1.4.1 充分条件与必要条件 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“充分条件与必要条件”，分层设计梯度清晰，从概念辨析到综合应用，强化逻辑推理与数学表达，适配课时巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分必要条件定义、简单判断|选择题直接辨析（如1-2题），填空题结合集合（如7题），夯实概念理解| |提升层|综合应用（含参数范围、多命题关系）|解答题9-10题推理判断，附加题1-5题结合集合与参数求解，发展逻辑推理与数学表达能力|

1.4.1　充分条件与必要条件同步练 一、选择题 1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 2．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A．a＋b<0 B．a－b>0 C．>1 D．<－1 4．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 5．(多选)有以下说法，其中正确的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 二、填空题 6．已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件． 7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”) 8．已知p：x≥a，q：x≤1或x≥2.若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为________. 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 3．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． 4．已知集合A＝，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围． 5．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－3≤x≤－2.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 1.4.1　充分条件与必要条件同步练参考答案 1．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是(　　) A．如果M⊆N，那么M∩N＝M B．如果M∩N＝N，那么M⊆N C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．如果M∪N＝N，那么N⊆M 答案　A 解析　用集合的相关定义理解、分析可知A为真命题，B，C，D为假命题． 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 答案　A 解析　当a＝1时，|a|＝1成立．因此“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件． 3．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　因为(a＋b)(a－b)＝0a＝b，所以pq．又因为a＝b⇒(a＋b)(a－b)＝0，即q⇒p，所以p是q的必要条件． 4．“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”的________条件． 答案　充分 解析　∵方程x2－x－m＝0无实根， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0. 解得m<－.∵m<－2⇒m<－， ∴“m<－2”是“x2－x－m＝0无实根”的充分条件． 5．下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？ (1)p：|a|＝|b|，q：a＝b； (2)p：内错角相等，q：两直线平行； (3)p：整数a能被4整除，q：a的个位数字为偶数； (4)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0. 解　(1)因为由|a|＝|b|a＝b，所以p不是q的充分条件，又因为由a＝b⇒|a|＝|b|，所以p是q的必要条件． (2)因为p⇒q，所以p是q的充分条件，又因为q⇒p，所以p是q的必要条件． (3)若整数a能被4整除，则a为偶数，所以a的个位数字为偶数，即p⇒q，所以p是q的充分条件．因为qp，所以p不是q的必要条件． (4)由a2＋b2＝0得a＝0，b＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的充分条件．由a＋b＝0a2＋b2＝0，所以p不是q的必要条件． 一、选择题 1．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案　B 解析　因为ac>bca>b，ac<bca<b，a>bac>bc，a<bac<bc，故A，C为假命题．ac＝bca＝b，a＝b⇒ac＝bc，故B为真命题，D为假命题． 2．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案　A 解析　因为a和b都是奇数⇒a＋b是偶数，a＋b是偶数a和b都是奇数，所以A正确． 3．a<0，b<0的一个必要条件是(　　) A．a＋b<0 B．a－b>0 C．>1 D．<－1 答案　A 解析　因为a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0，故选A. 4．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a>1 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 答案　C 解析　因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．所以即解得a<0.选项中只有a<－1⇒a<0，故选C. 5．(多选)有以下说法，其中正确的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 答案　ACD 解析　m是有理数⇒m是实数，故A正确；x∈Ax∈(A∩B)，故B不正确；x＝3⇒x2－2x－3＝0，故C正确；x>3⇒x2>4，故D正确． 二、填空题 6．已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件． 答案　必要 解析　由这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要条件． 7．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案　充分 解析　当m＝2时，A＝{1,4}，A∩B＝{4}，若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝2或m＝－2.所以m＝2⇒A∩B＝{4}，而A∩B＝{4}m＝2. 8．已知p：x≥a，q：x≤1或x≥2.若p是q的充分条件，则实数a的取值范围为________. 答案　a≥2 解析　因为p是q的充分条件，所以p⇒q.所以a≥2. 三、解答题 9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解　(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，qp， 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且qp. 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (3)△ABC中，有两个角相等时是等腰三角形，不一定是正三角形，即pq，但q⇒p， 所以p不是q的充分条件，但p是q的必要条件． (4)画出Venn图，如图， 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA， 反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． 10．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　记A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}(m>0)． ∵p是q的充分条件， ∴p⇒q，∴A⊆B. ∴解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案　B 解析　x∈A⇒x∈C，但由x∈Cx∈A，所以B正确． 2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案　A 解析　如图所示，显然丙⇒乙⇒甲，但甲丙，所以丙是甲的充分条件，但不是必要条件． 3．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． 解　记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝.由题意得B⊆A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件． 4．已知集合A＝，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围． 解　先化简集合A， 由y＝x2－x＋1，配方，得y＝2＋. 因为－≤x≤2，所以≤y≤2. 所以A＝. 因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，命题p是命题q的充分条件， 所以A⊆B. 所以m＋1≤或m－1≥2， 解得m≤－或m≥3. 故实数m的取值范围是m≤－或m≥3. 5．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－3≤x≤－2.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解　p：3a<x<a，记集合A＝{x|3a<x<a}． q：－3≤x≤－2，记集合B＝{x|－3≤x≤－2}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以⇒－2<a<－1， 所以实数a的取值范围是－2<a<－1. 学科网（北京）股份有限公司 $