广东省深圳市北师大版2026—2027学年八年级学期数学第一次月考模拟卷.培优卷

**基本信息** 聚焦勾股定理与实数，通过圆柱侧面最短路径、赵爽弦图等情境设计，融合基础运算与综合探究，适配八年级培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|勾股定理判定、实数概念、平方根计算|第5题圆柱侧面展开求最短路径，考查空间观念与转化思想| |填空题|5/15|二次根式、直角三角形边长、赵爽弦图|第12题结合赵爽弦图，渗透数学文化与几何直观| |解答题|7/61|实数运算、方程求解、勾股定理应用与验证|第19题阅读材料引入换元法，第20题面积法探究勾股定理，培养推理能力与创新意识|

广东省深圳市北师大版2026—2027学年八年级学期数学第一次月考模拟卷.培优卷 测试范围：第一章勾股定理 第二章实数 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 考试时间90分钟，全卷满分100分. 3.作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（   ） A．5，8，9 B．4，5，6 C．1，，2 D．3，5， 2．在实数，，，，，，(两个之间依次多一个)中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 5．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 6．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 8．若a、b为实数，且，则的值为（　　） A．3 B．4 C．3或5 D．5 第二部分 非选择题 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 9．_____． 10．有一个数值转换器，原理如下：当输入的为256时，输出的是__________． 11．一个直角三角形的两边长为6和8，则这个三角形的最长边是____． 12．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______． 13．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为，若点E恰好是的中点，则线段的长为________________． 三、解答题:本大题共7小题，共61分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 14．（6分）计算： (1)； (2)； 15．（7分）解方程 (1)； (2)． 16．（8分）已知的算术平方根是2，的立方根是，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 17．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点，均在格点上． (1)______， ______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求四边形的面积． 18．（10分）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 19．（10分）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 20．（12分）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 参考答案 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9． 10． 11．或 12．8 13．3 14．【详解】（1）解：； （2）解：． 15．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 16．【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴ =6， ∴的平方根为． 17．【详解】（1）解：根据勾股定理可得：，，； 故答案为：； (2)解：是直角三角形，理由如下： ∵,， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：四边形的面积． 18．【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 19．【详解】（1）解： （2）解： （3）解：， ， ， ， ， ， ． 20．【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $