13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课后练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册三角形章节同步练，以"基础巩固-综合应用-实践拓展"分层设计，通过概念辨析、推理计算及实际操作，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|中线、角平分线、高的定义及三线交点|选择题直接考查概念（如中线定义），填空题巩固性质（如中线分面积）| |综合应用|多知识点结合（如角平分线与内角和）|解答题通过图形推理计算（如利用中线求周长差）| |实践拓展|知识迁移与实际应用|综合与实践通过操作验证重心性质，结合钝角三角形空地问题培养应用意识|

学年人教版数学八年级上册 第章 三角形 三角形的中线、角平分线、高 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 中线：连接三角形顶点与对边中点的线段；三条中线交于一点（重心）。 · 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于一点（内心）。 · 高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；三条高所在直线交于一点（垂心）。 · 锐角三角形三条高都在形内；直角三角形两条直角边互为高；钝角三角形夹钝角两边上的高在形外。 · 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合（三线合一）。 · 三角形一边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．三角形的中线是（　　） ．连接顶点与对边的线段 ．连接顶点与对边中点的线段 ．从顶点向对边作的垂线 ．平分内角的射线 ．下列说法正确的是（　　） ．三角形的高一定在三角形内部 ．直角三角形只有一条高 ．钝角三角形有两条高在三角形外部 ．三角形的中线把三角形分成周长相等的两部分 ．如图，是的中线，若，则（　　） ．　　． ．　　． ．三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的（　　） ．内心　　．外心 ．重心　　．垂心 ．如图，在钝角中，为钝角，是边上的高，则垂足的位置在（　　） ．线段上 ．的延长线上 ．的延长线上 ．线段上 ．如图，在中，，则图中与互余的角有（　　）个。 ．　　． ．　　． ．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线（　　） ．互相垂直 ．互相重合 ．互相平行 ．长度相等 ．如图，、分别平分和，若，则（　　） ．　　． ．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．三角形一边上的中线把这个三角形分成面积的两部分。 ．钝角三角形中，夹钝角的两条边上的高落在三角形的。 ．如图，在中，，若，则。 ．在中，是边上的中线，若的面积为，则的面积为。 ．在中，是高，是角平分线，，则。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）画出任意一个钝角三角形的三条高，并标出垂足。 ．（本题分）如图，是的中线，的周长比的周长大，求的长。 ．（本题分）如图，在中，、分别平分和，求的度数。 ．（本题分）在中，是边上的高，平分。若，求的度数。 ．（本题分）如图，在中，平分平分，求的度数。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【操作与探究】 任意画一个三角形，用刻度尺找出三边中点，连接顶点与对边中点，得到三条中线； 用量角器或折叠方法验证三条中线是否交于一点，并测量重心到顶点与到对边中点的距离之比（约为:）； 通过测量或折叠，验证“三角形一边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分”。 ．（本题分）【实际应用】 如图，一块钝角三角形空地（为钝角），要在边上修建一条垂直于的小路（为垂足）。 判断垂足是否落在线段上，并说明理由； 若 ，求这块空地的面积。 学年人教版数学八年级上册 第章 三角形 三角形的中线、角平分线、高 课后练习（满分分，时间分钟） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．相等 ．外部 ． ． ． 三、解答题 ．图见详解：从钝角顶点作对边的高在形内；从另外两个顶点作对边的高，垂足落在对边的延长线上。 【分析】按钝角三角形的高的定义作图：延长夹钝角的两边，再作垂线。 【详解】设钝角三角形为，且为钝角。 ①从顶点向边作垂线，垂足落在边上（在形内）； ②延长到点，从顶点作，垂足落在的延长线上（在形外）； ③延长到点，从顶点作，垂足落在的延长线上（在形外）。 三条高（或其所在直线）交于三角形外部一点。 【评分标准】正确画出形内高得分；正确画出两条形外高并标出垂足各得分；标注清晰得分（共分）。 ． 【分析】中线定义得，利用周长差建立方程。 【详解】因为是的中线，所以。 的周长， 的周长。 因为，所以周长差为： 。 又，所以，解得。 【评分标准】得出得分；列出周长差方程得分；解出得分（共分）。 ． 【分析】利用三角形内角和与角平分线定义，将用表示。 【详解】在中，。 因为、分别平分和， 所以½½。 所以½½。 在中，。 【评分标准】求出得分；利用角平分线得分；求出得分（共分）。 ． 【分析】设，用含的式子表示、，再由与的差等于列方程求解。 【详解】设，则。 因为平分，所以½。 因为是边上的高，，所以。 由，得 ， 解得 ，即。 （检验：，符合题意。） 【评分标准】用含的式子表示、各得分；由列方程得分；解出并检验得分（共分）。 ． 【分析】利用，结合角平分线定义即可。 【详解】因为，且， 所以。 因为平分平分， 所以½½。 所以½½。 【评分标准】得出得分；利用角平分线得分；求出得分（共分）。 四、综合与实践 ． 见详解：三条中线交于一点（重心），重心到顶点与到对边中点的距离之比约为:；中线分成的两个小三角形等底同高，面积相等。 【分析】通过操作与测量发现重心的位置特征及中线分面积的性质。 【详解】用刻度尺分别量出三角形三边的长度，找出每条边的中点、、， 再分别连接顶点与、顶点与、顶点与，得到三条中线、、。 通过测量可以发现，三条中线、、相交于同一点（重心）。 测量与的长度，可发现:≈:； 同理:≈::≈:。 以中线为例，与的底边（为中点）， 且它们的高都是从顶点向边所作垂线段的长度， 所以这两个三角形等底同高，面积相等。 因此，三角形一边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 【评分标准】操作步骤正确得分；发现交于一点及比值约为:得分；验证面积相等得分（共分）。 ． 垂足不落在线段上，而落在的延长线上；理由：钝角三角形夹钝角两边上的高在三角形外部； 。 【分析】根据钝角三角形高的位置特征判断；以为底、为高计算面积。 【详解】垂足不落在线段上。 因为中为钝角，根据钝角三角形高的性质： 夹钝角两边（、）上的高落在三角形的外部。 所以从顶点向边所在直线作垂线时，垂足落在的延长线上（在三角形外部）。 空地面积即的面积。 以为底边，为对应的高（到直线的距离）， 面积½½（）。 【评分标准】判断正确得分，理由充分得分（共分）；列出面积公式得分，计算正确得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $