精品解析：内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特市第十二中学2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷

2026年十二中八下期末考试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义，以及分式有意义的条件进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次根式有意义、分式有意义的条件，解题的关键是正确求出x的取值范围. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； B选项，，， ，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意； C选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； D选项，，， ，不是勾股数，不符合题意． 3. 下列图象中，能表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念解答即可． 【详解】解：∵根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应 ∴能表示y是x的函数是前三个图． 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象与x轴只会有一个交点． 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 5. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 6. 如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 7. 如图为某地区2025年10月和11月的空气质量指数箱线图，值越小，空气质量越好；值在201～300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ）． A. 该地区2025年11月有重度污染天气 B. 该地区2025年11月的值比10月集中 C. 该地区2025年10月值的下四分位数是50 D. 从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．根据统计图中数据，结合各选项逐一判断即可得． 【详解】解：A、该地区2025年11月值超过，有重度污染天气，故A正确，不符合题意； B、该地区2025年10月的值比11月集中，故B错误，符合题意； C、该地区2025年10月值的下四分位数是50，故C正确，不符合题意； D、从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月，故D正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明△BCO是等腰三角形即可证明①正确；由EG=AB，EF=AB可证②成立；由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2BO，AD=BC， ∵BD＝2AD， ∴BD＝2BC， ∴BO=BC, ∵E为OC中点， ∴BE⊥AC，故①成立； ∵BE⊥AC，G是AB中点， ∴EG=AB， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，且EF=CD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，且AB=CD， ∴EF=AB， ∴EF=EG，故②成立； ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB, ∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等）， 在△EFG和△GBE中， ∵BG=FE，∠FEG=∠BGE，GE=EG， ∴△EFG≌△GBE（SAS），即③成立； ∵BG=FE，EF∥AB, ∴四边形BEFG是平行四边形， ∵BE⊥AC， ∴GF⊥AC， ∵EF=EG， ∴∠AEG=∠AEF, 即EA平分∠GEF 故④正确， 若四边形BEFG是菱形 ∴BE＝BG＝AB， ∴∠BAC＝30° 与题意不符合 故⑤错误 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理以及平行线的性质定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若能与最简二次根式合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 10. 按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 根据第三四分位数的不同计算规则，分别计算即可得到结果． 【详解】解：已知从小到大排序的数据共个， 方法一： 计算第三四分位数的位置为， 不是整数，将向上取整得， 这组数据的第三四分位数为排序后第个数据，即； 方法二： 第三四分位数为数据后四分之一部分的中位数，个数据的后四个数据为，，，， 第三四分位数为． 11. 一次函数与的图像与轴所围成的三角形面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数和的解析式，分别求出与y轴的交点坐标和两直线的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得到答案. 【详解】如图， 直线与y轴的交点坐标为(0，4) 直线与y轴的交点坐标为(0，-2) 解方程组，得． 即两直线的交点坐标为(2，0)， 所以三角形的面积为 ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求两直线的交点坐标和三角形的面积公式，能正确求解交点坐标是解题的关键，在求解面积时可以做相应的转换，可以使题目变得简单. 12. 如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质．连接，，根据三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，即的长度，根据勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当最大时，最大， 当点P在点B处时，最大，即的长度， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最大长度为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 13. 计算： （1）． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：，，， ． 14. “手中有粮，心里不慌”．为优选品种，提高农作物产量，内蒙古自治区农业科学院选择了两块试验田（基本条件大致相同）用于分析、两种水稻种子的产量，从两块试验田中各随机抽取了10株水稻，并对其单穗质量x（单位：克）进行整理分析，过程如下： 【数据收集】 A型种子： B型种子： 【整理数据】 种子型号 单穂质量x（克） A 1 3 a 3 B 1 2 6 1 【分析数据】 种子型号 平均数（克） 众数（克） 中位数（克） 方差 A 213 m 214 112 B 213 220 n 79.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）据估计，此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是____型水稻； （3）综合以上信息，你认为农户应该选择哪种水稻种子进行种植？请说明理由．（至少从两个不同角度说明） 【答案】（1）3；215；216 （2）A （3）选择B型；A、B两种种子单穗质量的平均数相同，B型种子单穗质量的中位数大于A型种子单穗质量的中位数，B型种子单穂质量的方差小于A型种子单穂质量的方差，B型种子单穂质量较为稳定（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差的意义，理解中位数、众数、方差的意义． （1）用10减去其它组的频数即可得出a的值，利用中位数、众数的意义求出m、n的值； （2）从中位数的角度得出结论； （3）根据方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：， A种水稻种子的产量出现次数最多的是215，共出现2次，因此众数为， 将B种水稻种子的产量从小到大排列后，处在中间位置的两个数为215和217， 所以中位数； 故答案为：3，215，216； 【小问2详解】 解：A的中位数为214，B的中位数为216，所以此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是A型水稻； 故答案为：A； 【小问3详解】 解：应该选择B种水稻种子进行种植， 理由：因为A、B两种水稻种子的产量的平均数相同，但是B种水稻种子的产量的方差小于A的方差，说明B种子质量稳定， 所以应该选择B种水稻种子进行种植（答案不唯一）． 15. 如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先结合平行四边形性质和判定证明四边形为平行四边形，再根据垂线定义，以及矩形的判定定理即可证明四边形是矩形； （2）设，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合平行四边形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， 解得， 的面积． 16. 中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等． （1）求A，B两种类型月饼的单价． （2）该商店计划购买A，B两种类型的月饼共100盒，且A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，请计算该商店购买两种类型月饼各多少盒时费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元 （2）购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元 【解析】 【分析】（1）设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元，根据题意列分式方程解答即可； （2）设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再表示出y的表达式，根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设B型月饼的单价为x元，则A型月饼的单价为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． ∴． 答：A型月饼的单价为45元，B型月饼的单价为30元． 【小问2详解】 解：设该商店准备购买A型月饼m盒，则购买B型月饼盒，设购买费用为y元． ∵A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍， ∴， 解得． 由题意，得． ∵， ∴y随着m的增大而增大． ∵，且m为整数， ∴当时，y有最小值，最小值为． 此时． 答：该商店购买A型月饼67盒，B型月饼33盒时费用最少，最少费用是4005元． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 【答案】（1）正比例函数的表达式为：；一次函数表达式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、不等式的解集以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象求解不等式的解集，并结合三角形面积公式求解点的坐标。 （1）由待定系数法即可求解； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围； （3）由，即可求解。 【小问1详解】 （1）将点的坐标代入得：，则， 正比例函数的表达式为：， 由题意得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； 【小问2详解】 由图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象下方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 由（1）知，点， 的面积， ∵的面积是面积的3倍 的面积， 设点, 解得：或， 则点或； 18. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1） 等边三角形，证明：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年十二中八下期末考试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 且 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 3. 下列图象中，能表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. 1 C. D. 5. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为某地区2025年10月和11月的空气质量指数箱线图，值越小，空气质量越好；值在201～300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（ ）． A. 该地区2025年11月有重度污染天气 B. 该地区2025年11月的值比10月集中 C. 该地区2025年10月值的下四分位数是50 D. 从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月 8. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若能与最简二次根式合并，则的值为______． 10. 按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 11. 一次函数与的图像与轴所围成的三角形面积为____________． 12. 如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为______． 三．解答题（共7小题） 13. 计算： （1）． （2）在中，，，，求的长． 14. “手中有粮，心里不慌”．为优选品种，提高农作物产量，内蒙古自治区农业科学院选择了两块试验田（基本条件大致相同）用于分析、两种水稻种子的产量，从两块试验田中各随机抽取了10株水稻，并对其单穗质量x（单位：克）进行整理分析，过程如下： 【数据收集】 A型种子： B型种子： 【整理数据】 种子型号 单穂质量x（克） A 1 3 a 3 B 1 2 6 1 【分析数据】 种子型号 平均数（克） 众数（克） 中位数（克） 方差 A 213 m 214 112 B 213 220 n 79.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）据估计，此次调查中，单穗质量为213克的水稻在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是____型水稻； （3）综合以上信息，你认为农户应该选择哪种水稻种子进行种植？请说明理由．（至少从两个不同角度说明） 15. 如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 16. 中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等． （1）求A，B两种类型月饼的单价． （2）该商店计划购买A，B两种类型的月饼共100盒，且A型月饼的数量不少于B型月饼数量的2倍，请计算该商店购买两种类型月饼各多少盒时费用最少，最少费用是多少元？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 18. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $