1.4正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦正方形性质与判定，通过基础概念辨析、中档推理应用、拔高综合探究的三层设计，构建从单一知识点到跨模块综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形与特殊平行四边形性质比较、基本判定|单选题1-4直接考查概念，如第1题对比对角线性质，夯实基础认知| |中档|折叠/旋转情境下的性质应用、简单推理|填空题11-14结合折叠求边长，解答题17(1)(2)通过旋转构造全等，发展空间观念| |拔高|多知识点综合、动态问题探究|解答题19-21融合旋转、矩形性质与方程思想，如第21题正方形存在性证明，培养模型意识与创新思维|

1.4正方形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 2．如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点 在正方形 内，连接 ， ， ， 于点 ，若 ， ，则 的长为（      ） A． 1 B． C． D． 4．下列命题为真命题的是（ ） ①若，则； ②相等的角是对顶角； ③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等. A. ①②⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 5．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形的外侧作等边，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7．在平面直角坐标系中，正方形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A．2.4 B．2.5 C． D．2 10．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，，则的长为____． （第2题图） 12．如图，边长为的正方形分别为各边中点，连接， 交点分别为，那么四边形的面积为 ． 13．已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________； （2）若为的中点，则的面积为________． 14．如图，在正方形 中，点 在边 上， ，垂足为 .若 ，  ，则 的面积为      . 15．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，等边△ABE，等边△BCF，且点A在△BCF内部，连接EF，DF.给出以下结论：①AC＝EF；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形.其中正确结论有　　　　.(填上所有正确结论的序号) (第16题图) 16．在平面直角坐标系中，设，，记，例如，若，则．若点满足，则所有点组成的图形面积为____；已知是直线上一点且位于第一象限，，点在上，点满足，当点从点运动到点时，点运动所覆盖的区域面积为，则______________． 三、解答题（本大题共5小题） 17．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 18．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， （1）将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． （2）纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． （3）如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 19．已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 20．已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 21．如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH． (1)求证:AK=AH; (2)求证:四边形AKFH是正方形; (3)若四边形AKFH的面积为10,CE=1,求点A,E之间的距离． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A A B A A B A D D 11．8 12．5 13．； 14． 15．①②③④ 16．2； 或 17．（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 18．（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 19．（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）略 （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时， 同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 20．（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=DC=BC,∠ABC=∠ADH=90°． 在△ADH和△ABK中, ∴△ADH≌△ABK(SAS),∴AK=AH． (2)证明：∵△ADH≌△ABK,∴∠HAD=∠BAK, ∴∠HAK=∠BAD=90°． ∵四边形CEFG是正方形,∴CG=EC=FG=EF． ∵DH=CE=BK,∴HG=EK=BC=AD=AB． 同(1)可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH, ∴AH=AK=HF=FK,∴四边形AKFH是正方形． (3)连接AE． ∵四边形AKFH的面积为10,∴KF=． ∵EF=CE=1,∴KE===3, ∴AB=KE=3． ∵BK=EF=1,∴BE=BK+KE=4． 在Rt△ABE中,AE===5, 故点A,E之间的距离为5． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $