第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

第2课时 抓基础·达标练、 知识点1根据定义判定矩形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC交 BC于点D,过点A作AE∥BC,且AE=BD,连接 CE.求证：四边形ADCE是矩形， 2.如图，在口ABCD中，点E,F是BC边上的点， AE=DF,∠BAE=∠CDF.求证：口ABCD是矩形. y D B 知识点2有三个角是直角的四边形是矩形 3.在数学活动课上，同学们要判断一个四边形 门框是否为矩形，下列方案正确的是() A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 8名校作业数学(BS)9年级上 矩形的判定 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°， AB=5,BC=12,AC=13. 求证：四边形ABCD是矩形 知识点3对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，已知MN∥PQ,直线AC与MN,PQ分别 交于A,C两点，分别过A,C两点作两组内错 角的平分线，交于点B,D.求证：四边形ABCD 是矩形.P 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线 AC,BD相交于点O,M,N是BD上的两点，且 BM=DN,∠AON=2∠OAM.求证：四边形AMCN 是矩形. 7.如图，在口ABCD中，点E是BC边的中点，连 接AE并延长交DC的延长线于点F,且AF= BC,连接AC,BF.求证：四边形ABFC是矩形. 0 荐抓重点·提升练 8.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形 的是 4 4 4 D 5 AF900909D AP90 D Ar B690 B90 /3 B C 4 B C 9.如图，点P是矩形ABCD的对 角线BD上一点，AB=3,BC= 5,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于 B 点F,连接AP,EF,则AP+EF 的最小值为 10.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE=DF (1)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若∠AOB=60°，OA=5,则四边形ABCD的 面积为 11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 交于点O,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD, AD的中点 (1)求证：四边形EFGH是矩形 (2)若菱形ABCD的面积为10，求四边形 EFGH的面积， 12.如图，在△ABC中(LBAC≠60°)，在BC的同 侧作等边三角形ABF,等边三角形ACD和等 边三角形BCE,连接DE,EF (1)求证：四边形ADEF是平行四边形 (2)当∠BAC= °时，四边形ADEF是 矩形. B 易错点拨在进行矩形的判定时，忽略起点而出 错.若起点是平行四边形，则再加一个直角或对 角线相等便得到矩形；若起点是四边形，则需要 三个直角才能得到矩形 第一章特殊平行四边形 9 第2课时矩形的判定 1.证明：AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC,BD=CD...∠ADC=90°. AE=BD,..AE=CD. 又AE∥BC, .四边形ADCE是平行四边形 又：∠ADC=90°， ,.口ADCE是矩形 2.证明：·，·四边形ABCD是平行四边形， .,AB=DC,AB∥DC. 在△ABE和△DCF中， AB=DC,∠BAE=∠CDF,AE=DF, ∴.△ABE≌△DCF(SAS) ∴.LB=LC. AB∥DC, .∠B+∠C=180° .∠B=90° .口ABCD是矩形. 3.C 4.证明：AB∥CD, 智想 .∠D=180°-∠BAD=180°-90°=90° :AB2+BC=52+122=169,AC=132=169, ∴.AB2+BC2=AC .△ABC是直角三角形，且∠B=90°. ∴，∠BAD=∠D=∠B=90° .四边形ABCD是矩形 5.证明：MW∥PQ, ∴LMAC=LACQ. :AB平分∠MAC,CD平分∠ACQ, ..BAC= MAC.ACD-AC0 ∴，LBAC=LACD.AB∥CD 同理可得AD∥BC. .四边形ABCD是平行四边形 AD平分∠NAC, DAC-2/NAC. ÷∠BAD=∠BAC+∠DAC-=(∠MAC+∠NMC)=2xI80°= 2 2 90°. ∴.□ABCD是矩形 6.证明：四边形ABCD是平行四边形， 0M=0C=2AC,0B=0D ..AC=20A. .BM=DN, ∴.OB-BM=OD-DN,即OM=ON ·.四边形AMCN是平行四边形，MN=2OM, .'∠AOW=2∠OAM,∠AON=∠OAM+∠AM0, ∴.∠OAM=LAM0.∴.OA=OM. ..MN=AC .口AMCN是矩形 7.证明：.：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB=CD,AB∥CD,即AB∥FC. ∴.LBAE=LCFE. :点E是BC边的中点， 人BE=CE. 又：LAEB=LFEC, .·.△ABE≌△FCE(AAS). ∴.AB=FC AB∥FC, .四边形ABFC是平行四边形 又AF=BC, ∴.□☐ABFC是矩形. 8.D 9.V34解析如图，连接CP,AC B E :四边形ABCD是矩形， .∠BCD=∠ABC=90°. .'PE⊥BC,PF⊥CD, ∴.LCEP=LCFP=90°. ·.四边形CEPF是矩形」 ∴.CP=EF ,∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值. 当A,P,C三点共线时，AP+CP的值最小，为AC的长. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=VAB2+BC2= V34. ∴.AP+EF的最小值为V34. 10.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC=20A,BD=20D. AE⊥BD,DF⊥AC,∴.∠AE0=∠DFO=90° 在△AE0和△DF0中， .'∠AOE=∠DOF,∠AEO=∠DFO,AE=DF, ∴.△AEO≌△DFO. ∴.OA=OD.∴.AC=BD .口ABCD是矩形 (2)25V3 解析·四边形ABCD是矩形 .OA--AC.OB--BD.AC-BD.LARC-90. .AC=20A=2X5=10,0A=0B. 又.∠AOB=60°，.△AOB是等边三角形 ∴.AB=0A=5. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=VAC2-AB2 V102-57=5V3. .S四边形ABCD=AB·BC=5X5V3=25V3. 11.(1)证明：点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中 点， .EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，EH 是△ABD的中位线 F/AC.EF-AC.HC/AC.HG-AC.EM ∴.EF∥HG,EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形。 四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD. EH∥BD,∴.EHLAC. .EF∥AC,.∴.EFEH ∴.∠FEH=90°. ·.▣EFGH是矩形. (2)解：由(1)知EF=2AC,EH是△ABD的中位线， :.EH--BD. 2 S菱形BCD2AC-BD=10, .AC·BD=20. .AC.BD-AC-BD-5, 41 12.(1)证明：：△ABF,△ACD,△BCE都是等边三角形， ∴.BA=BF=AF,AC=CD=AD,BE=BC=CE,LABF=∠CBE= ∠BCE=∠ACD=60°」 .∠ABF-∠ABE=LCBE-LABE,即LFBE=∠ABC 在△FBE和△ABC中， .'BF=BA,∠FBE=∠ABC,BE=BC, ∴.△FBE≌△ABC(SAS) .∴.FE=AC.∴.FE=AD 同理可得△DEC≌△ABC(SAS), ..DE=AB...DE=AF. .四边形ADEF是平行四边形 (2)150 解析：△ABF,△ACD都是等边三角形， .∠BAF=∠CAD=60° .∠DAF=360°-∠BAF-∠CAD-∠BAC=90°. .□ADEF是矩形.