1.4 线段垂直平分线与角平分线 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学苏科版八年级上册第1章1.4课时同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过知识梳理-例题精讲-分层练习路径，强化垂直平分线与角平分线的性质应用，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|7个知识点的定义、性质及判定|选择填空直接考查概念，如垂直平分线性质求线段长、角平分线性质求距离| |B组能力提升|性质与判定综合应用，如面积法、垂直平分线判定|解答题整合知识，如用HL证全等推导角平分线，结合等腰三角形求角度| |C组拓展探究|最短路径模型、实际选址问题|探究题创设情境，如“将军饮马”求最短距离，培养创新意识与空间观念|

第1章 三角形 1.4 线段垂直平分线与角平分线 · 课时作业 苏科版八年级上册 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 线段的垂直平分线及其性质 1．定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2．性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 如图1，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上，则 PA=PB。 图1 线段垂直平分线的性质 几何语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，∴ PA=PB。 3．判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵ PA=PB，∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 4．集合观点：线段的垂直平分线可以看成是与线段两个端点距离相等的所有点组成的图形。 用法提示：①见到“垂直平分线”，立刻把它翻译成“到两端点距离相等”，用来转移线段，常用于求周长；②要证明某条直线是某条线段的垂直平分线，只需证明这条直线上有两个点到该线段两端点的距离相等（两点确定一条直线）。 知识点2 尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。求作：线段 AB 的垂直平分线。 图2 作线段的垂直平分线 作法：①分别以点 A、点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于点 M、N； ②画直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线，MN 与 AB 的交点 O 就是 AB 的中点。 作图原理：由作法知 MA=MB，NA=NB，所以点 M、N 都在 AB 的垂直平分线上， 从而直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。 注意：半径必须大于 AB，否则两弧不会相交；作图痕迹（弧线）不能擦去。 知识点3 三角形三边的垂直平分线 1．定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 如图3，点 O 是△ABC 三边垂直平分线的交点，则 OA=OB=OC。 图3 三角形三边垂直平分线的交点 2．交点的位置：锐角三角形在三角形内部；直角三角形恰好是斜边的中点；钝角三角形在三角形外部。 知识点4 角平分线及其性质 1．性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 如图4，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，则 PD=PE。 图4 角平分线的性质 几何语言：∵ OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE。 2．判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵ 点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD=PE，∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上。 3．集合观点：角的平分线可以看成是角的内部到角两边距离相等的所有点组成的图形。 两个易错点：①“距离”指的是点到直线的距离，也就是垂线段的长，因此必须先有两条垂直关系；②判定定理中“在角的内部”这个前提不能丢，否则命题不成立。 知识点5 尺规作图：作角的平分线 已知：∠AOB。求作：∠AOB 的平分线。 图5 作角的平分线 作法：①以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 D、E； ②分别以点 D、E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 F； ③画射线 OF，则射线 OF（即 OC）就是∠AOB 的平分线。 作图原理：由作法知 OD=OE，FD=FE，又 OF=OF，所以△ODF≌△OEF（SSS）， 从而∠DOF=∠EOF，即 OF 平分∠AOB。 知识点6 三角形三条角平分线 定理：三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。 如图6，点 P 是△ABC 三条角平分线的交点，则点 P 到 AB、BC、AC 的距离都相等。 图6 三角形三条角平分线的交点 说明：三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部。 知识点7 两条重要的解题工具 1．面积法：若 AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，则 DE=DF，于是 S△ABC=S△ABD+S△ACD=×AB×DE+×AC×DF=×(AB+AC)×DE。 2．最短路径（“将军饮马”）：如图7，直线 l 同侧有两点 A、B，在 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 作法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求。 理由：直线 l 是 AA′ 的垂直平分线，所以 PA=PA′，故 PA+PB=PA′+PB=A′B，而两点之间线段最短。 图8 角平分线与面积法 图7 最短路径模型 二、典型例题精讲 【例1】（垂直平分线转移线段求周长） 如图9，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD。 若 AC=5 cm，BC=8 cm，求△ADC 的周长。 图9 【解】∵ DE 是 AB 的垂直平分线，点 D 在 DE 上， ∴ DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴ △ADC 的周长 = AC+AD+DC = AC+DB+DC = AC+BC = 5+8 = 13（cm）。 【点评】本题的关键是用 DA=DB 把 AD 换成 DB，从而把 AD+DC 拼成整条 BC。 【例2】（垂直平分线求角） 在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD。求∠DBC 的度数。 【解】∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠ACB==70°。 ∵ 点 D 在 AB 的垂直平分线上，∴ DA=DB。 ∴ ∠ABD=∠A=40°（等边对等角）。 ∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。 【例3】（角平分线性质 + 面积法） 如图8，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。已知 AB=12 cm，AC=8 cm，S△ABC=40 cm2。 求 DE 的长。 【解】∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD =×AB×DE+×AC×DF =×(AB+AC)×DE， ∴ 40=×(12+8)×DE=10DE， ∴ DE=4（cm）。 【例4】（角平分线的判定） 如图4，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD=PE。 求证：OP 平分∠AOB。 【证明】∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP=∠OEP=90°， 即△ODP 与△OEP 都是直角三角形。 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中， OP=OP（公共斜边）， PD=PE（已知）， ∴ Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）。 ∴ ∠DOP=∠EOP（全等三角形的对应角相等），即 OP 平分∠AOB。 【例5】（垂直平分线的判定：证明一条直线是中垂线） 如图8，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。求证：直线 AD 垂直平分线段 EF。 【证明】∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF（角平分线的性质）。 ∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， AD=AD（公共斜边）， DE=DF（已证）， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴ AE=AF。 ∴ 点 A 也在线段 EF 的垂直平分线上。 ∵ 两点确定一条直线，∴ 直线 AD 就是线段 EF 的垂直平分线， 即 AD 垂直平分 EF。 【点评】证明“某直线是某线段的垂直平分线”的通用套路：在这条直线上找出两个点，分别证明它们到线段两端的距离相等。 【例6】（选址问题） 如图10，公路 OA 与 OB 相交于点 O，M、N 是两个村庄。现要修建一个物资中转站 P，使它到两条公路 OA、OB 的距离相等，同时到 M、N 两村的距离也相等。请说明如何确定点 P 的位置。 图10 【解】(1) 由角平分线的判定可知：到 OA、OB 距离相等的点在∠AOB 的平分线上， 所以先作出∠AOB 的平分线； (2) 由垂直平分线的判定可知：到 M、N 距离相等的点在线段 MN 的垂直平分线上， 所以再作出线段 MN 的垂直平分线； (3) 上述两条线的交点即为所求的点 P。 【例7】（最短路径） 如图7，直线 l 表示一条小河，A、B 是河同侧的两个村庄。现要在河边修建一个抽水站 P，使它到 A、B 两村的水管总长最短。请作出点 P，并说明理由。 【解】作法：①作点 A 关于直线 l 的对称点 A′；②连接 A′B，交直线 l 于点 P。点 P 即为所求。 理由：∵ 点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，∴ 直线 l 是 AA′ 的垂直平分线。 ∴ 对 l 上任意一点 Q，都有 QA=QA′，特别地 PA=PA′。 ∴ PA+PB=PA′+PB=A′B。 而对 l 上其他任意一点 Q，QA+QB=QA′+QB>A′B（两点之间线段最短）。 ∴ 点 P 使 PA+PB 最小。 三、课时作业 A组 基础巩固 （一）选择题（每小题3分，共24分） 1．如图1，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上。若 PA=5 cm，则 PB 的长为（ ） A．2.5 cm B．5 cm C．10 cm D．无法确定 2．到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．如图4，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。若 PD=4，则 PE 等于（ ） A．2 B．4 C．8 D．无法确定 4．如图9，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D。若 AC=6，BC=9，则△ADC 的周长为（ ） A．12 B．15 C．18 D．21 5．下列命题中，是假命题的是（ ） A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 6．三角形三条角平分线的交点（ ） A．一定在三角形的内部 B．一定在三角形的外部 C．一定在三角形的边上 D．位置不能确定 7．如图7，直线 l 同侧有两点 A、B。要在 l 上找一点 P，使 PA+PB 最小，正确的作法是（ ） A．连接 AB，交 l 于点 P B．作点 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P C．过点 A 作 l 的垂线，垂足即为点 P D．取 AB 的中点，过中点作 l 的垂线，垂足即为点 P 8．如图8，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。若 AB=10，AC=6，S△ABC=32，则 DE 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 （二）填空题（每小题3分，共24分） 9．如图1，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。若 PA=7 cm，则 PB=________cm。 10．在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD，则∠DBC=________。 11．如图4，OC 平分∠AOB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。若 PD=3 cm，则 PE=________cm；若 OD=4 cm，则 OE=________cm。 12．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个________的距离相等；三角形三条角平分线的交点到三角形三________的距离相等。 13．如图9，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D。若 AC=5，BC=9，则△ADC 的周长是________。 14．如图8，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，则 AE________AF（填“>”“<”或“=”）。 15．直角三角形三边垂直平分线的交点在________。 16．已知点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到 OA、OB 的距离相等，则点 P 一定在________上。 B组 能力提升 17．（8分）如图9，在△ABC 中，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD。 (1) 若 AC=5 cm，BC=8 cm，求△ADC 的周长； (2) 若∠B=35°，求∠BAD 的度数。 18．（10分）如图8，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。已知 AB=12 cm，AC=8 cm，S△ABC=40 cm2。 (1) 求 DE 的长； (2) 求证：AD 垂直平分 EF。 19．（8分）如图4，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD=PE。 求证：OP 平分∠AOB。 20．（10分）如图3，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA、OB、OC。 (1) 求证：OA=OB=OC； (2) 说明点 O 也一定在 BC 的垂直平分线上。 21．（10分）在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD。 (1) 求∠DBC 的度数； (2) 若 BC=4，求 AD 的长。 22．（8分）如图10，公路 OA、OB 相交于点 O，M、N 是两个村庄。要修建一个中转站 P，使它到两条公路的距离相等，且到 M、N 两村的距离也相等。 请写出确定点 P 位置的方法，并说明理由。 C组 拓展探究 23．（12分）如图7，直线 l 表示一条小河，A、B 是河同侧的两个村庄。现要在河边修建抽水站 P，使 PA+PB 最小。 (1) 请写出作点 P 的方法（不必尺规作图，写出作法即可）； (2) 说明你的作法能使 PA+PB 最小的理由。 24．（12分）如图11，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。 (1) 求证：CD=DE； (2) 若 AC=6，BC=8，AB=10，求 DE 的长。 图11 四、参考答案与解析 A组 选择题 1．B 【解析】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 PB=PA=5 cm。 2．C 【解析】三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；三条角平分线的交点到三边的距离相等，二者不要混淆。 3．B 【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等，故 PE=PD=4。 4．B 【解析】由 DA=DB 得 △ADC 的周长 = AC+AD+DC = AC+DB+DC = AC+BC = 6+9 = 15。 5．D 【解析】判定定理必须加上“在角的内部”这一前提。若点在角的外部，到两边所在直线距离相等，却不在角平分线上，故D是假命题。 6．A 【解析】角平分线都在三角形内部，故三条角平分线的交点（内心）一定在三角形内部。 7．B 【解析】A、B 在 l 同侧，线段 AB 与 l 不相交；应先作对称点把“同侧”化为“异侧”，再利用两点之间线段最短。 8．B 【解析】由角平分线性质得 DE=DF，则 S△ABC=×(AB+AC)×DE=×(10+6)×DE=8DE=32，所以 DE=4。 A组 填空题 9．7 10．30° 【解析】∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠ACB==70°。 ∵ D 在 AB 的垂直平分线上，∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=40°。 ∴ ∠DBC=70°-40°=30°。 11．3；4 【解析】PE=PD=3 cm。又 Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），所以 OE=OD=4 cm。 12．顶点；边 13．14 【解析】△ADC 的周长 = AC+BC = 5+9 = 14。 14．= 【解析】由 Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）得 AE=AF。 15．斜边的中点 16．∠AOB 的平分线 【解析】这正是角平分线的判定定理（注意点在角的内部）。 B组 解答题 17． 解：(1) ∵ DE 是 AB 的垂直平分线，点 D 在 DE 上，∴ DA=DB。 ∴ △ADC 的周长 = AC+AD+DC = AC+DB+DC = AC+BC = 5+8 = 13（cm）。 (2) ∵ DA=DB，∴ ∠BAD=∠B=35°（等边对等角）。 18． 解：(1) ∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF。 ∵ S△ABC=S△ABD+S△ACD=×AB×DE+×AC×DF=×(AB+AC)×DE， ∴ 40=×(12+8)×DE，即 10DE=40，DE=4（cm）。 (2) 证明：由(1)知 DE=DF，∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，AD=AD（公共斜边），DE=DF， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴ AE=AF， ∴ 点 A 也在线段 EF 的垂直平分线上。 ∵ 两点确定一条直线，∴ 直线 AD 垂直平分线段 EF。 19． 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP=∠OEP=90°。 在 Rt△ODP 和 Rt△OEP 中， OP=OP（公共斜边）， PD=PE（已知）， ∴ Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）。 ∴ ∠DOP=∠EOP，即 OP 平分∠AOB。 （也可直接引用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一判定定理。） 20． 解：(1) ∵ 点 O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB； ∵ 点 O 在 AC 的垂直平分线上，∴ OA=OC。 ∴ OA=OB=OC。 (2) 由(1)得 OB=OC，即点 O 到线段 BC 两个端点的距离相等， 由垂直平分线的判定定理知，点 O 在 BC 的垂直平分线上。 因此三角形三边的垂直平分线交于同一点。 21． 解：(1) ∵ AB=AC，∠A=36°， ∴ ∠ABC=∠ACB==72°。 ∵ 点 D 在 AB 的垂直平分线上，∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°。 ∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°。 (2) 在△BDC 中，∠DBC=36°，∠C=72°， ∴ ∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C， ∴ BD=BC=4（等角对等边）。 又 DA=DB，∴ AD=BD=4。 22． 解：方法：先作∠AOB 的平分线，再作线段 MN 的垂直平分线，两线的交点即为点 P。 理由：由角平分线的判定定理，∠AOB 平分线上的点到 OA、OB 的距离相等； 由垂直平分线的判定定理，MN 的垂直平分线上的点到 M、N 的距离相等。 因此两线的交点同时满足两个要求。 C组 拓展探究 23． 解：(1) 作法：①作点 A 关于直线 l 的对称点 A′；②连接 A′B，交直线 l 于点 P。 点 P 就是所要修建抽水站的位置。 (2) 理由：∵ 点 A 与 A′ 关于直线 l 对称，∴ 直线 l 是线段 AA′ 的垂直平分线。 ∴ 对 l 上任意一点 Q 都有 QA=QA′，特别地 PA=PA′。 ∴ PA+PB=PA′+PB=A′B。 在 l 上另取一点 Q（Q 与 P 不重合），连接 QA′、QB，则 QA+QB=QA′+QB>A′B（三角形任意两边之和大于第三边）。 ∴ PA+PB 最小，点 P 即为所求。 24． 解：(1) 证明：∵ ∠C=90°，∴ DC⊥AC。 又 DE⊥AB，且 AD 平分∠BAC， ∴ CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 (2) 由(1)知 CD=DE。 ∵ S△ABC=×AC×BC=×6×8=24， 又 S△ABC=S△ACD+S△ABD=×AC×CD+×AB×DE =×6×DE+×10×DE=3DE+5DE=8DE， ∴ 8DE=24，DE=3。 本节小结：垂直平分线与角平分线是“对称”的两条主线——前者管“到两点距离相等”，后者管“到两边距离相等”；每条主线都有一条性质定理、一条判定定理和一个尺规作图。解题时，见垂直平分线就转移线段，见角平分线就作两条垂线段（或用面积法）。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $