奥数培优讲第5讲 乘、除法的运算律和性质（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数 · 运算技巧专题 ★★★★★ 第 5 讲 乘、除法的运算律和性质 [课程信息表] 项目 内容 讲次 第 5 讲 专题 乘、除法的运算律和性质｜乘除巧算 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 加减法运算律；表内乘除法；整十整百数的乘除口算 核心方法 乘法交换律、结合律、分配律；商不变性质；除法分配性质；乘除混合去添括号；符号搬家；凑整巧算 [学习目标] 维度 具体目标 知识与技能 熟记乘法交换律、结合律、分配律的字母公式；掌握商不变性质与除法分配性质的适用条件；会用符号搬家、去添括号进行乘除混合简算；能快速识别 25 配 4、125 配 8 等凑整搭档。 过程与方法 经历“观察算式特征 → 选择运算律 → 变形凑整 → 简算 → 验算”的完整解题流程；体会“凑整”“转化”的数学思想；能区分乘法分配律与结合律、分清除法各性质的适用条件。 思维品质 提升观察与联想能力，快速发现可凑整的数字；养成先想后算、做完验算的严谨习惯；避免机械套用、乱改符号。 情感与应用 感受巧算带来的便捷与乐趣；能把运算律用到购物、分物等生活问题中，增强计算信心。 [前言] 同学们，还记得上一讲我们用什么方法让加减法算得又快又准吗？——对，是运算定律！乘除法里同样藏着许多“法宝”，用好它们，再大的数也能轻松口算。 想一想：不用竖式，你能快速算出 25×4、125×8 吗？它们都能凑成整百、整千，口算立刻出答案！ 图1 巧算黄金搭档 本讲我们将学习乘法三大运算律、除法运算性质，以及乘除混合中的“符号搬家”和“去添括号”，掌握这些规律，就能把复杂的乘除计算变得又快又准。 ⚠ [特别提醒] 除法没有“分配律”！只有“和、差除以一个数”可以拆分；一个数除以和、差，不能拆分。 一、知识导航 （一）乘法三大运算律 1. 乘法交换律：a × b = b × a。交换乘数的位置，积不变。 2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。改变结合的顺序，积不变。 3. 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c；(a − b) × c = a × c − b × c。 提示：交换律、结合律经常搭配使用，目的只有一个——凑整！ 图2 乘法三大运算律 （二）除法运算性质 1. 商不变性质：a ÷ b = (a × n) ÷ (b × n) = (a ÷ m) ÷ (b ÷ m)（n、m 都不为 0）。 2. 和（差）除以一个数：(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c。括号只能在“被除数”一侧。 3. 连除：a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b = a ÷ (b × c)。 ⚠ 重点：a ÷ (b ± c) ≠ a ÷ b ± a ÷ c，这个等式不成立！除法没有分配律。 图3 除法运算性质 （三）乘除混合：符号搬家与去添括号 1. 符号搬家：a × b ÷ c = a ÷ c × b。数字要连同它前面的“×、÷”一起移动。 2. 括号前面是“×”：去掉括号，里面符号不变。 3. 括号前面是“÷”：去掉括号，里面“×”变“÷”、“÷”变“×”。 4. 连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)。 图4 乘除混合去括号 / 添括号 （四）解题六步法 图5 乘除巧算解题六步法 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 混淆乘法结合律与分配律，把 (a + b) × c 错写成 a + (b × c)。 分配律要括号内每一项都乘外面的数；结合律只用于连乘、改变结合顺序。 错用除法“分配律”：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c。 只有“和、差除以一个数”能拆；一个数除以和、差不能拆。 去括号时，括号前面是除号，里面符号不改变。 括号前是“÷”，去括号后里面“×”变“÷”、“÷”变“×”。 符号搬家只搬数字，不搬数字前面的运算符号。 数字要连同它前面的“×、÷”一起移动位置。 商不变性质，被除数乘 4，除数忘记同时乘 4。 被除数、除数必须同时乘或除以同一个不为 0 的数。 看到 25、125 就乱拆数字，不看算式整体。 拆数要保证大小不变，目标是凑出 4、8 再结合。 三、典例精讲 例 1【乘法交换律＋结合律 · 连乘凑整】 题目：计算：(1) 15×4×25　(2) 125×27×8　(3) 25×125×32　(4) 125×16 思路分析：看到 25 想 4，看到 125 想 8；算式里没有 4、8 时，就把旁边的数拆开“造”出来。 详解： (1) 15×4×25 = 15×(4×25) = 15×100 = 1500 (2) 125×27×8 = (125×8)×27 = 1000×27 = 27000 (3) 25×125×32 = 25×125×(4×8) = (25×4)×(125×8) = 100×1000 = 100000 (4) 125×16 = 125×(8×2) = (125×8)×2 = 1000×2 = 2000 💡 【方法点睛】 连乘凑整，“25 配 4、125 配 8”；缺搭档就把别的数拆开制造 4、8。 例 2【乘法分配律 · 正向与反向】 题目：计算：(1) 25×(40−6)　(2) 73×99　(3) 46×57+46×43　(4) 88×125 思路分析：出现“和、差乘一个数”用分配律拆开；99 接近 100，拆成“100−1”；算式里出现相同的乘数，就反向合并。 详解： (1) 25×(40−6) = 25×40 − 25×6 = 1000 − 150 = 850 (2) 73×99 = 73×(100−1) = 73×100 − 73×1 = 7300 − 73 = 7227 (3) 46×57+46×43 = 46×(57+43) = 46×100 = 4600（如图6所示） (4) 88×125 = (80+8)×125 = 80×125 + 8×125 = 10000 + 1000 = 11000 图6 用面积模型看懂乘法分配律 💡 【方法点睛】 分配律两个方向都能用：①括号拆开分别乘；②相同的乘数提出来合并；遇到 99、101 等接近整百的数，拆成“整百 ± 几”。 例 3【商不变性质 · 巧算除法】 题目：计算：(1) 375÷25　(2) 1900÷25　(3) 1500÷125　(4) 4800÷120 思路分析：除数是 25、125 时，用商不变性质把除数变成整百、整千；被除数、除数末尾都有 0，就先同时划掉相同个数的 0。 详解： (1) 375÷25 = (375×4)÷(25×4) = 1500÷100 = 15 (2) 1900÷25 = (1900×4)÷(25×4) = 7600÷100 = 76 (3) 1500÷125 = (1500×8)÷(125×8) = 12000÷1000 = 12 (4) 4800÷120 = (4800÷10)÷(120÷10) = 480÷12 = 40 💡 【方法点睛】 除数 25 就同时 ×4，除数 125 就同时 ×8；被除数、除数末尾都有 0，同时划掉相同个数的 0。 例 4【除法运算性质 · 和差除以数与连除】 题目：计算：(1) (360+240)÷6　(2) (700−350)÷7　(3) (400−120−80)÷20　(4) 560÷7÷8 思路分析：括号在“被除数”位置，可拆开分别除以同一个数；连除可以交换除数位置，优先除以容易除尽的数。 详解： (1) (360+240)÷6 = 360÷6 + 240÷6 = 60 + 40 = 100 (2) (700−350)÷7 = 700÷7 − 350÷7 = 100 − 50 = 50 (3) (400−120−80)÷20 = 400÷20 − 120÷20 − 80÷20 = 20 − 6 − 4 = 10 (4) 560÷7÷8 = 560÷8÷7 = 70÷7 = 10 💡 【方法点睛】 只有括号在“被除数”位置才能拆分除法；连除可以交换除数位置，优先除以好算的数。 例 5【乘除混合 · 符号搬家与去添括号】 题目：简算：(1) 32×45÷16　(2) 216÷(8×9)　(3) 450÷(10÷5)　(4) 840÷5÷2　(5) (12×48)÷(6×8) 思路分析：乘除混合，让数字“带着符号搬家”凑整；除号后面去括号，里面乘除要互换；连续除以两个数等于除以它们的乘积；积除以积可以分组对应相除。 详解： (1) 32×45÷16 = 32÷16×45 = 2×45 = 90 (2) 216÷(8×9) = 216÷8÷9 = 27÷9 = 3 (3) 450÷(10÷5) = 450÷10×5 = 45×5 = 225 (4) 840÷5÷2 = 840÷(5×2) = 840÷10 = 84 (5) (12×48)÷(6×8) = (12÷6)×(48÷8) = 2×6 = 12 💡 【方法点睛】 符号搬家要带着符号走；除号后面去括号，里面乘除互换；连续÷两个数 = 除以它们的乘积；积除以积，分组对应相除。 例 6【综合应用 · 解决生活问题】 题目：(1) 学校运动会采购跳绳：每盒 24 元，每箱 25 盒，买了 4 箱，一共要花多少元？ (2) 学校买桌椅：一张桌子 78 元，一把椅子 22 元，各买 12 套（一套＝一桌一椅），一共要花多少元？ (3) 把 480 个苹果平均分给 8 个班，每班又平均分给 5 个小组，每个小组分到多少个苹果？ 思路分析：先把生活问题“翻译”成乘除算式，再用运算律凑整巧算，最后写出完整答语。 详解： (1) 24×25×4 = 24×(25×4) = 24×100 = 2400（元） 　　答：一共要花 2400 元。 (2) 78×12 + 22×12 = (78+22)×12 = 100×12 = 1200（元） 　　答：一共要花 1200 元。 (3) 480÷8÷5 = 480÷(8×5) = 480÷40 = 12（个） 　　答：每个小组分到 12 个苹果。 💡 【方法点睛】 把生活情境“翻译”成算式后，用运算律凑整巧算，又快又不容易出错；作答时要写清单位、写完整。 四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 连乘凑整 找 25、125，缺 4、8 就拆数 交换律＋结合律，凑 100、1000 拆数后大小不能变 乘法分配律 出现“和、差乘一个数”或相同乘数 (a±b)×c = a×c±b×c，可正向可反向 括号内每一项都要乘到 商不变简算除法 除数 25、125 或末尾带 0 被除数、除数同时乘或除以同一个非 0 数 两边必须同时变 除法分配性质 括号在被除数位置 (a±b)÷c = a÷c±b÷c ⚠ 不能用于 a÷(b±c) 连除 交换除数位置 / 添括号 a÷b÷c = a÷c÷b = a÷(b×c) 添括号时除号后变号 乘除混合 符号搬家 / 去添括号 数字带着前面符号一起动 除号后去括号，乘除互换 积除以积 分组配对 (a×b)÷(c×d) = (a÷c)×(b÷d) 配对后相乘不改变结果 五、解题口诀 乘除巧算有诀窍，交换结合凑整妙； 二五找四一二五八，一百一千马上到； 分配律，括号开，个个相乘别漏掉； 商不变，要记牢，同乘同除不能少； 除法分配要分清，只能括号被除数； 乘除混合符号搬，符号数字一齐跑； 除号后面去括号，乘除符号要颠倒； 连除可以加括号，两数相乘括号包； 做完演算不可少，结果对照原式瞧！ 六、习题分层训练 A 组｜基础过关 A1　用交换律、结合律简算： (1) 25×7×4　　(2) 8×13×125　　(3) 125×24　　(4) 25×32 A2　用乘法分配律简算： (1) 25×(20+4)　　(2) (100−5)×8　　(3) 35×102　　(4) 48×99 B 组｜能力提升 B1　用商不变性质简算： (1) 650÷25　　(2) 3400÷50　　(3) 8000÷125 B2　用除法运算性质简算： (1) (540+360)÷9　　(2) (800−240)÷8　　(3) 630÷5÷2 B3　用符号搬家、去括号简算： (1) 25×64÷25　　(2) 720÷(8×6)　　(3) 360÷(12÷3) C 组｜挑战冲刺 C1　巧算： (1) 25×125×64　　(2) 999×9 C2　巧算： (1) (180×25)÷(45×5)　　(2) 216÷27×54 C3　解决生活问题： (1) 学校礼堂有 48 排座位，每排 125 个座位，一共有多少个座位？ (2) 一箱牛奶 36 瓶，每瓶 3 元，超市进了 25 箱，一共卖了多少元？ C4　想一想，算一算： (1) 125×88 − 125×8　　(2) 25×36 + 25×64 七、参考答案与详细解析 A 组（答案） A1 (1) 25×7×4 = (25×4)×7 = 100×7 = 700 　　(2) 8×13×125 = (8×125)×13 = 1000×13 = 13000 　　(3) 125×24 = 125×(8×3) = 1000×3 = 3000 　　(4) 25×32 = 25×(4×8) = 100×8 = 800 A2 (1) 25×(20+4) = 25×20 + 25×4 = 500 + 100 = 600 　　(2) (100−5)×8 = 100×8 − 5×8 = 800 − 40 = 760 　　(3) 35×102 = 35×(100+2) = 3500 + 70 = 3570 　　(4) 48×99 = 48×(100−1) = 4800 − 48 = 4752 B 组（答案） B1 (1) 650÷25 = (650×4)÷(25×4) = 2600÷100 = 26 　　(2) 3400÷50 = (3400×2)÷(50×2) = 6800÷100 = 68 　　(3) 8000÷125 = (8000×8)÷(125×8) = 64000÷1000 = 64 B2 (1) (540+360)÷9 = 540÷9 + 360÷9 = 60 + 40 = 100 　　(2) (800−240)÷8 = 800÷8 − 240÷8 = 100 − 30 = 70 　　(3) 630÷5÷2 = 630÷(5×2) = 630÷10 = 63 B3 (1) 25×64÷25 = 25÷25×64 = 1×64 = 64 　　(2) 720÷(8×6) = 720÷8÷6 = 90÷6 = 15 　　(3) 360÷(12÷3) = 360÷12×3 = 30×3 = 90 C 组（答案） C1 (1) 25×125×64 = 25×125×(8×8) = (25×8)×(125×8) = 200×1000 = 200000 　　(2) 999×9 = (1000−1)×9 = 9000 − 9 = 8991 C2 (1) (180×25)÷(45×5) = (180÷45)×(25÷5) = 4×5 = 20 　　(2) 216÷27×54 = 216×(54÷27) = 216×2 = 432 C3 (1) 48×125 = 125×(8×6) = 1000×6 = 6000（个） 　　答：一共有 6000 个座位。 　　(2) 36×25×3 = (4×9)×25×3 = (4×25)×(9×3) = 100×27 = 2700（元） 　　答：一共卖了 2700 元。 C4 (1) 125×88 − 125×8 = 125×(88−8) = 125×80 = 10000 　　(2) 25×36 + 25×64 = 25×(36+64) = 25×100 = 2500 八、本讲小结 ✦ 乘法三大定律：交换律、结合律（多用于连乘凑整）；分配律 (a±b)×c = a×c±b×c。 ✦ 除法：商不变性质——被除数、除数同时乘或除以同一个不为 0 的数，商不变。 ✦ 除法分配性质只对“括号在被除数一侧”成立：(a±b)÷c 可以拆分；a÷(b±c) 不可以拆分！ ✦ 乘除混合：符号搬家——数字要带着前面的“×、÷”一起移动。 ✦ 去添括号：括号前是乘号，里面符号不变；括号前是除号，里面乘除互换。 ✦ 黄金搭档：25↔4、125↔8，缺搭档就把别的数拆开制造。 ✦ 解题流程：观察算式特征 → 选定运算律 → 变形算式 → 口算简算 → 验算核对。 九、易错警示 ⚠易错警示 ❌ 混淆乘法结合律与分配律，把 (a+b)×c 写成 a+(b×c)。 ✅ 分配律括号里每一项都要乘外面的数；结合律只改变连乘的结合顺序。 ❌ 错套除法“分配律”：a÷(b+c) = a÷b + a÷c。 ✅ 只有“和、差除以一个数”能拆；一个数除以和、差不能拆。 ❌ 除号后面去括号，里面符号不改变。 ✅ 括号前是除号，去括号后里面“×”变“÷”、“÷”变“×”。 ❌ 符号搬家只搬数字，不搬前面的乘除符号。 ✅ 数字要连同前面的“×、÷”整体移动。 ❌ 商不变性质只改被除数，不改除数。 ✅ 被除数、除数必须同时乘或除以同一个不为 0 的数。 ❌ 看到 25、125 就乱拆数字，拆完大小变了。 ✅ 拆数要保证大小不变，目标是凑出 4、8。 十、学习建议 🧠学习建议 ✓ 牢记黄金搭档 25↔4、125↔8，看到这些数就条件反射找搭档。 ✓ 做题第一步先观察：是连乘还是有加减？判断用结合律还是分配律。 ✓ 遇到除法先看括号位置，分清能不能做除法分配拆分。 ✓ 括号前是除号时，去括号要重点标记，防止符号写错。 ✓ 符号搬家时，把“数字＋前面符号”看作一个整体。 ✓ 简算后用竖式或估算验算一遍，防止变形出错。 ✨乘除巧算的核心就是“凑整”！用好运算定律，再大的数也能轻松口算。✨ —————————————————————————————— 祝贺你完成本讲的学习！你是最棒的！👍 学科网（北京）股份有限公司 $