1.4.2 充要条件 分级同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 充要条件同步练通过基础辨析、综合应用到开放探究的分层设计，实现从单一概念到复杂推理的知识巩固，强化逻辑推理与符号表达，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一条件判断|选择题1-3考查充要条件基本概念，如“a²+b²≠0”与“a,b全不为零”的关系辨析| |进阶层|简单综合应用|解答题9结合等式证明充要条件，填空题8关联集合关系求参数范围| |提升层|复杂推理与开放探究|解答题10讨论方程根的充要条件，附加题5提供条件选择型开放题，培养批判性思维|

1.4.2　充要条件同步练 一、选择题 1．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 2．命题“对任意1≤x<2，x2－a<0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a≥4 B．a>4 C．a≥1 D．a>1 3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a>0，设p：－a≤x≤3a；q：－1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．0<a<1 D．0<a≤1 5．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 二、填空题 6．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的________条件． 7．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________. 8．若“<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 三、解答题 9．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 1．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知a∈R，则“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 4．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 5．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． 探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在． 1.4.2　充要条件同步练参考答案 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为x>0⇒x≠0，但x≠0x>0，所以x>0是x≠0的充分不必要条件． 2．设x，y∈R，则“x2＋y2≥4”是“x≥2且y≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，而x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，所以“x2＋y2≥4”是“x≥2且y≥2”的必要不充分条件． 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 答案　m＝－2 解析　函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称． 4．函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________. 答案　k>0，b>0 解析　当k>0时，函数y＝kx＋b的图象必经过第一、三象限．又函数图象经过第二象限，所以b>0. 5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明　证法一：①充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. ②必要性：由<，得－<0，即<0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以<的充要条件是xy>0. 证法二：<⇔－<0⇔<0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0，即<的充要条件是xy>0. 一、选择题 1．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 答案　C 解析　“a，b全不为零”⇒“a2＋b2≠0”，反之不成立，a，b可能只有一个为0.所以“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的必要不充分条件． 2．命题“对任意1≤x<2，x2－a<0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a≥4 B．a>4 C．a≥1 D．a>1 答案　B 解析　对任意1≤x<2，x2－a<0，即a>x2，故a≥4是命题为真命题的充要条件，故B为命题为真命题的充分不必要条件． 3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的． 4．已知a>0，设p：－a≤x≤3a；q：－1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．0<a<1 D．0<a≤1 答案　C 解析　因为p是q的充分不必要条件，所以解得0<a<1.所以实数a的取值范围是0<a<1. 5．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 答案　BD 解析　由已知，得p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．∴正确的选项是B，D. 二、填空题 6．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的________条件． 答案　必要不充分 解析　因为ab＝0a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，即ab＝0.故“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件． 7．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________. 答案　a<－1 解析　方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1. 8．若“<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 答案　m≥3 解析　若“<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件， 则“<x<3”能推出“0≤x≤m”成立，“0≤x≤m”不能推出“<x<3”成立． 记A＝，B＝{x|0≤x≤m}． 由题意可得AB，即m≥3. 故实数m的取值范围是m≥3. 三、解答题 9．已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 证明　必要性：若＋＋2＝， 则＝， 即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2， 即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0， 即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0， 因为a，b是正实数， 所以a＋b＋2>0， 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 充分性：若a＋b＝1， 则＋＋2＝＝＝＝＝， 故＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1. 10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则必须满足解得a<0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足解得0<a≤. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 1．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，若a＝0，则＝b，所以b≥0，若b＝0，则＝a，所以a≥0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性． 2．已知a∈R，则“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　①当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，有一负根x＝－，满足题意． ②当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程的两根满足x1x2＝<0，此时方程有且仅有一个负根，满足题意． ③当a>0时，由根与系数的关系可得 所以方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件是Δ＝4－4a≥0， 所以0<a≤1， 综上可得a≤1， 所以“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”的必要不充分条件． 3．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 证明　①充分性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2＝2＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 4．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况， 当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时． 又当x>0，y>0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)， ∴等式成立． 总之，当xy≥0时， |x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得 |x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 5．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． 探究：若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在． 解　若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有(等号不同时成立)，解得m≥5， 所以实数m的取值范围是m≥5. 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有(等号不同时成立)，解得0<m≤3. 所以实数m的取值范围是0<m≤3. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B， 则有方程组无解． 所以不存在满足条件的实数m. 综上，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件， 则m≥5； 若x∈A是x∈B成立的必要不充分条件， 则0<m≤3； 若x∈A是x∈B成立的充要条件，则m不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $