2.3有理数的乘除运算 同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖有理数乘除从概念理解到规律探究的完整路径，基础巩固与能力提升衔接紧密，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|单一知识点（倒数、乘除运算、符号法则）|含实际情境题（如电梯下降、摩托车耗油），强化运算能力与抽象能力| |能力提优篇|综合应用（多因数乘积符号、倒数与数轴结合、运算律）|设置推理判断题（如命题正误判断），培养推理意识与符号意识| |压轴拓展篇|复杂情境与规律探究（质量偏差表格、积商绝对值规律）|设计跨情境综合题（如表格数据分析），发展数据意识与创新意识|

北师大版七年级上册数学　第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 分层作业 基础巩固篇 （一）选择题（共8题） 1. 下列各数中，与 互为倒数的是（　　）。 A. B. C. D. 2. 计算 的结果是（　　）。 A. −28 B. −11 C. 11 D. 28 3. 计算 的结果是（　　）。 A. −3 B. 3 C. −12 D. 12 4. 若 为有理数，下列说法错误的是（　　）。 A. B. C. D. 5. 在积 中，负因数的个数为3个，因此积的符号是（　　）。 A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定 6. 把 改写成乘法，正确的是（　　）。 A. B. C. D. 7. 某班把“每少完成1道训练题”记作 。小林连续4天每天都少完成3道，则这4天的总记录为（　　）。 A. −12 B. −7 C. 7 D. 12 8. 一部电梯每下降1层，楼层变化记作 。从某层连续下降6层，楼层变化可表示为（　　）。 A. B. C. D. （二）填空题（共8题） 9. 计算：________。 10. 计算：________。 11. 的倒数是________。 12. 填空：________；________。 13. 将 改写为乘法：________________。 14. 计算：________。 15. 若 ，则 ________。 16. 摩托车每行驶1千米耗油0.06升，一天共行驶35千米，共耗油________升。 （三）解答题（共4题） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 某冷库内原温度为4 ℃，制冷后温度平均每2小时下降1.5 ℃。连续制冷8小时后，冷库温度是多少摄氏度？请用有理数乘法表示温度变化。 能力提优篇 （一）选择题（共8题） 21. 7个非零有理数相乘，其中有5个负数，则积一定是（　　）。 A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 22. 的倒数与负倒数依次是（　　）。 A. ， B. ， C. ， D. ， 23. 数轴上 A、B、C 三点所表示的数如图。将这三个数分别取倒数，并与 0 比较，其中最大的是（ ）。 A. B. −2 C. D. 0 24. 已知 ，且 （），则下列结论一定正确的是（　　）。 A. B. C. D. 25. 下列计算正确的是（　　）。 A. B. C. D. 26. 下列变形中，正确运用了乘法分配律的是（　　）。 A. B. C. D. 27. 下列命题中正确的是（　　）。 A. 0的倒数是0 B. 非零有理数与它的倒数的积为1 C. 一个数的倒数一定比它本身大 D. 负数的倒数一定是正数 28. 若 ，则 的值是（　　）。 A. B. C. D. （二）填空题（共8题） 29. 计算：________。 30. 若 ，则 ________。 31. 的倒数是________，负倒数是________。 32. 用运算律简便计算：________。 33. 若 ，则 ________（填“>”“<”或“=”）。 34. 若 ，且 中恰有3个负数（五个数均不为0），则 是________数。 35. 按下面的运算流程，当输入 时，输出结果为________。 