1.2集合间的基本关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦集合间的基本关系，分层覆盖基础概念到综合应用，梯度设计适配新授课巩固与思维提升，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析（元素与集合关系、空集性质）|以单选为主，直接考查概念（如第1、4题）| |进阶层|集合关系及简单计算（包含关系判断、子集个数）|含多选与填空，深化理解（如第2、7题）| |提高层|综合应用与新定义（参数范围、新情境问题）|设解答题与新定义题，培养高阶思维（如第11、17题）|

1.2　集合间的基本关系 1.C　[解析] 集合M={x|x2-1=0}={-1,1},则1∈M,故A不正确;{-1}⊆M,故B不正确;{1}⊆M,故C正确;空集是任何集合的子集,则⌀⊆M,故D不正确.故选C. 2.D　[解析] 因为A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z},所以B⫋A.故选D. 3.D⊆C　[解析] 集合D=={(2,2)},而集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x上所有点组成的集合,所以D⊆C. 4.B　[解析] 对于A,{0}是含一个元素0的集合,⌀不含任何元素,故A错误;对于B,集合中元素具有无序性,故B正确;对于C,{⌀}是包含空集⌀的集合(有一个元素),⌀是空集(无元素),故C错误;对于D,{(3,1)}表示有序数对(3,1)的集合,{(1,3)}表示有序数对(1,3)的集合,有序数对(3,1)与(1,3)不相等,故这两个集合不相等,故D错误.故选B. 5.-1　[解析] 由题意知,m2=1或2m-1=1,所以m=1或m=-1.当m=1时,m2=2m-1,不符合集合中元素的互异性;当m=-1时,A=B={1,-3},满足题意.综上,m=-1. [易错提醒] 在解决集合相等或元素与集合关系求参时,题目一般会涉及集合元素的互异性,必要时需要分类讨论和验证. 6.D　[解析] 由-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4,则A={x∈N|-2≤x-1≤3}={x∈N|-1≤x≤4}={0,1,2,3,4},所以集合A的真子集有25-1=31(个).故选D. [规律方法] 若集合A中元素的个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2. 7.ABC　[解析] 对于A,{x∈N|x2+3x+2=0}=⌀,子集个数为1,故A正确;对于B,{x|x是边长分别为1,2,3的三角形}=⌀,子集个数为1,故B正确;对于C,{x∈R||x|=-1}=⌀,子集个数为1,故C正确;对于D,{⌀}是非空集合,集合含有1个元素,所以子集个数为2,故D错误.故选ABC. 8.3　[解析] 因为集合A满足{-1,2,3}⊆A,且A是集合{-1,0,1,2,3}的真子集,所以集合A为{-1,2,3},{-1,2,3,0}或{-1,2,3,1},所以满足条件的A有3个. 9.C　[解析] 因为A={1,a},B={a+1,a2,3}且A⊆B,所以1∈B,则a+1=1或a2=1,解得a=0或a=1或a=-1.当a=0时,A={1,0},B={0,1,3},符合题意;当a=1时,集合A不满足元素的互异性,故舍去;当a=-1时,A={1,-1},B={1,0,3},不满足A⊆B,故舍去.故选C. 10.ACD　[解析] M={x||x-2|=1}={1,3}.因为N⊆M,所以当N=⌀时,a=0,满足要求;当N={1}时,a=2;当N={3}时,由3a=2,解得a=.综上,a=0或2或.故选ACD. 11.解:(1)由⌀⫋A,则A≠⌀, 因为集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}, 所以2a+1≤3a-5,解得a≥6, 故实数a的取值范围是{a|a≥6}. (2)当A=⌀时,满足题意,此时有2a+1>3a-5,即a<6; 当A≠⌀,且A⊆B时,a≥6,且2a+1>16或3a-5<-1,解得a>或a<, 又a≥6,所以a>. 综上可得,实数a的取值范围是. [易错提醒] 解决由集合关系求参数范围的题目,已知两集合A,B,当A⊆B时,如果B是一个确定的集合,而集合A不确定,求解时要分A=⌀与A≠⌀两种情况. 12.B　[解析] M=, N==,P=,故M⊆N=P.故选B. 13.AC　[解析] 由题可得,A={3,5},当B=⌀时,a=0,当B≠⌀时,B=,则=3或=5,解得a=或a=,所以实数a的取值集合C=,所以⊆C,故A正确,B错误;集合C的子集有23=8(个),非空子集有23-1=7(个),故C正确,D错误.故选AC. 14.　[解析] 由题知,关于x的方程=1只有一个解.当a=9时,方程为=1,解得x=-2;当a≠9时,方程可化为x2-x+3-a=0,由Δ=(-1)2-4(3-a)=0,得a=,此时A=,满足题意.综上所述,a的取值集合为. 15.-1　[解析] 因为集合A={x|a≤x≤a2-2}中只有1个元素,所以a=a2-2,解得a=2或a=-1.当a=2时,A={2},此时不符合A⊆B;当a=-1时,A={-1},满足A⊆B.综上,a=-1. 16.解:(1)若A=B,则-1和4是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根,所以解得 此时B={x|x2-3x-4=0}={-1,4}=A, 所以a=-3,b=-4. (2)当m=0时,C=⌀,满足C⊆A. 当C≠⌀且C⊆A时,C={-1}或C={4}. 若C={-1},则=-1,解得m=-1; 若C={4},则=4,解得m=. 综上,m的取值集合为. 17.ABCD　[解析] 由于A1,A2,…,Ak(k>1,k∈N*)两两不同,且A1⊆A2⊆…⊆Ak,则它们的元素个数各不相同且依次递增,对于集合S={a1,a2,…,an},从⌀起,依次添加任意一个新元素构成新集合,所得集合即可构成集合S的一条“链”,则一条最长“链”可为⌀⊆{a1}⊆{a1,a2}⊆…⊆{a1,a2,…,an},长度为n+1.对于A,当n=3时,其最长“链”的长度为4,故A正确;对于B,若链同时包含空集（0个元素）和全集S（n个元素），由于链中集合两两不同且元素个数严格递增，因此至少需要n+1个集合，即长度至少为n+1，故B正确;对于C,若X⊆Y且X≠Y,则可直接构造“链”X⊆Y,故C正确;对于D,对于集合S的一条长度为2的“链”Ai⊆Aj,对于集合Ai={a1,a2,…,ai},任取一条最长“链”,对于集合{x|x∈Aj且x∉Ai},依次添加其中的一个新元素到Ai构成新集合,直至得到Aj,对于集合{x|x∈S且x∉Aj},依次添加其中的一个新元素到Aj,直至得到S,则此过程所得集合即可扩展为一条最长“链”,则任何长度大于1的“链”都可以扩展为一条最长“链”,故D正确.故选ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合间的基本关系 考点一　集合间关系 1.[2025·长沙一中高一月考] 已知集合M={x|x2-1=0},则下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1⊆M B.{-1}∈M C.{1}⊆M D.⌀∉M 2.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的关系是 (　 ) A.A⊆B B.A=B C.A⫋B D.B⫋A 3.若集合C={(x,y)|y=x},集合D=,则集合C,D之间的关系为　　　　　.  考点二　集合相等与空集 4.[2026·湖北重点高中智学联盟高一月考] 下列表述中正确的是 (　 ) A.{0}=⌀ B.{3,1}={1,3} C.{⌀}=⌀ D.{(3,1)}={(1,3)} 5.[教材P9第5题变式] 已知集合A={m2,2m-1},B={1,m-2},若A=B,则m=　　　　.  考点三　子集、真子集个数问题 6.集合A={x∈N|-2≤x-1≤3}的真子集的个数是 (　 ) A.64 B.63 C.32 D.31 7.(多选题)下列集合中子集个数为1的是 (　 ) A.{x∈N|x2+3x+2=0} B.{x|x是边长分别为1,2,3的三角形} C.{x∈R||x|=-1} D.{⌀} 8.[2026·江苏盐城五校高一期中] 设集合A满足{-1,2,3}⊆A,且A是集合{-1,0,1,2,3}的真子集,则满足条件的A有　　　　　个.  考点四　根据集合的关系求参数 9.设集合A={1,a},B={a+1,a2,3},若A⊆B,则a= (　 ) A.3 B.1 C.0 D.-1 10.(多选题)设集合M={x||x-2|=1},N={x|ax=2},且N⊆M,则实数a的值可以是 (　 ) A.2 B.1 C. D.0 11.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}. (1)若⌀⫋A,求实数a的取值范围; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 12.已知集合M=,N=,P=,则M,N,P的关系为 (　 ) A.M=N⊆P B.M⊆N=P C.M=P⊆N D.N⊆P⊆M 13.(多选题)[2026·湖南永州高一期中] 设集合A={x|x2-8x+15=0},集合B={x|ax-1=0},若B⊆A,实数a的取值集合为C,则下列说法正确的是 (　 ) A.⊆C B.C= C.集合C的非空子集有7个 D.集合C的子集有4个 14.已知集合A=恰有两个子集,则a的取值集合为　　　　.  15.已知集合A={x|a≤x≤a2-2},B={x|x<1},若A中只有1个元素,且A⊆B,则a=　　　　.  16.[2026·长春七中高一期中] 已知集合A={-1,4},B={x|x2+ax+b=0},C={x|mx-1=0}. (1)若A=B,求a,b的值; (2)若C⊆A,求m的取值集合. 17.(多选题)对于集合S,若存在集合S的两两不同的子集A1,A2,…,Ak(k>1,k∈N*)满足A1⊆A2⊆…⊆Ak,则称其构成集合S的一条“链”,称k为这条“链”的长度.当集合S的元素个数为n时,下列说法正确的是 (　 ) A.当n=3时,集合S的最长“链”的长度为4 B.如果一条“链”同时包含空集和全集S,则这条“链”的长度至少为n+1 C.对于集合S的任意两个不同子集X和Y,若X⊆Y,则存在一条“链”同时包含X和Y D.任何长度大于1的“链”都可以扩展为一条最长“链”(即从空集到全集S的“链”) 学科网（北京）股份有限公司 $