一，核心公式记在心； 已知线和求中心，总和代入算得清； 已知中心求线和，先算总和再均分； 两者都未知看整除，候选数值要找齐； 算完配对分两边，逐条验算才算赢！ 四、习题分层训练 A 组 · 基础过关 A1【类型 A】把 1、2、3、4、5 填入十字图，使横行、竖列三数之和都等于 8。 图13　十字图（模板） A2【类型 B】把 2、3、4、5、6 填入十字图，正中心已经填好数字 4，使横行、竖列三数之和相等。 图14　十字图（模板） A3【类型 B】把 1～7 填入辐射型 3-3 图，正中心已经填好数字 4，使三条直线三数之和相等。 图15　辐射型 3-3 图（模板） B 组 · 能力提升 B1【类型 C】把 1～9 填入十字图（横行 5 格、竖列 5 格，如图16），使横行五个数之和与竖列五个数之和相等。写出至少两组不同的填法。 图16　十字图（辐射型 2-5 图，共 9 个圆圈） B2【类型 A】把 2、3、4、5、6、7、8 填入辐射型 3-3 图，使每条直线三数之和等于 15。 图17　辐射型 3-3 图（模板） C 组 · 挑战冲刺 C1【类型 C · 优化】把 2～10 这九个数填入辐射型 4-3 图（如图18），使每条直线三数之和相等，并且中心数尽可能小。 图18　辐射型 4-3 图（模板，共 9 个圆圈） C2【类型 C · 优化】把 1～11 这十一个数填入辐射型 5-3 图（如图19），使每条直线三数之和相等，并且中心数尽可能大。 图19　辐射型 5-3 图（模板） 五、参考答案与详细解析 A 组 A1 解析：1～5 的总和 ＝ 15，十字图重叠 1 次。设中心为 a： 中心填 1；配对和 ＝ 8−1 ＝ 7，配对 2＋5 ＝ 7、3＋4 ＝ 7。 填法：横行（2，1，5），竖列（3，1，4），如图20。 图20　A1 答案 A2 解析：2～6 的总和 ＝ 20，重叠数 ＝ 4。 配对和 ＝ 12−4 ＝ 8，配对 2＋6 ＝ 8、3＋5 ＝ 8。 填法如图21。 图21　A2 答案 A3 解析：1～7 的总和 ＝ 28，重叠数 ＝ 4，重叠 2 次。 配对和 ＝ 12−4 ＝ 8，配对 1＋7 ＝ 8、2＋6 ＝ 8、3＋5 ＝ 8。 填法如图22。 图22　A3 答案 B 组 B1 解析：1～9 的总和 ＝ 45，十字 2-5 图重叠 1 次。设中心为 a： a 必须为奇数：1、3、5、7、9 均可。下面给出两组填法： 填法一：a ＝ 1，线和 ＝ 23。 横行其余 4 个数之和 ＝ 22，取 2、3、8、9；竖列其余 4 个数之和 ＝ 22，取 4、5、6、7。 填法二：a ＝ 5，线和 ＝ 25。 横行其余 4 个数之和 ＝ 20，取 1、2、8、9；竖列其余 4 个数之和 ＝ 20，取 3、4、6、7。 填法一如图23所示。 图23　B1 其中一组填法（中心数为 1） B2 解析：2～8 的总和 ＝ 35，重叠 2 次，线和 ＝ 15。 配对和 ＝ 15−5 ＝ 10，配对 2＋8 ＝ 10、3＋7 ＝ 10、4＋6 ＝ 10。 填法如图24。 图24　B2 答案 C 组 C1 解析：2～10 的总和 ＝ 54，4 条直线重叠 3 次。 54＋重叠数×3 必须能被 4 整除。依次检验：a＝2 时 54＋6＝60，60÷4＝15 可行；a＝3 时 63 不行；a＝4 时 66 不行；a＝5 时 69 不行；a＝6 时 72 可行。中心数最小取 2。 配对和 ＝ 15−2 ＝ 13，配对 3＋10 ＝ 13、4＋9 ＝ 13、5＋8 ＝ 13、6＋7 ＝ 13。 填法如图25。答：中心数最小为 2（也可取 6、10）。 图25　C1 答案（中心数为 2） C2 解析：1～11 的总和 ＝ 66，5 条直线重叠 4 次。 66＋重叠数×4 必须能被 5 整除。检验：a＝11 时 66＋44＝110，110÷5＝22 可行；a 越大线和越大，故中心数取最大 a ＝ 11。 配对和 ＝ 22−11 ＝ 11，配对 1＋10 ＝ 11、2＋9 ＝ 11、3＋8 ＝ 11、4＋7 ＝ 11、5＋6 ＝ 11。 填法如图26。答：中心数最大为 11。 图26　C2 答案（中心数为 11） 六、本讲小结 ✦ 本讲研究辐射型数阵图：只有 1 个中心重叠数，线条像太阳光芒一样向外辐射； ✦ 核心公式：数字总和 ＋ 重叠数×重叠次数 ＝ 每条直线之和×直线条数，其中重叠次数 ＝ 直线条数 − 1； ✦ 三类题型都是这一个公式的变形：已知线和求中心、已知中心求线和、都未知用整除筛选； ✦ 解题流程：求总和 → 定重叠次数 → 求重叠数／线和 → 数字配对 → 填图 → 逐条验算。 七、易错警示与学习建议 ⚠ 易错警示 ❌ 把直线条数直接当成重叠次数 ✅ 重叠次数 ＝ 直线条数 − 1：3 条线重叠 2 次，5 条线重叠 4 次； ❌ 算出中心数后直接乱填剩余数字 ✅ 先算配对和（＝线和 − 重叠数），两两配对再填入； ❌ 忽略整除条件，随便猜重叠数 ✅ 线和必须是整数，除法必须整除，先筛选再求解； ❌ 遇到多解题只写一组答案 ✅ 把全部合法重叠数对应的填法都写出来； ❌ 填完不验算，凭感觉结束 ✅ 把每条直线全部相加，核对和是否与条件一致。 🧠 学习建议 ✓ 拿到图形第一步：用笔圈出正中心，数清一共有几条直线； ✓ 把核心公式抄在草稿纸旁边，三类题都是它的变形； ✓ 遇到“和尽可能大／小”，优先让重叠数取最大／最小合法值； ✓ 配对时从小到大有序尝试，不重复、不遗漏； ✓ 每填完一题都逐条验算，把这个好习惯坚持到底。 ✨ 抓住中心重叠数，就是破解辐射数阵的密码！✨ 学科网（北京）股份有限公司 $