1.3 中心对称和中心对称图形-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

7.C8.A9.120 ∠FAE=∠BCE, 10.(1)证明：，AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, .△AEF≌△CEB(角边角)..EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.（2)解：.四边 形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°..CF⊥ BD.:BC=CD,.BD=2BF=4.∴.AD=√AB2+BD=5. 11.解：(1)一理由如下：：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.,OP=OQ, ∴.四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.D3.√13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求。 图① 图② 5.D6.B7.解：都是中心对称图形，其对称中心分别是点A,B,C,D,如图所示. 8.C9.C10.12 11.解：(1)如图所示.(2)四边形BCBC是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,∴四边形BCB'C是平行四边形. R A' B 12.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3..5-3< AE<5+3,即2<AE<8.,DE=AD,.2<2AD<8..1<AD<4. 13.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图②@ 1.4三角形的中位线定理 1.B2.D3.B 4.解：∠ACB=90,AB=10,CD为中线，∴CD=号AB=5.:F为DE的中点， BE=BC,∴BF是△CDE的中位线.BF= 2cD=2.5 4 5.C6.C 7.证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，∴EH∥AD,EH=AD.同理得 FG/AD,FG=AD,∴EH∥FG且EH=FG.:四边形EFGH是平行四边形. 8.B9.C10.8 1.(I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.:CF=号BC, DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,∴.四边形DEFC是平行四边形..CD= EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，AD=BD=1,CD⊥AB,BC= 2.∴.EF=CD=√BC-BD=√3. 12.解：DE∥BC,DE=号BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.D,E分别是AB,AC的中点，∴.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 ∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,∴.△ADE≌△CFE(角角边).∴.AD=CF,DE=EF= AE=CE, DR.CF/∥BD,BD=CR四边形DBCF是平行四边形.∴DF/BC,DF=BC又 DE-DF,∴DE/BC,DE-BC 专题特训构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题1】6【变式题274.C5.46.B 7.1<EF<4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB.∴.△AOB是等边三角形..∴.OA=OB=AB=2. .BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=25.∴.SE形ABCm=AB·BC=2X23=4V5. 7.(I)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.在△ABE和△DCF I∠BAE=∠CDF, 中，3AB=DC, ∴·△ABE≌△DCF(角边角).(2)解：，△ABE≌△DCF,∴.AE= t∠B=∠C, DF=13.在Rt△ABE中，BE=√AE-AB=5. 8.50°9.B10.45°11.912.15° 13.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又，AD=AE,△ADF≌△EAB(角角 边)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，.∠DAF+∠ADF=90°.，∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，.∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 14.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD..∠CBN=∠MNB.:∠PNB=3∠CBN,.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.:'AD∥MN∥BC,.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴∠ANM=∠CBN.∴.∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN= 2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN2=PN2,.(6-x)2+ 2=,解得x=9∴AP-9 5 专题特训矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC..∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.△ACE是等腰三角形.(2)解： :四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,∴.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2+82. AE=10.Sam=2AECD=号×10X8=40 3.A4.√25.9或25 6.解：(1)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=9O°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°.∴∠BFE= 2(180°-∠EBF)=54,(2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+AB BE,即十6=(8-P,解得x=子AE=子 1.5.2矩形的判定 1.C2.12 3.证明：，AB∥CD,∠BAD=90°，∴·∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,∴.AB2+BC=AC.∴.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∴∠BAD= ∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一)5.4 6.证明：：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.，∠AOB=∠OAD+ ∠ADO=2∠OAD,∴.∠OAD=∠ADO..OA=OD.∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形. 7.C8.D9.A 10.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：四边形ABCD为平行四边形，.AB∥DC, (AB=DC, AB=DC..∠A+∠D=180°.在△ABM和△DCM中， ∠1=∠2，.△ABM≌ BM=CM, △DCM(边角边)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 11.证明：(1)CE∥BF,.∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，∴BD=CD. ,∠BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF= DE=ER.又：BD=CD,四边形BFCE是平行四边形.DE=合BC,EF=BC. .四边形BFCE是矩形. 12.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BPG=∠KFG.∴∠EPG-∠EFK+∠KFG=合（∠APK+∠BFK)=9O同理可 得∠FGH=∠EHG=90°..四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求。 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.D2.C3.A4.8 5.(I)证明：：四边形ABCD是菱形，AD=CD.:S菱形ABCD=AD·BE=CD·BF, .BE=BF.(2)解：BE⊥AD,∴∠BED=90°..∠A=∠BED-∠ABE=80°.四 边形ABCD是菱形，AB=AD.∠ABD-号(180°-∠A)=50.∠EBD= ∠ABD-∠ABE=40°. 61.3 中心对称 A分点训练 。夯实基础 知识点①中心对称的概念、性质及作图 1.下列图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称 的是 2.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心 对称，下列结论不成立的是 ) A.OC=OC' B.OA-OA' C.BC=B'C' D.∠ABC=∠A'C'B' R K--- B (第2题图) (第3题图) 3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对 称，AB=3,AC=1,∠D=90°，连接AE,则 AE的长为 4.(教材P21练习T2变式)按要求画出图形. (1)如图①，O是BC的中点，画出△ABC关 于点O成中心对称的图形； (2)如图②，已知四边形ABCD和点O,画出 四边形ABCD关于点O成中心对称的 图形 图① 图② 15 数学八年级下册湘教版 和中心对称图形 知识点2中心对称图形 5.（山西中考)科技创新型企业的不断涌现，促 进了我国新质生产力的快速发展.以下四个 科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称 图形的是 曹袋7 B 6.(长沙中考)下列图形中，既是轴对称图形又 是中心对称图形的是 A B C D 7.下列汉字或字母是中心对称图形吗？如果 是，请标出它的对称中心 易错点对成中心对称的图形特点判断不准 致错 8.如图所示的4组图形中，左边图形与右边图 形成中心对称的有 9655 2252 ① ② ③ A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 B综合运用 。提升能力 9.图①和图②中所有的小正方形都全等，将图 ①的正方形放在图②中①②③④的某一位 置，使它与原来7个小正方形组成的图形是 中心对称图形，这个位置是 ) A.① B.② C.③ D.④ ① ② ④ 10B 图① 图② A (第9题图) (第10题图) 10.如图，直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于 点O成中心对称，点A的对称点是点A', AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=4, OD=3,则阴影部分的面积之和为 11.(教材P21练习T1变式)如图，△ABC与 △A'B'C关于点O成中心对称，但点O不 慎被涂掉了. (1)请你找到对称中心点O的位置； (2)连接线段BC和线段B'C,试判断四边 形BCB'C的形状，并说明理由. 12.如图，D是△ABC的边BC的中点，连接 AD并延长到点E,使DE=AD,连接BE. (1)哪两个图形成中心对称？ (2)如果△ADC的面积为4，那么△ABE 的面积为 (3)已知AB=5,AC=3,求AD的取值范围. C创新拓展 ⊙发展素养 13.新趋势主题探究)知识背景：过中心对称图 形的对称中心的任意一条直线都将其分成 全等的两个部分 (1)如图①，直线EF经过 □ABCD对角线的交 点O,则S四边形AEFB S四边形DEFC; 图① (填“>”“<”或“=”) (2)如图②，点P在口ABCD内，过点P作 直线EF,使其将□ABCD分成面积相 等的两部分； (3)某校“劳动角”的一块空地如图③所示，其 中AB∥EF∥CD,AF∥DE∥BC,现要用 一条直线将其等分成两块地种植不同品 种的花卉，请你画出两块地的分界线 图② 图③ 第1章四边形16