云南百师联盟2027届高三上学期开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数．若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知平面向量．若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 设双曲线的左、右焦点分别是是双曲线的左支上一点，为线段的中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 的外接圆周长为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，体积为，则该正四棱台的高为_____． 13. 已知，则_____． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下列联表（单位：人）． 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 （1）将列联表补充完整并依据小概率值的独立性检验，分析储能技术人员使用储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关． （2）一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用．他在第天使用储能仿真软件开展工作的概率为，每天是否使用相互独立．设这名技术员前3天中使用储能仿真软件的天数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16. 在中，角所对的边分别为且． （1）求角； （2）若，求中线的长． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． （1）求抛物线的标准方程； （2）若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； （3）若，求重心的坐标． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联 （2） 的分布列如下所示， 0 1 2 3 的数学期望为 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理得． ，， ，，、平面，平面． 平面，平面平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）由（1），得． 方法一：由题意，得直线过定点，直线过定点， 且于点，所以点在以为直径的圆上， 圆心为点，半径为． 所以存在定点，使得为定值． 方法二：由题意，得直线的倾斜角不为0，设直线的方程为． 因为，所以直线的方程为． 解得所以点 设，则，消去，得， 即， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上 所以存在定点，使得为定值． （3）． 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：等价于． 方法一：令，则． 令，则． 函数在上单调递增，且， 函数在内存在唯一的零点，即． 当时，；当时，， 函数即在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为， 函数在上单调递增． 当时，； 当时，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 方法二：令． 当时，． 当时，． 令，则在上单调递增． ， 函数即在上单调递增，， 函数在上单调递增，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立 （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $