1.4.2 充要条件 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 以诊断分析为起点，通过“概念辨析-充要条件判断-证明与应用”三阶分层设计，实现从单一概念理解到综合逻辑推理的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |诊断分析|充要条件概念基础辨析（逆命题、充要条件判定）|正误判断题（3题）聚焦核心概念，培养抽象能力与推理意识| |判断与证明|充要条件判断方法（命题/集合角度）、证明（几何/代数情境）|例1（4小题）结合代数几何实例，例2及变式从证明到方程根判定，发展推理能力| |综合应用|充要条件在集合中的参数范围求解|例3及变式通过集合关系转化参数问题，体现模型意识与应用意识，实现综合提升|

1.4.2　充要条件 【课前预习】 知识点 2.p⇔q　充分必要条件　充要条件 互为充要条件 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ [解析] (1)若两个角是对顶角,则这两个角相等,即p⇒q,因此充分性成立;当两个角相等时,两个角不一定是对顶角,如两个角为同位角,即q⇒/ p,因此必要性不成立.所以p是q的充分不必要条件. (2)因为x=0且y=0⇒x2+y2=0,x2+y2=0⇒x=0且y=0,所以p是q的充要条件. (3)根据集合之间的关系和充要条件的定义可知p是q 的充要条件. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为ab=0⇒/ a=0,而a=0⇒ab=0,所以p是q的必要不充分条件. (2)因为四边形的对角线相等⇒/ 四边形是正方形,而四边形是正方形⇒四边形的对角线相等,所以p是q的必要不充分条件. (3)因为a是无理数⇒a+5是无理数,a+5是无理数⇒ a是无理数,所以p是q的充要条件. (4)因为A⊆B⇒A∪B=B,A∪B=B⇒A⊆B,所以p是q的充要条件. 探究点二 例2　证明:充分性: 方法一:当a=2时,b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc, 所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a-b=b-c=a-c=0, 即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立. 方法二:因为b2+c2-2(b+c)=bc-4,所以2b2+2c2-4b-4c-2bc+8=0,则(b-2)2+(c-2)2+(b-c)2=0,所以b=c=2,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立. 必要性:由△ABC为等边三角形,且a=2,得a=b=c=2,则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,必要性成立. 故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 变式　证明:先证明充分性: 若0<m<,则-4<-12m<0,∴0<4-12m<4,∴Δ=4-12m>0,∴方程有两个不相等的实根,设方程的两个实根为x1,x2,则x1+x2=>0,x1·x2=>0,∴两根同号,故方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根,充分性成立. 再证明必要性:若方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个不相等的实根,则Δ=4-12m>0,解得m<①. ∵方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号的实根,∴由根与系数的关系知>0,∴m>0②.∴由①②得m的取值范围是0<m<,必要性成立. ∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<. 探究点三 例3　解:(1)∵“x∈P”是“x∈S”的必要条件,∴S⊆P,∴解得0≤m≤,∴实数m的取值范围是0≤m≤. (2)若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,∴该方程组无解,∴不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件. 变式　解:因为5-m2≤5+m2,所以B={x|5-m2≤x≤5+m2}≠⌀. 因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,只需解得-1<m<1.综上,实数m的取值范围为-1<m<1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　充要条件 【学习目标】 　　通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. ◆ 知识点　充要条件的概念 1.逆命题 将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作　　　　.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的　　　　　　　　,简称为　　　　　　.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1) 已知p:两个角是对顶角,q:两个角相等,则p是q的充要条件. (　 ) (2)已知p:x=0且y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件. (　 ) (3)已知p:集合A⊆B,B⊆C,C⊆A,q:集合A=B=C,则p是q的充要条件. (　 ) ◆ 探究点一　充要条件的判断 例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件. (1)p:ab=0,q:a=0; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形; (3)p: a是无理数,q:a+5是无理数; (4)p:A⊆B,q:A∪B=B. [素养小结] 判断p是q的充要条件的两种思路: (1)命题角度:判断p是q的充要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件. (2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p是否成立时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题大有益处. 此外,对于较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇔等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度. ◆ 探究点二　充要条件的证明 例2 已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 求证:方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<. [素养小结] 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件”⇒“结论”,必要性需要证明“结论”⇒“条件”. ◆ 探究点三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 例3 已知集合P={x|-2≤x≤6},非空集合S={x|1-m≤x≤1+3m}. (1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,求实数m的取值范围. (2)是否存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件? 变式 已知集合A={x|4<x≤8},B={x|5-m2≤x≤5+m2}.设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. [素养小结] 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤: (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系; (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 学科网（北京）股份有限公司 $