2.2 一元二次方程的解法 课时4-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过小球竖直上抛运动问题导入，对比小颖（公式法）、小明（错误约分）、小亮（因式分解法）的解法，承接直接开平方法、配方法、公式法，构建解法选择的知识支架。 其亮点在于以问题情境培养数学眼光，通过解法对比发展推理意识，分层练习（选择、填空、解答）强化应用意识。课堂小结结构化梳理步骤与易错点，帮助学生理解“降次”思想，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 课时4 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 2.2 一元二次方程的解法（课时4：因式分解法）专项练习 因式分解法是解一元二次方程最简便、最快的解题方法，适用于可以因式分解的特殊一元二次方程。本节课承接直接开平方法、配方法、公式法，是中考解方程首选方法，核心思想为“降次”，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，运算量小、实用性强，是本章重点解题技巧。 一、核心知识梳理 1. 因式分解法原理：若 $$ab=0$$，则 $$a=0$$ 或 $$b=0$$。利用此性质，将一元二次方程整理为两个一次因式乘积等于0的形式，实现二次降为一次，快速求解。 2. 常用分解方法：① 提公因式法：方程各项含有相同公因式；② 平方差公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$；③ 完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$。 3. 因式分解法解题步骤：① 移项，将方程所有项移到左侧，使方程右侧为0；② 对左侧多项式进行因式分解，化为两个一次因式乘积形式；③ 根据“积为0则至少一因式为0”，拆分为两个一元一次方程；④ 分别求解，得到方程的两个根。 4. 适用场景与技巧：优先观察方程结构，能因式分解优先用因式分解法，无需复杂配方、代入公式，是最简解法。 5. 核心易错点：必须保证方程右边为0再分解；切勿随意约去含未知数的因式，容易漏根；完全平方式方程有两个相等实数根，书写规范不遗漏。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 解方程优先选用因式分解法的是（） A.$$x^2-5x+1=0$$ B. $$x^2-4=0$$ C. $$x^2+3x+2=5$$ D. $$2x^2+3x-1=0$$ 2. 方程 $$x(x-2)=0$$ 的根是（） A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x_1=0，x_2=2$$ D. 无实数根 3. 方程 $$x^2-9=0$$ 因式分解后正确的是（） A. $$(x-3)^2=0$$ B. $$(x+3)(x-3)=0$$ C. $$x(x-9)=0$$ D. $$(x+9)(x-9)=0$$ 4. 解方程 $$(x-1)^2=2(x-1)$$，移项分解后根为（） A. $$x_1=1，x_2=3$$ B. $$x_1=1，x_2=2$$ C. $$x=1$$ D. $$x=3$$ 5. 方程 $$x^2-4x+4=0$$ 的根的情况是（） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无法确定 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 若 $$(x+2)(x-5)=0$$，则方程的根为________。 2. 因式分解解方程的核心依据是：若两个因式的积为0，则________。 3. 方程 $$x^2-3x=0$$ 提公因式后为________。 4. 方程 $$x^2-16=0$$ 的两根是________。 5. 解方程必须先将方程右边化为________，再进行因式分解。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）用提公因式法解方程：（1）$$x^2+5x=0$$ （2）$$3x(x-1)=2(x-1)$$ 2.（12分）用公式因式分解法解方程：（1）$$x^2-25=0$$ （2）$$x^2-6x+9=0$$ 3.（18分）用因式分解法解综合方程：（1）$$x^2-3x+2=0$$ （2）$$(x-2)^2-4=0$$ 4.（18分）拓展应用题：已知一个数的平方与这个数的4倍互为相反数，求这个数。 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 解析：1.$$x^2-4=0$$可直接平方差分解；4.移项得$$(x-1)^2-2(x-1)=0$$，提公因式$$(x-1)(x-3)=0$$；5.完全平方式，方程有两个相等实数根。 填空题：1.$$x_1=-2，x_2=5$$ 2.至少其中一个因式为0 3.$$x(x-3)=0$$ 4.$$x_1=4，x_2=-4$$ 5.0 解答题 1. 解：（1）提公因式得$$x(x+5)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=-5$$；（2）移项提公因式$$(x-1)(3x-2)=0$$，解得$$x_1=1，x_2=\frac{2}{3}$$。 2. 解：（1）平方差分解$$(x+5)(x-5)=0$$，解得$$x_1=5，x_2=-5$$；（2）完全平方分解$$(x-3)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=3$$。 3. 解：（1）十字相乘分解$$(x-1)(x-2)=0$$，解得$$x_1=1，x_2=2$$；（2）平方差分解$$(x-2+2)(x-2-2)=0$$，化简得$$x(x-4)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=4$$。 4. 解：设这个数为$$x$$，由题意得$$x^2+4x=0$$，提公因式得$$x(x+4)=0$$，解得$$x_1=0，x_2=-4$$。故此数为0或-4。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.理解用因式分解法解方程的依据。 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 学习目标 2 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h (单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 探究新知 3 问题1 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程 15t-5t²=0。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究新知 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小颖的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 因此 t=， 所以 t1=0，t2=3。 小颖的解法是正确的，她运用了公式法解方程。 探究新知 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小明的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²=15t。 两边都约去 5t， 得 t=3。 小明的解法是错误的，他进行的方程变形不是同解变形。同解变形要求方程两边同时除以同一个不为0的数，他的做法漏掉了根为0的情况。 探究新知 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 这样做的依据是什么？ 如果a · b=0，那么 a=0或 b=0. 小亮让方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。 探究新知 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 小亮的解法是正确的，他用的是本节要学的因式分解法。 探究新知 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 适用范围：一元二次方程的一边为 0 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.[广州模拟] 一元二次方程 的根是( ) C A. B. C.， D.， 返回 举一反三 10 2.[杭州期中] 一元二次方程 的解是( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 11 3.用因式分解法将 转化为两个一元一次方程，分别 为___________和 ___________。 返回 举一反三 12 解方程： (1)5x²=4x； 解：(1)原方程可变形为 5x²-4x=0， x(5x-4)=0。 x=0，5x-4=0。 所以 x1=0，x2=。 例1 (2)原方程可变形为 x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0。 x-2=0，或x-1=0。 所以 x1=2，x2=1。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 (2)x(x-2)=x-2。 探究新知 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²-4=0，因式分解，得(x+2)(x-2)=0， 所以x+2=0，或x-2=0， 所以x1=-2，x2=2。 (x+1)²-25=0，因式分解，得(x+6)(x-4)=0， 所以x+6=0，或x-4=0， 所以x1=-6，x2=4。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 还可以用直接开平方法解方程。 探究新知 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²+2x-3=0，配方，得x²+2x+1-1-3=0， 即(x+1)²=4， 开平方，得x+1=±2， 所以x1=1，x2=-3。 x²+6x-8=0，配方，得x²+6x+9-9-8=0， 即(x+3)²=17，开平方，得x+3=±， 所以x1=-3+，x2=-3-。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究新知 4.用因式分解法解下列方程： （1） ； 解：原方程可变形为 ， ， 。 （2） ； 解：原方程可变形为 ， ， ， 。 举一反三 16 （3） ; 解：原方程可变形为， ， ， 。 （4） 。 解：原方程可变形为, ， , 。 返回 举一反三 17 思考 (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程? 用到了因式分解法、配方法。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究新知 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解?   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 探究新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 探究新知 知识点2 用适当的方法解一元二次方程 5.我们学习了一元二次方程的解法有：①直接开平方法；②配方法；③ 因式分解法；④公式法。指出解下列方程较为适当的方法。（填序号） （1） ，应选用____； （2） ，应选用____； （3） ，应选用____； （4） ，应选用____。 ① ② ③ ④ 返回 举一反三 21 6.用适当的方法解下列方程： （1） ; 解：移项，得 ， 两边开平方，得 ， ， 。 举一反三 22 （2） ; 解：原方程可化为 , , , ， , 。 举一反三 23 （3） ; 解：原方程可化为 ， ， ， ， 。 举一反三 24 （4） 。 解：将方程化为一般形式，得 。 这里，， 。 ， 方程有两个不相等的实数根。 ， ， 。 返回 举一反三 25 7.若的两根分别是和5，则多项式 可以分解为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 8. 对于实数，，定义运算“”： ，例 如：。若，则 的值为 ( ) D A.0 B. C.0或 D.0或0.5 返回 举一反三 27 因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 课堂小结 谢谢观看 THANKS $