1.4线段垂直平分线与角平分线（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 练习围绕线段垂直平分线与角平分线，通过“概念辨析-性质应用-综合拓展”分层设计，梯度覆盖单一知识点到综合应用，强化推理能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|线段垂直平分线、角平分线概念辨析|选择辨析题（如性质正误判断），强化性质与逆定理的理解| |技能应用|性质求角度、线段长及简单证明|结合图形的计算（如垂直平分线求角度）与证明题（如角平分线逆定理证明），提升推理能力| |综合拓展|作图与多性质综合应用|实际情境作图（如救助站位置确定）及综合题（如垂直平分线与角平分线性质结合），发展空间观念与模型意识|

1.4线段垂直平分线与角平分线 题型一 线段垂直平分线、角平分线的有关辨析 1．【答案】B 题型二 根据线段垂直平分线的性质定理求角度 1．【答案】B 2．【答案】49° 题型三 根据线段垂直平分线的性质定理求线段长 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 题型四 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行证明 1． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 题型五 根据角平分线的性质定理求线段长 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】8 4．【答案】12 题型六 根据角平分线的性质定理的逆定理进行证明 1． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：如图，作PH⊥AB于H，PQ⊥AC于Q，PM⊥BC于M， ∵AD平分∠BAC，PH⊥AB，PQ⊥AC， ∴PH＝PQ， 同理可得：PH＝PM， ∴PM＝PQ， ∵PM⊥CB，PQ⊥CA， ∴CP平分∠ACB，即点P在∠ACB的角平分线上． 2． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 题型七 三角形的线段垂直平分线、角平分线的性质 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 题型八 线段垂直平分线、角平分线的应用-作图 1． 【答案】作图详见解析． 【详解】解：如图，点P为所求， 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置． 2． 【答案】作图详见解析． 【详解】解：由题意可知：点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求作的点． 题型一 线段垂直平分线的性质——解答题 1． 【答案】（1）5；（2）100°． 【详解】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝DB，， ∵EC＝4， ∴BC＝8， 又∵△BDC的周长为18， ∴DB+DC+BC＝18， ∴2DB+8＝18， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDE＝60°， ∵MN垂直平分BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠C＝30°， ∵DC＝DB， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝20°+30°＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 2． 【答案】（1）BC＝8cm；OA＝6cm；（2）∠DAE＝60°． 【详解】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm； ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝20cm， ∴OA＝OB＝OC＝6cm； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°． 3． 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）点O在边BC的垂直平分线上，理由详见解析；（Ⅲ）15． 【详解】解：（Ⅰ）∵l1垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵l2垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为20， ∴AD+DE+AE＝20， ∴BD+DE+EC＝20，即BC＝20； （Ⅱ）点O在边BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接OA，OB，OC， ∵l1垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵l2垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在边BC的垂直平分线上； （Ⅲ）∵∠BAC＝115°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝65°， ∵DB＝DA，EA＝EC， ∴∠ABC＝∠BAD，∠ACB＝∠EAC， ∴∠BAD+∠EAC＝65°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝50°， ∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°， ∴∠DOE﹣∠DAE＝15°， 故答案为：15． 题型二 角平分线的性质——解答题 1． 【答案】（1）125°；（2）18． 【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠DBC+∠DCB110°＝55°， ∴∠BDC＝180°﹣55°＝125°； （2）如图，过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝9， ∴S△BCDBC×DF9×4＝18． 2． 【答案】（1）AP平分∠BAC，理由详见解析；（2）12． 【详解】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC； （2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PM＝PQ＝4， ∴S△APCAC•PM6×4＝12． 3． 【答案】（1）50°；（2）证明详见解析；（3）． 【详解】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∵∠AEF＝40°， ∴∠EAF＝50°， ∴∠BAE＝180°﹣50°＝130°， ∵∠BAD＝80°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝130°﹣80°＝50°； （2）证明：如图，过点E作EN⊥AD于N，EM⊥CD于M， ∵∠EAF＝∠EAD＝50°， ∴AE平分∠DAF， ∵EF⊥AB， ∴EF＝EN， ∵BE平分∠ABC， ∴EF＝EM， ∴EN＝EM， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD， ∴6， ∵EN＝EM， ∴（AD+CD）•EM＝6， ∵AD＝3，CD＝6， ∴（3+6）•EM＝6， ∴EM， ∴EF， ∴S△ABE． 题型三 垂直平分线与角平分线的性质综合 1．【答案】A 题型一 与角平分线的性质有关的综合题 1．【答案】D 2．【答案】m+n 3． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析． 【详解】证明：（1）如图1，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F， ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）如图2，在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH， ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）7.5． 【详解】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BFE＝45°， ∴∠FBA+∠BAF＝45°， ∴2∠FBA+2∠BAF＝90°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°， ∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA， ∴∠EBF＝∠FBA， ∴BF平分∠ABE； （2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N， ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB， ∴FM＝FN， ∵S△ABF＝S△CBF， 即AB•FNBC•FM， ∴AB＝BC， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠AFB＝∠CFB， ∵∠BFE＝45° ∴∠AFB＝135°， ∴∠CFB＝135°， ∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°， ∴∠AFC＝90°； （3）解：∵△ABF≌△CBF， ∴AF＝FC， ∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD， ∴∠FAG＝∠FCE， 在△AFG和△CFE中， ， ∴△AFG≌△CFE（ASA）， ∴AG＝EC＝4.5， ∵BE＝3， ∴BC＝BE+EC＝7.5， ∵△ABF≌△CBF， ∴AB＝BC＝7.5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段垂直平分线与角平分线 题型一 线段垂直平分线、角平分线的有关辨析 1．（2025·南京·校级月考）下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【详解】解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不合题意； B．到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，故B不合题意． 故选：B． 题型二 根据线段垂直平分线的性质定理求角度 1．（2025·新沂市·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【详解】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°． 故选：B． 2．（2026·淮安·期末）如图，在△ABC中，F是边AB、AC的垂直平分线的交点，连接BF、CF，若∠BFC＝98°，则∠A＝　　． 【答案】49° 【详解】解：如图，连接AF， ∵∠BFC＝98°， ∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝82°， ∵F是边AB、AC的垂直平分线的交点， ∴BF＝AF，CF＝AF， ∴∠FAB＝∠FBA，∠FAC＝∠FCA， ∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA+∠FBC+∠FCB＝180°， ∴2∠FAC+2∠FAB＝98°， ∴∠FAC+∠FAB＝49°， ∴∠BAC＝49°． 故答案为：49°． 题型三 根据线段垂直平分线的性质定理求线段长 1．（2026·玄武区·校级期中）如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝16，则PB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PC＝PB， ∴PA＝PC， ∵PA+PC＝16， ∴PA＝8， ∴PB＝8． 故选：B． 2．（2025·句容市·校级月考）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【详解】解：由作图可知：AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E， ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16． 故选：D． 3．（2026•连云港•模拟）如图，在锐角△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．9 B．10 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝7+2＝9，即△AEG的周长为9． 故选：A． 4．（2025·洪泽区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】C 【详解】解：如图，连接DC， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14． 故选：C． 题型四 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行证明 1．（2025·宿迁·校级月考）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， ∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上， ∴OE垂直平分BD． 题型五 根据角平分线的性质定理求线段长 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【详解】解：如图，过P点作PE⊥OB于E点， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 2．（2025·扬州·期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得：AB，解得：AB＝7． 故选：B． 3．（2025·天宁区·校级期中）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是　　． 【答案】8 【详解】解：∵CD＝4，△CDE周长为12， ∴CD+CE+DE＝12， ∴CE+DE＝12﹣CD＝8， ∵BE是△ABC的角平分线，∠A＝90°，ED⊥BC于点D， ∴AE＝DE， ∴CE+AE＝CE+DE＝8， ∴AC＝CE+AE＝8． 故答案为：8． 4．（2025·如皋市·校级期末）如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE，∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F，连接CF．若AC＝8，CE＝6，S△ACF＝16，则S△FCE＝　　． 【答案】12 【详解】解：如图，过F作FM⊥AC交AC的延长线于M，作FN⊥AB交AB的延长线于N，作FH⊥CE于H， ∵AF平分∠BAC，EF平分∠BEC， ∴FN＝FM，FN＝FH， ∴FH＝FM， ∵AC＝8，S△ACF＝16， ∴△ACF的面积AC•FM8×FM＝16， ∴FM＝4， ∴FH＝4， ∴S△FCECE•FH6×4＝12． 故答案为：12． 题型六 根据角平分线的性质定理的逆定理进行证明 1．（2025·云龙区·校级月考）如图所示，已知△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，求证：点P在∠ACB的角平分线上． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：如图，作PH⊥AB于H，PQ⊥AC于Q，PM⊥BC于M， ∵AD平分∠BAC，PH⊥AB，PQ⊥AC， ∴PH＝PQ， 同理可得：PH＝PM， ∴PM＝PQ， ∵PM⊥CB，PQ⊥CA， ∴CP平分∠ACB，即点P在∠ACB的角平分线上． 2．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 题型七 三角形的线段垂直平分线、角平分线的性质 1．（2025·苏州·月考）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等， ∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 2．（2025·平山县·期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 3．（2025·宿迁·期末）如图，△ABC内部有一点P，若点P到边AB、AC的距离相等，且PA＝PC，则点P是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC的垂直平分线的交点 【答案】A 【详解】解：如图， ∵点P到边AB、AC的距离相等，即PM⊥AB，PN⊥AC，且PM＝PN， ∴根据角平分线的性质可知，AP是∠BAC的角平分线， ∵PA＝PC， ∴点P在边AC的垂直平分线上， ∴点P是∠BAC的角平分线与AC的垂直平分线的交点， 综上，只有选项A正确，符合题意． 故选：A． 题型八 线段垂直平分线、角平分线的应用-作图 1．（2025·苏州·月考）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图详见解析． 【详解】解：如图，点P为所求， 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置． 2．（2025·惠山区·校级月考）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道OM，ON之间（即∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站P，使其到景观道OM，ON的距离相等，同时到A，B两个休息亭的距离也相等，试确定救助站P的位置． 【答案】作图详见解析． 【详解】解：由题意可知：点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求作的点． 题型一 线段垂直平分线的性质——解答题 1．（2026·铜山区·期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【答案】（1）5；（2）100°． 【详解】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝DB，， ∵EC＝4， ∴BC＝8， 又∵△BDC的周长为18， ∴DB+DC+BC＝18， ∴2DB+8＝18， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDE＝60°， ∵MN垂直平分BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠C＝30°， ∵DC＝DB， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∵∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝20°+30°＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 2．（2026·灌云县·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．求线段BC、OA的长； （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）BC＝8cm；OA＝6cm；（2）∠DAE＝60°． 【详解】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝8cm； ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝20cm， ∴OA＝OB＝OC＝6cm； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°． 3．（2025·灌南县·月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为20． （Ⅰ）求BC的长； （Ⅱ）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由； （Ⅲ）若∠BAC＝115°，则∠DOE﹣∠DAE＝　　°． 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）点O在边BC的垂直平分线上，理由详见解析；（Ⅲ）15． 【详解】解：（Ⅰ）∵l1垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵l2垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为20， ∴AD+DE+AE＝20， ∴BD+DE+EC＝20，即BC＝20； （Ⅱ）点O在边BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接OA，OB，OC， ∵l1垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵l2垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在边BC的垂直平分线上； （Ⅲ）∵∠BAC＝115°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝65°， ∵DB＝DA，EA＝EC， ∴∠ABC＝∠BAD，∠ACB＝∠EAC， ∴∠BAD+∠EAC＝65°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝50°， ∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°， ∴∠DOE﹣∠DAE＝15°， 故答案为：15． 题型二 角平分线的性质——解答题 1．（2025·工业园区·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 【答案】（1）125°；（2）18． 【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠DBC+∠DCB110°＝55°， ∴∠BDC＝180°﹣55°＝125°； （2）如图，过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝9， ∴S△BCDBC×DF9×4＝18． 2．（2025·宿城区·校级月考）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 【答案】（1）AP平分∠BAC，理由详见解析；（2）12． 【详解】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC； （2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PM＝PQ＝4， ∴S△APCAC•PM6×4＝12． 3．（2025·新吴区·期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝80°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝40°，连接DE． （1）求∠EAD的度数； （2）证明：DE平分∠ADC； （3）若AB＝5，AD＝3，CD＝6，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为　　． 【答案】（1）50°；（2）证明详见解析；（3）． 【详解】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∵∠AEF＝40°， ∴∠EAF＝50°， ∴∠BAE＝180°﹣50°＝130°， ∵∠BAD＝80°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝130°﹣80°＝50°； （2）证明：如图，过点E作EN⊥AD于N，EM⊥CD于M， ∵∠EAF＝∠EAD＝50°， ∴AE平分∠DAF， ∵EF⊥AB， ∴EF＝EN， ∵BE平分∠ABC， ∴EF＝EM， ∴EN＝EM， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD， ∴6， ∵EN＝EM， ∴（AD+CD）•EM＝6， ∵AD＝3，CD＝6， ∴（3+6）•EM＝6， ∴EM， ∴EF， ∴S△ABE． 题型三 垂直平分线与角平分线的性质综合 1．（2025·南京·期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O．若∠OBC＝α，则∠BAC的度数为（　　） A．2α B．90﹣α C． D．180﹣2α 【答案】A 【详解】解：如图，作OF⊥AB于点F，OE⊥AC交AC的延长线于点E，则∠AFO＝∠BFO＝∠E＝90°， ∵BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O， ∴OB＝OC，OF＝OE， 在Rt△OFB和Rt△OEC中， ， ∴Rt△OFB≌Rt△OEC（HL）， ∴∠BOF＝∠COE， ∵∠OBC＝∠OCB＝α， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣2α， ∴∠FOE＝∠AOF+AOC+∠COE＝∠AOF+AOC+∠BOF＝∠BOC＝180°﹣2α， ∵∠BAC+∠AFO+∠FOE+∠E＝360°， ∴∠BAC+90°+180°﹣2α+90°＝360°， ∴∠BAC＝2α． 故选：A． 题型一 与角平分线的性质有关的综合题 1．（2025·锡山区·校级月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①如图，过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理可得：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，故③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确． 故选：D． 2．（2025·秦淮区·校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD、BE相交于I，AI＝3ID，AE＝m，BD＝n，则AB＝　　．（用含m、n的式子表示） 【答案】m+n 【详解】解：如图，在线段AB上截取AM＝AE，BN＝BD，连接IM，IN，作MH⊥AI于H，MJ⊥IN于J． ∵EA＝MA，∠IAE＝∠IAM，AI＝AI， ∴△AEI≌△AMI（SAS）， ∴∠AIE＝∠AIM，IE＝IM， 同法可证：∠DIB＝∠BIN，ID＝IN， ∵∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝45°， ∴∠AIM＝∠MIN＝∠DIB＝∠BIN＝45°， ∵MH⊥IA，MJ⊥IN， ∴MH＝MJ， ∴3， ∴MNAMm， ∴AB＝AM+MN+BN＝mm+nm+n． 故答案为：m+n． 3．（2025·大丰区·校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析． 【详解】证明：（1）如图1，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F， ∵△ADC的面积为14，AD＝7， ∴AD•CF＝14， ∴CF4， ∵CE＝4， ∴CF＝CE＝4， 又∵CE⊥AB，垂足为E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，点C在∠BAD的内部， ∴点C在∠BAD的平分线上， ∴AC是∠BAD的平分线； （2）如图2，在AB上截取AH＝AD＝7，连接CH， ∵AB＝13， ∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣AD＝13﹣7＝6， ∵AB﹣AD＝2BE， ∴2BE＝6， ∴BE＝3， ∴EH＝BH﹣BE＝6﹣3＝3， ∴EH＝BH＝3， ∵CE⊥AB，垂足为E， ∴CE是线段BH的垂直平分线， ∴HC＝BC， 由（1）可知：AC是∠BAD的平分线， ∴∠HAC＝∠DAC， 在△HAC和△DAC中， ， ∴△HAC≌△DAC（SAS）， ∴HC＝CD， ∴CD＝BC． 4．（2026·泰州·校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）7.5． 【详解】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BFE＝45°， ∴∠FBA+∠BAF＝45°， ∴2∠FBA+2∠BAF＝90°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°， ∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA， ∴∠EBF＝∠FBA， ∴BF平分∠ABE； （2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N， ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB， ∴FM＝FN， ∵S△ABF＝S△CBF， 即AB•FNBC•FM， ∴AB＝BC， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠AFB＝∠CFB， ∵∠BFE＝45° ∴∠AFB＝135°， ∴∠CFB＝135°， ∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°， ∴∠AFC＝90°； （3）解：∵△ABF≌△CBF， ∴AF＝FC， ∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD， ∴∠FAG＝∠FCE， 在△AFG和△CFE中， ， ∴△AFG≌△CFE（ASA）， ∴AG＝EC＝4.5， ∵BE＝3， ∴BC＝BE+EC＝7.5， ∵△ABF≌△CBF， ∴AB＝BC＝7.5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段垂直平分线与角平分线 题型一 线段垂直平分线、角平分线的有关辨析 1．（2025·南京·校级月考）下列说法错误的是（　　） A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 题型二 根据线段垂直平分线的性质定理求角度 1．（2025·新沂市·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．（2026·淮安·期末）如图，在△ABC中，F是边AB、AC的垂直平分线的交点，连接BF、CF，若∠BFC＝98°，则∠A＝　　． 题型三 根据线段垂直平分线的性质定理求线段长 1．（2026·玄武区·校级期中）如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PC＝16，则PB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·句容市·校级月考）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 3．（2026•连云港•模拟）如图，在锐角△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．9 B．10 C．7 D．8 4．（2025·洪泽区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 题型四 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理进行证明 1．（2025·宿迁·校级月考）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD． 题型五 根据角平分线的性质定理求线段长 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2025·扬州·期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2025·天宁区·校级期中）如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是　　． 4．（2025·如皋市·校级期末）如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE，∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F，连接CF．若AC＝8，CE＝6，S△ACF＝16，则S△FCE＝　　． 题型六 根据角平分线的性质定理的逆定理进行证明 1．（2025·云龙区·校级月考）如图所示，已知△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，求证：点P在∠ACB的角平分线上． 2．（2025·姑苏区·校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 题型七 三角形的线段垂直平分线、角平分线的性质 1．（2025·苏州·月考）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点 C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 2．（2025·平山县·期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．（2025·宿迁·期末）如图，△ABC内部有一点P，若点P到边AB、AC的距离相等，且PA＝PC，则点P是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC的垂直平分线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC的垂直平分线的交点 题型八 线段垂直平分线、角平分线的应用-作图 1．（2025·苏州·月考）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（2025·惠山区·校级月考）某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道OM，ON之间（即∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站P，使其到景观道OM，ON的距离相等，同时到A，B两个休息亭的距离也相等，试确定救助站P的位置． 题型一 线段垂直平分线的性质——解答题 1．（2026·铜山区·期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN分别交边AC于点D，边BC于点E，连接BD． （1）如图，CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 2．（2026·灌云县·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．求线段BC、OA的长； （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 3．（2025·灌南县·月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为20． （Ⅰ）求BC的长； （Ⅱ）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由； （Ⅲ）若∠BAC＝115°，则∠DOE﹣∠DAE＝　　°． 题型二 角平分线的性质——解答题 1．（2025·工业园区·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠A＝70°，∠ABC＝60°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 2．（2025·宿城区·校级月考）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 3．（2025·新吴区·期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝80°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝40°，连接DE． （1）求∠EAD的度数； （2）证明：DE平分∠ADC； （3）若AB＝5，AD＝3，CD＝6，且S△ACD＝6，则△ABE的面积为　　． 题型三 垂直平分线与角平分线的性质综合 1．（2025·南京·期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于点O．若∠OBC＝α，则∠BAC的度数为（　　） A．2α B．90﹣α C． D．180﹣2α 题型一 与角平分线的性质有关的综合题 1．（2025·锡山区·校级月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·秦淮区·校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD、BE相交于I，AI＝3ID，AE＝m，BD＝n，则AB＝　　．（用含m、n的式子表示） 3．（2025·大丰区·校级月考）如图，点D是△ABC外一点，连接AD，CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E．AD＝7，CE＝4，AB＝13，△ADC的面积为14． （1）求证：AC是∠BAD的平分线． （2）若AB﹣AD＝2BE，求证：CD＝BC． 4．（2026·泰州·校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $