精品解析：云南省昆明市第三中学呈贡学校（呈贡一中）2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

昆明三中呈贡学校（呈贡一中）2026年高三开学考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 4 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 40种 D. 48种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，错选不得分，选不全得部分分，共18分） 9. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 为递增数列 D. 是等差数列 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是 的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当 在上有极大值时，的取值范围为 三、填空题（每题5分.共15分） 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 14. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，乙选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响． （1）求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； （2）设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列； （3）已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 19. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明三中呈贡学校（呈贡一中）2026年高三开学考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】法一：由题意得， 所以，故C正确. 法二：由题意得，故，故C正确. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解不等式，得，即， 解不等式，得，则，即， 所以. 3. 函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【详解】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 5. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知， 所以. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 40种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】先计算甲不站在两端的排法总数，再减去其中丙、丁相邻的排法数． 【详解】先只考虑“甲不站在两端”这一条件． 甲只能站在中间个位置中的一个位置，有种选择； 其余乙、丙、丁、戊人任意排列，有种排法． 因此，甲不站在两端的排法共有种． 下面计算其中丙、丁相邻的排法数． 先计算丙、丁相邻的所有排法：把丙、丁看成一个整体，这个整体内部有“丙丁”“丁丙”种顺序； 再将这个整体与甲、乙、戊共个对象排列，所以共有种排法． 在这种排法中，还要去掉甲站在两端的情形． 若甲站在两端，先确定甲站左端还是右端，有种选择； 再把丙、丁看成一个整体，内部有种顺序； 该整体与乙、戊共个对象排列，有种排法． 因此，甲站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 所以，甲不站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 因此，甲不站在两端且丙、丁不相邻的排法共有种． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式及二倍角公式求值. 【详解】因为，所以 . 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 二、多选题（每题6分，错选不得分，选不全得部分分，共18分） 9. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件概率和事件的独立性求出有关事件的概率，再逐项判断． 【详解】由，可得，故C错误； 又，为两个相互独立的随机事件，所以，所以， 根据全概率公式可得， 解得，故正确； 又， 解得，故错误； 易知， 由，即D正确. 10. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 为递增数列 D. 是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，得到数列的通项公式和前项和，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得 ，即，解得， 所以，且， 对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，所以B不正确； 对于C，由，所以，即， 所以数列为递增数列，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 所以数列是等差数列，所以D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是 的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当 在上有极大值时，的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析0是否是的变号零点，判断0是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在上有极大值时，转化为在上有解，求出a的取值范围，判断D. 【详解】因为的定义域为，且，所以是奇函数，A正确． ，由，得． 因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时，，所以，又，故； 当时，，，得. 所以在上单调递减． 当时，，当时，，则在上有1个变号零点， 所以在上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当 在上有极大值时，在上有解， 因为在上单调递减， 所以，解得，D 正确 三、填空题（每题5分.共15分） 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】3 【解析】 【详解】的展开式中含的项为 所以的展开式中的系数为3. 13. 若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 14. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 四、解答题 15. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； (2)将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【小问1详解】 由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 . 17. 已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，乙选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响． （1）求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； （2）设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列； （3）已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 （3）【解析】 【分析】（1）已知甲与乙的选择互不影响，直接用独立事件的乘法公式求解； （2）先确定的取值为0，1，2，表示两个人都不参加，表示两个人中恰好一个人两个工厂都不参加，另一个人至少参加1个，表示两个人各自都至少参加1个，据此直接计算概率即可； （3）根据题目条件，先计算甲和乙都只参加A，B工厂面试其中1个的概率，再计算他们参加面试并通过的概率，即可利用条件概率求出，，由列出不等式，结合，，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 设事件“甲选择参加A工厂面试”，“甲选择参加B工厂面试”，则，， 设事件“乙选择参加A工厂面试”，“乙选择参加B工厂面试”，则，． 故甲和乙都选择参加A工厂面试的概率. 【小问2详解】 由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 则， ， . 故的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 设事件“甲只选择参加A或B其中1个工厂面试”，“乙只选择参加A或B其中1个工厂面试”， 则， . 设事件“面试通过”， 则， ， 则， ， 若，则，解得. 又，，所以的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3）在棱上存在点，满足，此时 【解析】 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，从而得到，最后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量法求出直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 即为线面角的正弦值； （3）设比例参数，写出，利用垂直向量数量积为0建立方程求出，且在范围内，说明该点存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 19. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【小问1详解】 由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $