精品解析：内蒙古自治区赤峰市元宝山区山前学校等校2025-2026学年度下学期期末学业质量监测八年级数学

2025——2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共2页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 2，3，4 3. 下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 一组邻边相等 4. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 甲组跳绳次数的下四分位数小于 C. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D. 乙组跳绳次数的最大值小于 5. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 6. 若要使有意义，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 图象与轴交于正半轴 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象过点，，若，则 8. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________． 10. 将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______． 12. 如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 某校举办国学知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组： 5，6，6，6，6，6，7，9，9，； 乙组： 5，6，6，6，7，7，7，7，9，． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c S乙2 （1）以上成绩统计分析表中 ， ， ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 15. 如图，四边形中，，，，对角线与交于点O，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若的周长为12，求线段的长． 16. 某厂计划生产A、B两种产品共80件（A、B均需生产），已知A产品每件可获利60元，B产品每件可获利80元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件（x为整数）． （1）请写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 17. 如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； （2）当的面积为时，求t的值； （3）请直接写出的面积满足时t的取值范围． 18. （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由； （2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：． （3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共2页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需同时满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项， 的被开方数是分数，含有分母，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，属于最简二次根式； 选项，，其中是能开得尽方的因数，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数中是能开得尽方的因式，可化简为，不属于最简二次根式． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】Ａ、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 一组邻边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：C 4. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 甲组跳绳次数的下四分位数小于 C. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 D. 乙组跳绳次数的最大值小于 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的特征逐一判断即可． 【详解】解：选项：甲组的极差比乙组大，且甲组箱体长度大于乙组，故甲组跳绳次数的波动比乙组大，正确； 选项：甲组跳绳次数的下四分位数约，小于，正确； 选项：甲组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数约，乙组跳绳次数的中位数比甲组小，正确； 选项：乙组跳绳次数的最大值约，大于，错误． 5. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 6. 若要使有意义，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ． ∵ 分式分母， ∴ ． 综上，的取值范围为且． 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 图象与轴交于正半轴 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象过点，，若，则 【答案】A 【解析】 【分析】从一次函数的、符号出发，结合图象性质与不等式求解判断各选项． 【详解】解：对于一次函数，，； A选项：令，得，解得，即当时，，结论正确； B选项：令，得，图象与轴交于负半轴，结论错误； C选项：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，结论错误； D选项：∵， ∴若，则，结论错误． 8. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据前个图形的正方形数量，归纳出通用规律表达式，再把代入求值． 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若一个多边形内角和与外角和的比为9∶2，则这个多边形的边数是________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，可得此多边形的内角和是，再由n边形的内角和是可得关于n的方程，求解后即可求出边数n． 【详解】解：设这个多边形是n边形，∵多边形内角和与外角和的比为9∶2， ∴， 解得n＝11． ∴此多边形的边数为11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式将问题转化为解方程的问题解决． 10. 将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数向上平移后，一次项系数不变，根据上下平移“上加下减”的规律计算常数项即可得到新解析式． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为，化简得． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集是． 12. 如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.  【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 在中，， 点是的中点， . 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时， 原式 . 14. 某校举办国学知识竞赛，设定满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组： 5，6，6，6，6，6，7，9，9，； 乙组： 5，6，6，6，7，7，7，7，9，． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 乙组 b 7 c S乙2 （1）以上成绩统计分析表中 ， ， ； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）甲 （3） 选乙组参加决赛．理由如下： ， ∵甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键．平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在甲组中属中游略偏上，； （3）计算乙组的方差，两组平均数相同，方差进行比较，选择方差小的组参加比赛． 【小问1详解】 解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数； ， 乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，∴众数； 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， 故答案为：甲； 【小问3详解】 略 15. 如图，四边形中，，，，对角线与交于点O，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若的周长为12，求线段的长． 【答案】（1）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴均为直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）4 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得，再由的周长为12，可得，然后由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：． 16. 某厂计划生产A、B两种产品共80件（A、B均需生产），已知A产品每件可获利60元，B产品每件可获利80元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件（x为整数）． （1）请写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围； （2）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】（1） 函数表达式为，自变量的取值范围是且为整数 （2） 获利总额的最大值为5200元，此时生产A产品60件，B产品20件 【解析】 【分析】 （1）根据总利润为A、B两种产品的利润和列函数关系式，结合两种产品均需生产确定自变量的取值范围； （2）先根据A产品与B产品的数量关系列不等式，确定的取值范围，再结合一次函数的增减性求最大利润及对应生产方案． 【小问1详解】 解：∵ 生产B产品件，A、B共80件， ∴ 生产A产品件， ∵总获利等于A、B产品获利之和， ∴， 化简得， ∵ A、B均需生产，为整数， ∴且， 即且为整数； 【小问2详解】 解： ∵生产A产品的件数不少于B产品的3倍， ∴， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴且为整数， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（件）； 答：获利总额的最大值为5200元，此时生产A产品60件，B产品20件． 17. 如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． （1）求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； （2）当的面积为时，求t的值； （3）请直接写出的面积满足时t的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）分，，三种情况分别求解即可； （2）当的面积为时，得或，求解即可； （3）当时，若，则，若，则，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上，； 【小问2详解】 解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； 【小问3详解】 解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． 18. （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由； （2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：． （3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积正方形面积的； （2）证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）1 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）连接，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）连接，证明，得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴两个三角形重叠部分的面积 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $