广东省汕头市潮南区2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 立足八年级上册数学核心知识，以生活情境（如平板支架、书架三角板）与逻辑推理（如重心性质证明）为载体，梯度化考查三角形、全等、多边形等知识，培养数学观察与思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|三角形内角和、全等性质、稳定性|结合生活情境（平板支架），动态问题（动点全等）| |填空题|5小题|平行线性质、多边形外角、三角形角度计算|多解问题（第13题多角度垂直），规律探究（火柴棒三角形）| |解答题|8小题|全等证明、多边形稳定性、重心性质|综合应用（第18题多边形木条规律），逻辑推理（第23题重心证明）|

2026-2027广东省汕头市潮南区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．一个三角形的三个角的比是3：4：11，这是一个（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝∠ACD，则△BDC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．下列判断正确的个数是（　　）（1）大小相同的两个三角形是全等形；（2）全等图形的面积都相等；（3）周长相等的两个等腰三角形是全等形；（4）全等三角形对应边上的中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三线合一 6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C． D． 7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 8．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 9．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠CFD的度数为（　　） A．29° B．27° C．37° D．30° 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 二．填空题（共5小题） 11．如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α＝　 　 ．（0＜α＜90） 12．正六边形每个外角的度数为． 13．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ACB＝60°，点D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，点E为直线BF上一点．若直线AE垂直于△ABC的一边，则∠AEB的度数为　 　 ． 14．如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足AD＝CE，连接CD，BE．当CD+BE最小时，∠CDB的度数为　 　 °． 15．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用30根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 三．解答题（共8小题） 16．在△ABC中，∠A∠B∠ACB，∠CDB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 17．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，BF＝DE，DE∥AB，DF∥AC．求证：D为BC的中点． 18．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动． 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少要钉木条的根数 1 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉 　 　 根木条． （2）表格中的“▲”处填 　 　 ．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是 　 　 ． 19．如图，点C在线段BE上，且BC＞CE，分别以BC，CE为边，在BE上方作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE，BD交于点F． （1）图中哪两个三角形通过旋转可以重合？ （2）求∠AFB的度数． 20．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．（1）若a ＝ 3，b ＝ 6，且c为奇数．求△ABC的周长．（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 21．如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（﹣4，6），B（6，4），连接AO、BO、AB． （1）求三角形AOB的面积． （2）求AB与y轴的交点坐标． 23．在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： （1）如图，△ABC的两条中线AD和BE交于点O．请你利用尺规作图，在BC下方作∠DCF＝∠OBD，延长AD交CF于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：AO＝2OD． 证明：∵AD，BE是△ABC的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE． 在△BOD和△CGD中， ， ∴△BOD≌△CGD（ASA）． ∴②　 　 ． ∴OG＝OD+GD＝2OD． ∵③　 　 ， ∴BE∥CG． ∴④　 　 ． 即AO＝OG． ∴AO＝2OD． 2026-2027广东省汕头市潮南区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．一个三角形的三个角的比是3：4：11，这是一个（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和为180°，结合三个角的比例关系，求出最大角的度数，进而判断三角形的类型． 【解答】设三角形三个内角分别为3x，4x，11x．因为三角形内角和为180°，所以3x+4x+11x ＝ 180°，即18x ＝ 180°，解得x ＝ 10°．则最大角为11x ＝ 110°．因为110°＞90°，所以这个三角形是钝角三角形．逐一分析选项：A选项锐角三角形错误；B选项直角三角形错误；C选项钝角三角形正确；D选项说法错误．所以答案是C． 【点评】本题关键是利用三角形内角和定理求出各角的度数，进而判断三角形类型，计算时要准确． 2．如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 【分析】根据全等三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△CDA， ∴∠BAC的对应角是∠DCA， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝∠ACD，则△BDC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠A+∠B＝90°，结合∠B＝∠ACD，可得出∠A+∠ACD＝90°，再利用三角形的外角性质，可得出△BDC是直角三角形． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝∠ACD， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB°＝90°， 又∵∠B＝∠ACD， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 4．下列判断正确的个数是（　　）（1）大小相同的两个三角形是全等形；（2）全等图形的面积都相等；（3）周长相等的两个等腰三角形是全等形；（4）全等三角形对应边上的中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．需要逐一分析每个判断，根据全等三角形的定义和性质来确定其正确性． 【解答】（1）全等形不仅大小相同，形状也必须相同，仅大小相同不一定是全等形，所以（1）错误；（2）全等图形能够完全重合，所以面积都相等，（2）正确；（3）周长相等的两个等腰三角形，边长不一定对应相等，不一定是全等形，所以（3）错误；（4）全等三角形对应边上的中线及对应角平分线分别相等，（4）正确．综上，（2）（4）正确，共2个．逐一分析选项：A选项1个错误；B选项2个正确；C选项3个错误；D选项4个错误．所以答案是B． 【点评】本题考查对全等三角形相关概念的理解，关键是准确把握全等三角形的定义和性质，注意区分不同表述的正误． 5．平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三线合一 【分析】根据三角形具有稳定性即可求解． 【解答】解：依题意，平板电脑放在上面就可以很方便地使用，这里应用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的稳定性的应用，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影等于（　　） A．2cm2 B．1cm2 C． D． 【分析】根据三角形的中线平分其面积计算即可． 【解答】解：∵点D是边BC的中点， ∴S△ABDS△ABC，S△ACDS△ABC， ∵S△BDES△ABDS△ABC，S△CDES△ACDS△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDES△ABCS△ABCS△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S阴影S△BCES△ABC4＝1（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握三角形的中线平分其面积是解题的关键． 7．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理得出即可． 【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B， 符合全等三角形的判定定理ASA， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理． 8．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（　　） A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，进而得到∠BDC＝∠CEA＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ACE＝∠DBC，再证明△BDC≌△CEA即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE， ∴∠BDC＝∠CEA＝90°， ∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°， ∴∠ACE＝∠DBC， 在△BDC和△CEA中， ， ∴△BDC≌△CEA（AAS）； 由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm． ∴DE＝DC+CE＝24cm， 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 9．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠CFD的度数为（　　） A．29° B．27° C．37° D．30° 【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACB＝∠CDF+∠CFD，则答案可解． 【解答】解：∵∠ACB是△FCD的外角， ∴∠ACB＝∠CDF+∠CFD， ∵∠CDF＝18°，∠ACB＝45°， ∴∠CFD＝∠ACB﹣∠CDF＝45°﹣18°＝27°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角性质是解题的关键． 10．如图，在长方形ABCD的中，已知AB＝6cm，BC＝10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（　　） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【分析】设点P，Q运动的时间为ts，依题意得BP＝4tcm，CQ＝atcm，则CP＝（10﹣4t）cm，∠B＝∠C＝90°再分两种情况：①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ，由BP＝CQ得4t＝at，由此解得a＝4；②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP，由BP＝CP得4t＝10﹣4t，解得t，由AB＝CQ得6＝at，将t代入可得a，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设点P，Q运动的时间为t（s）， 依题意得：BP＝4tcm，CQ＝atcm， ∵四边形ABCD是长方形，且AB＝6cm，BC＝10cm， ∴∠B＝∠C＝90℃P＝BC﹣BP＝（10﹣4t）cm， 当以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当AB＝PC，BP＝CQ时，则△ABP≌△PCQ（SAS）， 由BP＝CQ，得：4t＝at， 解得：a＝4； ②当AB＝CQ，BP＝CP时，则△ABP≌△QCP（SAS）， 由BP＝CP，得：4t＝10﹣4t， 解得：t， 由AB＝CQ，得：6＝at， 将t代入6＝at，得：a， 综上所述：a的值为4或． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 二．填空题（共5小题） 11．如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转α度，α＝　20　 ．（0＜α＜90） 【分析】先根据AB与太阳光线互相垂直，得出∠FEB＝28°，再根据平行线的性质可得当AB∥CD时，∠GFD＝∠FEB，即可得出结论． 【解答】解：∵AB与太阳光线互相垂直，如图2， ∴∠FEB＝90°﹣62°＝28°， 当AB∥CD时，∠GFD＝∠FEB＝28°， ∴需将电池板CD逆时针旋转48°﹣28°＝20°， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂线，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 12．正六边形每个外角的度数为． 【分析】本题考查多边形内角与外角．根据多边形的外角和为360°，以及正多边形的每个外角都相等来求解． 【解答】因为多边形的外角和是360°，正六边形的每个外角都相等，所以正六边形每个外角的度数为360°÷6 ＝ 60°． 【点评】本题关键是牢记多边形外角和定理，对于正多边形，用外角和除以边数即可得到每个外角的度数． 13．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ACB＝60°，点D为边BC延长线上一点，BF平分∠ABC，点E为直线BF上一点．若直线AE垂直于△ABC的一边，则∠AEB的度数为　10°或70°或110°　 ． 【分析】由∠BAC＝80°，∠ACB＝60°，求得∠ABC＝40°，则∠ABF＝∠CBF＝20°，再分三种情况讨论，一是AE⊥AC，则∠CAE＝90°，所以∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝10°，则∠AEB＝∠ABF﹣∠BAE＝10°；二是AE⊥AB，则∠BAE＝90°，则∠AEB＝90°﹣∠ABF＝70°；三是AE⊥BC，设垂足为点H，则∠AHB＝90°，求得∠BAE＝90°﹣∠ABC＝50°，所以∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝110°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣80°﹣60°＝40°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF∠ABC40°＝20°， 如图1，AE⊥AC，则∠CAE＝90°， ∵点E在射线BF的反向延长线上， ∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°， ∵∠ABF＝∠AEB+∠BAE， ∴∠AEB＝∠ABF﹣∠BAE＝20°﹣10°＝10°； 如图2，AE⊥AB，则∠BAE＝90°， ∵点E在射线BF上， ∴∠AEB+∠ABF＝90°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABF＝90°﹣20°＝70°； 如图3，AE⊥BC，设垂足为点H，则∠AHB＝90°， ∵AH交射线BF于点E， ∴∠BAE+∠ABC＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝180°﹣50°﹣20°＝110°， 综上所述，∠AEB的度数为10°或70°或110°， 故答案为：10°或70°或110°． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 14．如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足AD＝CE，连接CD，BE．当CD+BE最小时，∠CDB的度数为　67.5　 °． 【分析】过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'，利用SAS证明△ADF≌△CEB，推出当CD+BE最小时，点D的位于D‘处，再求出∠CD'B的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FAD＝∠BCE， 在△ADF和△CEB中， ， ∴△ADF≌△CEB（SAS）， ∴FD＝BE， ∴CD+BE＝CD+FD≥CF， ∴CD+BE最小时，点D位于点D'处， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴AC＝AF，∠CAF＝90°+45°＝135°， ∴∠ACD'＝∠AFD'＝（180°﹣135°）＝22.5°， ∴∠CD'B＝∠ACD'+∠CAD'＝22.5°+45°＝67.5°． 故答案为：67.5°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 15．