36. 写出一组满足 且 的有理数：________，________。（答案不唯一） （三）解答题（共4题） 37. 计算，并说明你选择怎样的运算顺序更简便：。 38. 某潜水器以海平面为0米，向上为正。它先以每分钟2.4米的速度下潜5分钟，再以每分钟1.6米的速度上浮3分钟。 （1）分别写出两段运动的位置变化量；（2）求潜水器最终相对海平面的位置。 39. 已知 和 互为倒数， 和 互为相反数，且 。求： （1） 的值；（2）；（3）。 40. 判断下列命题是否正确，并说明理由。 ① 若 均为非零有理数且 ，则 ； ② 若 ，则一定有 。 压轴拓展篇 41. 【质量偏差 · 表格综合】某食品厂抽检四批袋装食品，每袋标准质量为500 g。以“超过标准”为正、“不足标准”为负，记录如下表。 批次 每袋偏差/g 抽检袋数 A −4 25 B +2 40 C −1 30 D +5 待定 （1）先不计D批，求A、B、C三批食品的总偏差； （2）若四批食品的总偏差恰好为0，求D批应抽检多少袋； （3）若D批实际只抽检8袋，求全部样品的平均偏差（结果保留分数形式）； （4）仍抽检8袋D批，若希望四批总偏差为0，则D批每袋偏差应为多少克？若每袋偏差的合格范围是 g，这样的D批是否合格？说明理由。 42. 【积、商与绝对值的规律探究】其中 a，b 为非零有理数，记 P = ab，Q = a ÷ b。 （1）分别取（a，b）=（2，3），（−2，3），（−2，−3），计算 P，Q，观察它们的符号。 （2）证明 P 和 Q 总是同号，并求 P ÷ Q。 （3）根据第（2）问，比较 |P| 和 |Q| 的大小，并按 |b| > 1，|b| = 1，0 < |b| < 1 三种情况分类。 （4）若 |P| = 4|Q|，求 |b|；若再知 a > 0，P < 0，确定 b 的值。 （5）判断命题“若 P > Q，则 |b| > 1”是否正确。若不正确，请举反例；再补充一个简单条件，使该命题成立，并说明理由。 参考答案与详细解析 说明：本答案按“结论—关键步骤—易错提醒”编写，便于校对、讲评与二次备课。 一、基础巩固篇 1. 答案：C。 倒数的定义是两个数的积为1。，故选C。 易错提醒：注意“倒数”不改变正负规律：负数的倒数仍是负数。 2. 答案：A。 。异号两数相乘取负号，再把绝对值相乘。 易错提醒：先定符号，再算绝对值。 3. 答案：B。 。同号两数相除结果为正。 易错提醒：除法同样要先判断符号。 4. 答案：B。 除数不能为0，所以没有意义；其余三项在相应条件下成立。 易错提醒：0可以作被除数，但不能作除数。 5. 答案：B。 三个负因数相乘，负因数个数为奇数，所以积为负。 易错提醒：多个非零因数相乘：负因数个数奇数→积负；偶数→积正。 6. 答案：A。 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；的倒数是。 易错提醒：只对除数取倒数。 7. 答案：A。 每天少3道记作，连续4天为。 易错提醒：“少”对应负数，天数是正数。 8. 答案：A。 每下降1层记，连续下降6层：。 易错提醒：实际意义要与正负规定保持一致。 9. 答案：−8。 解析： 易错提醒：先约分可减少计算量。 10. 答案：−25。 解析： 易错提醒：除法转乘法时要把除数取倒数。 11. 答案：见解析。 解析：，所以倒数为 易错提醒：小数可先化成分数。 12. 答案：0，0。 解析： 易错提醒：第二式成立是因为除数−5不为0。 13. 答案：见解析。 解析： 易错提醒：只将“除以”改为“乘以倒数”。 14. 答案：−9。 解析：， 易错提醒：三个负因数，结果为负。 15. 答案：−8。 解析： 易错提醒：可把未知因数看作“积÷已知因数”。 16. 答案：2.1。 解析： 易错提醒：单位是升。 17. 【详细解答】 （1） （2） （3） （4） 18. 【详细解答】 （1） （2） （3） （4） 19. 【详细解答】 （1） （2） （3） （4） 20. 8小时包含 个2小时。温度变化量为 ℃，所以最终温度为 ℃。答案：−2 ℃。 易错提醒：“每2小时下降1.5 ℃”不能直接用−1.5×8。 二、能力提优篇 21. 答案：B。 5个负因数，负因数个数为奇数，积为负。 22. 答案：A。 因为 × = 1，所以 的倒数是 ；它的负倒数是 。 23. 答案：C。解析：A、B、C 三点分别表示 −2、、，它们的倒数依次为 、−2、。与 0 比较可得 最大，因此选 C。 24. 答案：B。 说明同号；说明异号，所以异号，故。 25. 答案：B。 A按从左到右应得−8；B的括号内先算得−6，；C得2；D得8。 26. 答案：A。 分配律，两项都要乘同一个因数−8。 27. 答案：B。 任意非零有理数与其倒数的积都为1。0没有倒数；倒数大小不固定；负数的倒数仍为负数。 28. 答案：B。 说明异号，所以商为负；绝对值之比为，故。 29. 答案：1。 解析：，再除以 得1。 30. 答案：−6。 解析： 31. 答案：见解析。 解析：倒数为 ；负倒数即倒数的相反数，为 。 32. 答案：−30。 解析： 33. 答案：<。 解析：因为 ，乘大于1的正数后绝对值变大且仍为负，所以 。 34. 答案：正。 解析：前四个数中3个为负，；又 ，因此 。 35. 答案：−12。 解析：，。 36. 答案：示例：4，−6。 解析： 且 ，符合条件。 37. 把两项都看成含有公因数 ： 答案：0。这样处理比先分别计算三次乘法更简便。 38. 下潜为负，上浮为正。 （1）下潜变化量： m；上浮变化量： m。 （2）最终位置： m，即海平面下7.2 m。 39. （1）由 且 ，得 。又 和 互为相反数，所以 。 （2）。 （3）。 40. ①正确；②错误。 ① 且两数非零，说明 同号；同号相除为正，所以 。 ② 反例：取 ，则 ，但 ，即 。所以原命题不成立。 三、压轴拓展篇 41. 【详细解答】 （1）A、B、C三批总偏差： g。 （2）设D批抽检 袋。由总偏差为0，，所以 。 （3）D批8袋时，总偏差为 g，总袋数为 ，平均偏差为 g。 （4）设D批每袋偏差为 g，则 ，所以 g。因为 ，超过合格范围上限5 g，所以不合格。 方法点评：本题把“正负数表示偏差”与乘法、除法、平均数和方程反推结合，先求总偏差再讨论未知量，层次清晰。 42. 【详细解答】 （1）（2，3）：P = 6，Q = ；（−2，3）：P = −6，Q = ；（−2，−3）：P = 6，Q = 。三组中 P，Q 均同号。 （2）P ÷ Q = (ab) ÷ (a ÷ b) = b²。因为 b ≠ 0，所以 b² > 0。两个非零数的商为正，说明二者同号，因此 P，Q 总是同号。 （3）由 |P| ÷ |Q| = b²：当 |b| > 1 时，|P| > |Q|；当 |b| = 1 时，|P| = |Q|；当 0 < |b| < 1 时，|P| < |Q|。 （4）由 |P| = 4|Q|，得 b² = 4，所以 |b| = 2，即 b = ±2。又因为 a > 0 且 P = ab < 0，所以 b < 0，故 b = −2。 （5）原命题不正确。反例：取 a = 1，b = ，则 P = ，Q = −2，有 P > Q，但 |b| = < 1。若补充条件“P > 0”（等价于 a，b 同号），则由 P > Q > 0，可同时除以正数 Q，得到 P ÷ Q > 1，即 b² > 1，从而 |b| > 1。 易错提醒：比较 P 和 Q 的大小时，要先结合它们的正负；只有比较 |P| 和 |Q| 时，才能直接由 b² 判断。 命题构成与校对说明 题量构成：全套42题，其中题库选编/改编30题（约71.4%），新编12题（约28.6%）。新编题重点用于补充数轴、流程、表格、真实情境与探究型设问，降低同质化。 校对说明：本轮再次对42道题逐题独立复核题干条件、答案唯一性、运算过程与解析对应关系；所有数值型结果均重新验算。对0作除数、倒数、乘除符号、运算律、积商大小、分数运算、实际情境单位、平均偏差与绝对值分类讨论等易错点均按定义或分类推理再次核对。 排版说明：选择题选项不使用表格；短选项一行四项，中等长度一行两项，长选项逐项排列。分数采用规范数学格式；解答题保留空白答题区，不设置横线；数轴数字置于刻度线上方。 2.3 有理数的乘除运算 · 分层作业 学科网（北京）股份有限公司 $