2.4 一元二次方程的应用 课时2-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖面积问题（矩形裁剪、道路通道等）、营销问题及增长率问题，通过从图形变化到实际经济情境的过渡，搭建“几何模型→代数表达→实际应用”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光抽象图形与数量关系，如十字道路平移简化计算培养几何直观；用数学思维分析利润销量逻辑，如冰箱销售问题中列方程的推理过程；以数学语言构建模型，如增长率公式$a(1\pm x)^n=b$的应用。分层练习与详细解析结合，助力学生掌握解题方法，也为教师提供丰富教学资源。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 课时2 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 2.4 一元二次方程的应用（课时2：面积问题）专项练习 本节课重点学习一元二次方程应用中的图形面积问题，是几何与代数结合的经典题型，也是中考高频解答题。主要包含矩形裁剪、道路通道、边框宽度、图形拼接等模型，核心是通过设未知数，表示出变化后的图形边长，利用面积公式列方程求解，同时结合实际情况取舍方程的根。 一、核心知识梳理 1. 解题核心思路：结合矩形、正方形面积公式，根据图形平移、裁剪、留白变化，用含未知数的代数式表示图形长和宽，依据“变化后面积=目标面积”列一元二次方程。 2. 两大经典模型：① 四周留白/边框问题：原矩形长宽同时减去两倍边框宽度，得到内部有效图形长宽；② 十字道路通道问题：通过平移道路，将空白区域拼接为完整新矩形，简化边长表达式，避免复杂分段计算。 3. 常用面积公式：矩形面积=长×宽，正方形面积=边长的平方，所有面积问题均围绕基础公式变形构造方程。 4. 标准解题步骤：审题分析图形变化→设未知线段长度→表示新图形长宽→根据面积列方程→解方程→结合图形实际取舍根（边长为正数、不超出原图形边长）→规范作答。 5. 核心易错点：边框宽度需同时减去2倍未知数，只减1倍是高频错误；边长必须为正数，超出原图形尺寸的根必须舍去；平移道路后长宽对应关系不能混淆。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 一个矩形长10cm、宽6cm，四周留宽度为x cm的边框，内部空白矩形的长为（） A. $$10-x$$ B. $$10-2x$$ C. $$10+2x$$ D. $$2x-10$$ 2. 正方形边长为8，边长增加x后面积变为100，列方程正确的是（） A. $$8+x^2=100$$ B. $$(8+x)^2=100$$ C.$$8(x+8)=100$$ D. $$x^2=100$$ 3. 矩形地面长20m、宽15m，修建等宽十字道路，剩余绿化面积204㎡，设道路宽为x m，平移后绿化区域长为（） A. $$20-x$$ B. $$20-2x$$ C. $$15-x$$ D. $$15-2x$$ 4. 矩形面积为48，长比宽多2，设宽为x，下列方程正确的是（） A. $$x(x+2)=48$$ B. $$x(x-2)=48$$ C. $$2x+2(x+2)=48$$ D. $$x^2+2=48$$ 5. 面积问题解方程后，不符合题意的根通常是（） A. 正数根 B. 小数根 C. 负数根或超尺寸正根 D. 整数根 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 矩形长a、宽b，四周边框宽x，内部空白面积列式为________。 2. 正方形边长增加x，面积增大，核心等量关系是________。 3. 十字道路问题可通过________方法，将分散空白区域拼成完整矩形简化计算。 4. 长12、宽8的矩形，裁去等宽边框后内部为正方形，设边框宽为x，正方形边长为________。 5. 图形面积问题中，线段长度必须为________数。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）一个矩形桌面长16dm、宽10dm，四周镶嵌等宽木条边框，边框面积与桌面面积相等，求木条边框的宽度。 2.（12分）某小区矩形草坪长30m、宽20m，内部修建宽度相同的十字道路，剩余草坪面积为504㎡，求道路的宽度。 3.（18分）有一块矩形铁皮长40cm、宽30cm，四个角各截去一个相同的小正方形，剩余部分折成无盖长方体盒子，底面积为864cm²，求截去的小正方形边长。 4.（18分）综合拓展：一个正方形边长增加3cm，面积增加45cm²，求原正方形的边长。 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 解析：1.左右两侧均有边框，需减去2倍宽度；2.边长整体增加x，新边长为$$8+x$$，平方为新面积；3.十字道路平移后，长宽各减去一个道路宽度；4.宽x，长x+2，面积乘积为48；5.线段长度不能为负，也不能超出原图形尺寸，此类根需舍去。 填空题：1.$$(a-2x)(b-2x)$$ 2.新面积−原面积=增加的面积 3.平移 4.$$8-2x$$（或$$12-2x$$） 5.正 解答题 1. 解：设边框宽度为$$x$$ dm，总面积为桌面2倍，列方程：$$(16-2x)(10-2x)=16\times10$$，整理得$$x^2-13x+40=0$$，解得$$x_1=3，x_2=10$$（舍去，超出宽度）。答：边框宽度为3dm。 2. 解：设道路宽为$$x$$ m，平移拼接得新矩形，列方程：$$(30-x)(20-x)=504$$，整理得$$x^2-50x+96=0$$，解得$$x_1=2，x_2=48$$（舍去）。答：道路宽度为2m。 3. 解：设小正方形边长为$$x$$ cm，折盒后底面长宽为$$40-2x$$、$$30-2x$$，列方程：$$(40-2x)(30-2x)=864$$，整理得$$x^2-35x+84=0$$，解得$$x_1=3，x_2=32$$（舍去）。答：小正方形边长为3cm。 4. 解：设原正方形边长为$$x$$ cm，列方程：$$(x+3)^2-x^2=45$$，化简得$$6x+9=45$$，解得$$x=6$$。答：原正方形边长为6cm。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及增长率问题。 2.进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力。 学习目标 2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5 000元。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 探究新知 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 元， 每台冰箱的销售利润为 元， 平均每天销售冰箱的数量为 台， 这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 (2 900 - x) (2 900- x-2 500) (8+4) 探究新知 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 解：设每台冰箱的销售价降低x元，根据题意，得 (2 900-x-2 500)(8+4×)=5 000。 解这个方程，得x1=x2=150。 2 900-150=2 750。 所以，每台冰箱的定价应为2 750元。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 探究新知 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 例1 知识点1 一元二次方程的应用 得到的方程是(x-2 500)(×4+8)=5 000。 思考：如果设每台冰箱的定价应为x元，那么你能列出怎样的方程? 探究新知 知识点1 “每每”问题 1. 商场销售某种商品，每件进价为200元，售价为250 元，平均每天售出30件。调查发现：当商品售价每降低1元时，平均每 天可多售出2件。 （1）当商品售价降低5元时，平均每天销售量可达到____件，每天盈利 _______元； （2）当商品售价降低 元时，平均每天销售量可达到__________件，每 天盈利_________________________元； 40 1 800 举一反三 7 （3）商场通过销售这种商品每天盈利2 108元，可列方程为__________ _________________________，解得__________________。所以每件商 品需要降价________元。 ， 16或19 返回 举一反三 8 2. [佛山模拟] 香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家 地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被 纺织界誉为“软黄金”。在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120 件，每件盈利200元。为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调 研发现，若每件每降价20元，则每月可多售出30件。如果每月要盈利 2.88万元，则每件应降价____元。 80 返回 举一反三 9 思考 例1列出的两个方程有什么区别和联系? 联系：都是根据条件用x表示出每台冰箱的利润和销售量，然后依据“每台冰箱的利润乘以销售量等于总利润”列方程。 区别：表示每台冰箱的利润和销售量的代数式不相同。 知识点1 一元二次方程的应用 探究新知 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个。为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个? 等量关系：涨价后每个台灯的利润×总销量=10 000元 解：设每个台灯涨价x元。 根据题意，得(40+x-30)(600-10x)=10 000。 解得x1=10，x2=40(不合题意，舍去)。 所以40+x=40+10=50， 600-10x=600-10×10=500。 所以每个台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个。 知识点1 一元二次方程的应用 探究新知 知识点1 一元二次方程的应用 利润问题： 单件利润 = 售价 - 成本(成本为固定值，售价变化会直接影响单件利润)； 总销量 = 原销量 ± 因售价变化增减的销量(通常 “降价则销量增加，涨价则销量减少”，需根据题目条件确定增减幅度)； 总利润 = 单件利润 × 总销量(这是列方程的核心等量关系，题目常以 “总利润达到某一数值” 为目标，据此建立方程)。 探究新知 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。求3月份到5月份营业额的月平均增长率。 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意，得 400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6。 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)。 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。 知识点1 一元二次方程的应用 注意：增长率不可为负，但可以超过1。 探究新知 知识点1 一元二次方程的应用 增长率(或下降率)问题： 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系： a(1±x)n=b (其中增长取“+”，降低取“－”) 探究新知 回顾利用方程解决实际问题的过程，你对其中的关键环节有什么感悟？积累了哪些经验？ 关键环节是分析出数量关系和等量关系，依据等量关系列方程。 解方程时要注意检验方程的根是否有意义。 知识点1 一元二次方程的应用 探究新知 3. 随着科技的不断进步，人工智能 正逐渐渗透到我们 的生活和工作中。从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗， 的应 用前景广阔且充满无限可能。某人工智能科技体验馆在“十一”期间为学 生们策划了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过 10人，那么人均费用为240元；如果人数超过10人，那么每增加1人，人 均费用降低5元，但人均费用不得低于170元。 （1）若有14人参加活动，人均费用是_____元； 220 举一反三 16 （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共为3 600元， 求参加活动的学生人数。 举一反三 17 解：设参加活动的学生人数为 ， 由题意，得 。 解得， 。 当时， （元），符合题意。 当时， （元）， ， 不符合题意，舍去。 当人均费用为170元时，易知不符合题意。 答：参加活动的学生人数为18。 返回 举一反三 18 知识点2 平均变化率问题 4.[广东中考] 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现 快速增长态势。某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计 7月产值将增至9 100万元。设该公司6，7两个月产值的月均增长率为 ， 可列出的方程为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 5.超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元。因销量持续攀升，商家 在3月份提价 ，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的 基础上，4，5月份按照相同的降价率 连续降价。已知5月份该礼盒的售 价为486元，求降价率 。 解：原价为500元，3月份提价后，售价为 （元）, 根据题意，得 , 解得, （不合题意，舍去）， 降价率为 。 返回 举一反三 20 6.进入12月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，12月第1周 营业收入为3亿元，这三周的营业总收入为13亿元。若平均每周的增长 率为 ，则方程可以列为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 21 7.某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，以16元/千克的 价格出售；第二批60千克，以18元/千克的价格出售，两批樱桃全部售 完，店主共获利960元。 （1）求樱桃的进价； 解：设樱桃的进价是 元/千克， 依题意得，解得 。 答：樱桃的进价是10元/千克。 举一反三 22 （2）该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价 到20元/千克出售，结果仅售出40千克；第二天店主决定在第一天售价 的基础上降价促销，若在第一天售价的基础上每降价0.5元，第二天的 销售量就在第一天的基础上增加5千克。到第二天晚上关店时樱桃售完， 店主销售第三批樱桃获得的利润为880元，求第二天樱桃的售价。 举一反三 23 解：设第二天樱桃的售价是 元/千克，则第二天的销售量为 千克，依题意得 。 整理得 ， 解得, 。 答：第二天樱桃的售价是18元/千克或16元/千克。 返回 举一反三 24 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”)。 应用一元二次方程 常见问题 增长率问题 营销问题 常用公式： 单件利润=售价-成本； 总销量=原销量±因售价变化增减的销量； 总利润=单件利润×总销量。 课堂小结 谢谢观看 THANKS $