用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用30根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 【分析】本题考查三角形三边关系．设三角形三边分别用火柴棒x根、y根、z根（x、y、z为正整数），则x+y+z ＝ 30，且x+y＞z，x﹣y＜z，据此找出满足条件的不同组合． 【解答】设三角形三边分别用火柴棒x根、y根、z根（x、y、z为正整数），则x+y+z ＝ 30，即z ＝ 30﹣x﹣y．因为x+y＞z，所以x+y＞30﹣x﹣y，即x+y＞15；又因为x﹣y＜z，即x﹣y＜30﹣x﹣y，可得x＜15．同时x、y、z为正整数．当x ＝ 14，y ＝ 14，z ＝ 2；x ＝ 14，y ＝ 13，z ＝ 3；x ＝ 14，y ＝ 12，z ＝ 4；x ＝ 14，y ＝ 11，z ＝ 5；x ＝ 14，y ＝ 10，z ＝ 6；x ＝ 14，y ＝ 9，z ＝ 7；x ＝ 14，y ＝ 8，z ＝ 8；x ＝ 13，y ＝ 13，z ＝ 4；x ＝ 13，y ＝ 12，z ＝ 5；x ＝ 13，y ＝ 11，z ＝ 6；x ＝ 13，y ＝ 10，z ＝ 7；x ＝ 13，y ＝ 9，z ＝ 8；x ＝ 12，y ＝ 12，z ＝ 6；x ＝ 12，y ＝ 11，z ＝ 7；x ＝ 12，y ＝ 10，z ＝ 8；x ＝ 12，y ＝ 9，z ＝ 9；x ＝ 11，y ＝ 11，z ＝ 8；x ＝ 11，y ＝ 10，z ＝ 9；x ＝ 10，y ＝ 10，z ＝ 10．共19种不同组合，即一共可搭19个形状不同的三角形． 【点评】本题综合考查三角形三边关系以及整数的组合问题，关键是在三边关系的基础上找出所有满足条件的整数组合，需要细心列举． 三．解答题（共8小题） 16．在△ABC中，∠A∠B∠ACB，∠CDB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 【分析】由∠A∠B∠ACB，得∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A，根据三角形内角和定理得∠A+2∠A+3∠A＝180°，求得∠A＝30°，则∠B＝60°，∠ACB＝90°，因为∠CDB＝90°，所以∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，而∠BCE∠ACB＝45°，则∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝15°． 【解答】解：∵∠A∠B∠ACB， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝2∠A＝2×30°＝60°，∠ACB＝3∠A＝3×30°＝90°， ∵点D在AB上，∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BCE∠ACB90°＝45°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， ∴∠DCE的度数是15°． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 17．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，BF＝DE，DE∥AB，DF∥AC．求证：D为BC的中点． 【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠EDC，∠C＝∠FDB，利用AAS证明△BDF≌△DCE，根据全等三角形的性质及线段的中点定义求解即可． 【解答】证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠B＝∠EDC，∠C＝∠FDB， 在△BDF和△DCE中， ， ∴△BDF≌△DCE（AAS）， ∴BD＝DC， ∴D为BC的中点． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△BDF≌△DCE是解题的关键． 18．如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动． 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少要钉木条的根数 1 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉 　9　 根木条． （2）表格中的“▲”处填 n﹣3　 ．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是 　21　 ． 【分析】（1）利用表中的信息，即可得到答案； （2）根据表中的信息，总结出一般规律，即可得到答案； （3）由（2）即可得到答案． 【解答】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … n﹣3 ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上12﹣3＝9根木条， 故答案为：9． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填n﹣3， 故答案为：n﹣3． （3）18+3＝21， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点评】本题考查三角形的稳定性，多边形，列代数式，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律． 19．如图，点C在线段BE上，且BC＞CE，分别以BC，CE为边，在BE上方作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE，BD交于点F． （1）图中哪两个三角形通过旋转可以重合？ （2）求∠AFB的度数． 【分析】（1）根据题目提供的两个等边三角形可以得到△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可； （2）易得∠CAF＝∠CBF＝∠DEF，进而可证∠AFB＝∠DEC＝60°． 【解答】解：（1）存在△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，理由如下： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE＝120°， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， 旋转中心为点C，旋转角为60°． （2）∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DEC＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠CAF＝∠DEF． 由（1）知△ACE≌△BCD， ∴∠CAF＝∠CBF． ∴∠CBF＝∠DEF． ∵∠AFB是△BEF的一个外角， ∴∠AFB＝∠CBF+∠CEF＝∠DEF+∠CEF＝∠DEC＝60°． 【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定及性质，解题的关键是弄清旋转的不变性得到不变量． 20．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．（1）若a ＝ 3，b ＝ 6，且c为奇数．求△ABC的周长．（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【分析】本题考查三角形三边关系．（1）根据三角形三边关系求出c的取值范围，再结合c为奇数确定c的值，进而求出周长；（2）根据三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值化简． 【解答】（1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．所以b﹣a＜c＜a+b，即6﹣3＜c＜3+6，3＜c＜9．因为c为奇数，所以c ＝ 5或7．当c ＝ 5时，△ABC的周长为3+6+5 ＝ 14；当c ＝ 7时，△ABC的周长为3+6+7 ＝ 16．（2）因为a﹣b+c ＝ a+c﹣b＞0，b﹣c﹣a ＝ b﹣（a+c）＜0，a+b+c＞0，所以|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|＝ a﹣b+c﹣[﹣（b﹣c﹣a）]+a+b+c ＝ a﹣b+c+b﹣c﹣a+a+b+c ＝ a+b+c． 【点评】本题考查三角形三边关系的应用以及绝对值的化简，关键是准确把握三边关系，正确判断绝对值内式子的正负． 21．如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，求证：AD＝A′D′． 【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，再由三角形中线的定义推出BD＝B′D′，则可证明△ABD≌△A′B′D′（SAS），进而证明AD＝A′D′． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，BC＝B′C′， ∵AD、A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线， ∴B′D′B′C′，BD， ∴BD＝B′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）， ∴AD＝A′D′（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（﹣4，6），B（6，4），连接AO、BO、AB． （1）求三角形AOB的面积． （2）求AB与y轴的交点坐标． 【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据点的坐标求出相关线段的长度，利用作差法求三角形面积； （2）设AB与y轴的交点为点C，利用三角形的面积求出OC长度，即可得出点的坐标． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F， ∵A（﹣4，6），B（6，4）， ∴E（﹣4，0），F（6，0）， ∴AE＝6，BF＝4，OE＝4，OF＝6，EF＝10， ∴S△AOB＝S梯形AEFB﹣S△AOE﹣S△BOF ＝26； （2）设AB与y轴的交点为点C， ∵三角形AOB的面积为26， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 23．在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： （1）如图，△ABC的两条中线AD和BE交于点O．请你利用尺规作图，在BC下方作∠DCF＝∠OBD，延长AD交CF于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：AO＝2OD． 证明：∵AD，BE是△ABC的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE． 在△BOD和△CGD中， ， ∴△BOD≌△CGD（ASA）． ∴②OD＝GD ． ∴OG＝OD+GD＝2OD． ∵③　∠OBD＝∠GCD ， ∴BE∥CG． ∴④　　 ． 即AO＝OG． ∴AO＝2OD． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与BE、BC相交于点M、N；以点C为圆心，相等长为半径画弧，与BC相交于点P；以点P为圆心，MN长为半径画弧，与前弧相交于点Q；过点C、Q作射线CF，延长AD交CF于点G，即为所求； （2）先证明△BOD≌△CGD（ASA），得到OD＝GD，从而证明OG＝2OD，证明BE∥CG，从而得到，即可得解． 【解答】（1）解：如图所示延长AD交CF于点G，即为所求； （2）证明：∵AD，BE是△ABC的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE． 在△BOD和△CGD中， ， ∴△BOD≌△CGD（ASA）， ∴OD＝GD， ∴OG＝OD+GD＝2OD． ∵∠OBD＝∠GCD， ∴BE∥CG， ∴， 即AO＝OG， ∴AO＝2OD． 故答案为：①∠BDO＝∠CDG；②OD＝GD；③∠OBD＝∠GCD；． 【点评】本题考查了基本作图、三角形重心性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 9:59:41；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $