1.4.1 充分条件与必要条件 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“充分条件与必要条件”新授课同步练，通过基础诊断、概念理解、综合应用三层递进设计，实现从概念辨析到参数应用的知识巩固，培养推理意识与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断层|充分条件与必要条件概念辨析|判断正误题型，强化对“推出关系”的初步认知| |概念理解层|“若p则q”命题的条件关系判断|典型例题与变式结合，训练定义法与集合法判定| |综合应用层|集合与参数范围的条件关系应用|含参数问题求解，发展数学语言表达与逻辑推理能力|

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 【课前预习】 知识点 ⇒　⇒/　充分　必要　充分　必要 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [解析] (1)由x2=y2不能推出x=y,所以“x2=y2”不是“x=y”的充分条件. (2)根据两条直线平行的判定定理知,“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件. (3)当ab=0时,不一定有b=0;但当b=0时,一定有ab=0.所以“b=0”不是“ab=0”的必要条件. (4)当两个三角形全等时,它们的面积一定相等;当两个三角形的面积相等时,它们不一定全等.所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p⇒/ q,所以p不是q的充分条件. (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. 综上,(2)(3)中p是q的充分条件. 例2　解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. (2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p⇒/ q,所以q不是p的必要条件. (4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 综上,(1)(4)中q是p的必要条件. 变式　解:(1)若A∩B=A,则A⊆B,∴p⇒/ q,∴p不是q的充分条件. 若A⫋B,则A∩B=A,∴q⇒p,∴p是q的必要条件. (2)由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即p⇒q,∴p是q的充分条件.∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即q⇒/ p,∴p不是q的必要条件.综上,(2)中p是q的充分条件,(1)中p是q的必要条件. 探究点二 例3　解:(1)由S是非空集合,可得1-m<1+m,解得m>0.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则S⊆P, 所以解得0<m≤3,故实数m的取值范围为0<m≤3. (2)假设存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充分条件,则P⊆S,所以解得m>9.所以存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充分条件,实数m的取值范围为m>9. 变式　(1)-1≤a≤6　(2)-或 [解析] (1)由-4<x-a<4,得a-4<x<a+4,因为p是q的必要条件,所以q⇒p,所以解得-1≤a≤6,即a的取值范围为-1≤a≤6. (2)p:x2+x-6=0,即p:x=2或x=-3.q:ax+1=0(a≠0),即q:x=-.由题意知p⇒/ q,q⇒p,则-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可知,a的值为-或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 【学习目标】 　　1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 　　2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. ◆ 知识点　充分条件与必要条件 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p　　　q  p　　　q  条件 关系 p是q的　　　条件  q是p的　　　条件  p不是q的　　　条件  q不是p的　　　条件  定理 关系 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件; 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2=y2”是“x=y”的充分条件. (　 ) (2)“内错角相等”是“两直线平行”的充分条件. (　 ) (3)“b=0”是“ab=0”的必要条件. (　 ) (4)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件. (　 ) ◆ 探究点一　充分条件、必要条件的判断 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12; (2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0; (3)在△ABC中,若A+B=90°,则C=90°. 例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件? (1)p:x=1,q:x-1=; (2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5; (3)p:a是自然数,q:a是正整数; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件?哪些p是q的必要条件? (1)p:A∩B=A,q:A⫋B. (2)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等. [素养小结] 充分条件、必要条件的几种判定方法: (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题. (2)集合法:根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题. ◆ 探究点二　充分条件、必要条件的应用 例3 [2026·漳州一中高一月考] 已知集合P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m<x<1+m}. (1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,求实数m的取值范围. (2)是否存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充分条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 变式 (1)已知p:-4<x-a<4,q:2<x<3,若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0(a≠0)的必要条件但不是充分条件,则实数a的值为　　　　.  [素养小结] 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $