第13章 三角形 三角形的高、中线、角平分线——等积法 专项练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以等积法为核心，通过高的定义理解、面积公式应用及综合问题解决，构建从概念到迁移的完整训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认知|选择1-2、填空7|高的定义辨析|从高的概念生成，建立与三角形基本元素的联系| |技能应用|选择3-6、填空8-9|等积转换（面积不变性）|通过面积公式推导，实现边长与高的互求| |综合拓展|解答10-24|动点最值（垂线段最短+等积）|结合中线、角平分线等，拓展至复杂图形的面积关系应用|

等积法 一、选择题 1．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A．B． C． D． 2．如图1，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 图4 3．如图2，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图3，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 5．如图4，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 6．如图5，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 7．如图6，在中，，则边上的高是___________． 8．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 9．如图7，在中，、分别是的高且，，，则_____． 图5 图6 图7 三、解答题 10．下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 11．如图，在中，，，的高和的比是多少？ 12．如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 13．如图，在中，，，，，，求和的长． 14．如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 15．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 16．（1）根据下图标出的量及其满足的关系，列出方程，并求出的值． （2）求该图形的面积． 17．如图，在中，是的平分线．，于点，求的度数． 18．如图，在中，，分别是的高和角平分线．若，，求的度数． 19．如图，，是的两条高，已知．求的长． 20．在中，，，是的高，是的角平分线，求的度数． 21．如图，在中，是边上的高线，平分，若，，求的度数． 22．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，． (1)______； (2)求和的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《等积法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D D A A A D 1．A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 2．D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 3．D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 4．A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 5．A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 6．A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点C到的距离是． 7．D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 8． 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 9． 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 10． 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 11．4 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积问题，根据三角形中线的性质得到，再根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 12．解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【详解】略 13． 【分析】根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴． 14．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．； 【分析】根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 16．(1)见解析 (2)点C到边的距离为4． 【分析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解； （2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点C到边的距离为线段的长； ； （2）解：过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 18．（1）；（2）6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、三角形的面积等知识点，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据三角形的周长为12列一元一次方程求解即可； （2）先求出两个直角边的长度，再运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，解得． （2）当时，， 所以该图形的面积为． 19． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义，得出，根据高线定义得出，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 21． 【分析】本题考查三角形的面积，关键是掌握三角形的面积公式．由三角形的面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：∵，是的两条高， ∴的面积， ∵， ∴， ∴． 22． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，是的高， ∴， ∵，， ∴ 又∵是的角平分线， ∴， ∴． 23． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高、角平分线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的高以及三角形内角和定理可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，是边上的高线， ∴， ∴． 24．(1) (2)， 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键． （1）利用三角形的中线平分三角形面积得出； （2）利用三角形面积得出的长，即可得出的长． 【详解】（1）解：是边上的中线，， ， 故答案为：； （2）解：是边上的高，， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $