1.3 集合的基本运算（第1课时 并集与交集）分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

### 基本信息 以基础巩固为核心，通过三级梯度设计构建“概念理解-综合应用-创新拓展”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一集合运算（交集、并集）、Venn图读取|选择题（如第1-3题）直接考查定义，填空题（如第4题）强化坐标集合运算，夯实概念理解| |能力提升|含参数集合运算、实际应用|解答题（如第9题）结合方程求参数，应用题（如第8题）用集合思想解决商品销售统计，培养推理与模型意识| |拓展探究|集合分拆、新定义问题|创新题（如第5题分拆种数、第3题“长度”定义）拓展思维，发展创新意识与数学抽象能力|

集合的基本运算第1课时　并集与交集同步练 1．已知集合A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2－2x－8＝0}，则A∩B＝(　　) A．{4} B．{2} C．{－2} D．∅ 2. 已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{0,1} B．{0} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 3．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于(　　) A．∅ B．{1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________. 5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B； (2)求(A∪B)∩C. 一、选择题 1．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1，或x≥2} D．{x|0≤x≤1，或x>2} 2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 3．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{2，a，b}，若A∩B＝{1,3}，则a＋b的值为(　　) A．4 B．7 C．9 D．10 5．(多选)若集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 二、填空题 6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a可能取的值有________个． 7．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________. 8．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 三、解答题 9．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B. 10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值． 1．集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B等于(　　) A． B． C． D． 3．定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a.已知m，n∈R，集合M＝，N＝，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________. 4．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 5．集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b，c}的不同分拆种数为多少？ 　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数． 集合的基本运算第1课时　并集与交集同步练同步训练 1．已知集合A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2－2x－8＝0}，则A∩B＝(　　) A．{4} B．{2} C．{－2} D．∅ 答案　C 解析　∵A＝{－2,2}，B＝{－2,4}，∴A∩B＝{－2}． 2. 已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{0,1} B．{0} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 答案　D 解析　由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D. 3．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于(　　) A．∅ B．{1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2} 答案　C 解析　因为A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1,2}＝{0,1,2}． 4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________. 答案　{(3,1)} 解析　由题意，知A∩B＝{(x，y)|x＋y＝4且x－y＝2}＝，解得故A∩B＝{(3,1)}． 5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B； (2)求(A∪B)∩C. 解　(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，∴a＝－8，b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}， ∴(A∪B)∩C＝{2}． 一、选择题 1．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1，或x≥2} D．{x|0≤x≤1，或x>2} 答案　B 解析　由图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选B. 2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 答案　C 解析　因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．故选C. 3．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 答案　B 解析　∵A∩B＝{(2,5)}，∴解得a＝2，b＝3，故选B. 4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{2，a，b}，若A∩B＝{1,3}，则a＋b的值为(　　) A．4 B．7 C．9 D．10 答案　A 解析　由题意可知a＝1，b＝3或a＝3，b＝1，所以a＋b＝4，故选A. 5．(多选)若集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 答案　ABC 解析　由A∪B＝A⇒B⊆A，当B＝∅时，m＝0；当B＝{1}时，m＝1；当B＝{－1}时，m＝－1，故选ABC. 二、填空题 6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a可能取的值有________个． 答案　3 解析　由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±，0，共3个． 7．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________. 答案　a>－1 解析　利用数轴分析可知a>－1. 8．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 答案　(1)16　(2)29 解析　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)． (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)． 由于所以0≤y≤14. 所以(43－y)min＝43－14＝29. 三、解答题 9．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x，y及A∪B. 解　由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C得7∈A,7∈B且－1∈B， 所以在集合A中， 有x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3. 当x＝－2时，在集合B中，有x＋4＝2， 又2∈A，故2∈A∩B＝C， 但2∉C，故x＝－2不符合题意，舍去． 当x＝3时，在集合B中，有x＋4＝7. 故有2y＝－1，解得y＝－， 经检验满足A∩B＝C.综上可知，x＝3，y＝－. 此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}． 故A∪B＝{－4，－1,2,7}． 10．已知集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∩B＝{－3}，A∪B＝{－3,4}，求实数a，b，c的值． 解　由A∩B＝{－3}，得－3∈A. ∴(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1. ∴A＝{x|x2－x－12＝0}＝{－3,4}． 又A∪B＝{－3,4}，A≠B，A∩B＝{－3}， ∴B中只有一个元素－3， ∴解得b＝6，c＝9. ∴a＝－1，b＝6，c＝9. 1．集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　设A＝{a，b}，B＝{b，c}，由①知C⊆{a，b，c}，由②知{b}⊆C，所以C中必有元素b，故C的个数为22＝4. 2．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B等于(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由A∩B＝，知∈A，∈B， 所以⇒ 所以A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝. B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝. 所以A∪B＝.故选A. 3．定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a.已知m，n∈R，集合M＝，N＝，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________. 答案　 解析　因为集合M＝， 所以集合M的长度是， 因为集合N＝， 所以集合N的长度是， 因为M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集， 所以m的最小值为1，n的最大值为2， 此时集合M∩N的“长度”最小，为. 4．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解　因为A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}， (1)若A＝∅，则有2a>a＋3，所以a>3. (2)若A≠∅，如图所示： 则有解得－≤a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是－≤a≤2或a>3. 5．集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a，b，c}的不同分拆种数为多少？ 解　当A1＝∅时，A2＝A，此时只有1种分拆； 当A1为单元素集时，如A1＝{a}，A2＝{b，c}或{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为6种； 当A1为双元素集时，如A1＝{a，b}，A2＝{c}或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种； 当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种； 综上，共27种拆法． 　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数． 解　解法一：由条件知，每名同学至多参加两个小组， 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组， 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C， 则card(A∩B∩C)＝0，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝4， 由公式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)知 36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)， 故card(A∩C)＝8， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 解法二：(方程组法)由题意知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组， 因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人， 所以只参加物理小组的有15－6－4＝5人， 设同时参加数学和化学小组的有x人， 则只参加数学小组的有26－6－x＝20－x人， 只参加化学小组的有13－4－x＝9－x人． 又总人数为36人， 即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36， 所以44－x＝36，解得x＝8. 即同时参加数学和化学小组的有8人． 学科网（北京）股份有限公司 $