精品解析：四川达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题

四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键．根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵不是正整数， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是勾股数，该选项不合题意； 、∵，且是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 故选：． 3. 乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）． A. 乐乐明天肯定进球 B. 乐乐明天有可能进球 C. 乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D. 乐乐明天的进球率为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的概念，根据概率的概念逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵乐乐进球的概率为， ∴乐乐明天将参加一场比赛，有可能进球，也有可能不进球， 故选B． 【点睛】本题考查概率的概念及意义，正确理解概率的意义是解题的关键． 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 5. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 6. 一个正数的两个平方根是和，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系是解题的关键．根据平方根的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 7. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长. 【详解】根据题意可得图形： AB=12cm，BC=9cm， 在Rt△ABC中：AC==15（cm）， 则这只铅笔的长度大于15cm． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 的平方根是__________，的算术平方根是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵， ∴的算术平方根是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 10. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先分解因式，再代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键． 11. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 12. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 13. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的面积变化找到P点的速度与长方形的边长之间的关系，当三角形面积不变时，P点位于DC上，由此即可解答． 【详解】由图像结合三角形面积变化，在3s~7s间，三角形面积不变， 则点P点位于DC上， （cm） 从7s后三角形面积开始变化， （cm） 长方形ABCD的面积为：S=68= 故答案为: 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据函数图像的变化规律求出矩形边长是关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）9 （2） （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， 或， ∴，． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式展开各项，再合并同类项化简原式，代入的值计算即可得到结果． 【详解】解： 当时，原式 16. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴． 17. 小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 【答案】（1）风筝的高度为21.7米 （2）的长度为9米 【解析】 【分析】（1）要求风筝高度，先在中利用勾股定理求出的长度，再结合小明身高，通过计算； （2）求的长度，先根据等积法求出，再在中利用勾股定理计算． 本题主要考查了勾股定理及等积法的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ），灵活运用等积法是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理，得：， ∴（米）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米. 【小问2详解】 解：由等积法知：，解得：（米）. 在中，由勾股定理得：， 答：的长度为米. 18. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） （2）观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； （3）根据（2）中的结论，若，求． 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）由（2）的结论得到，再把代入即可求得的值． 【小问1详解】 解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，，结合同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：16． 20. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 21. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案． 【详解】∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 22. 如图所示，是的中线，点是的中点，连接、，若阴影部分的面积为4，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由是的中线，点是的中点，可得，同理可得，，得出，，即可求得，即可求出． 【详解】解：是的中线， 点是的中点， ，， ，， ， ， 则的面积为为8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 23. 如图，矩形纸片中，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ∴，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，为的角平分线，是线段上一点，，，延长与线段相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：为的角平分线， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据证明与全等解答． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】 （1）证明：，，，且， ， ， ； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据建立等式证明即可． （2）用两种方法表示三角形的面积，建立等式，解答即可； （3）根据题意，得，，分别表示后，建立等式解答即可． 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握证明和应用是解题的关键． 【详解】（1） 略 （2）解：设边上的高为h， 根据题意，，且， 又 故， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期入学自测数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. B. C. D. 3. 乐乐是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，乐乐进球的概率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）． A. 乐乐明天肯定进球 B. 乐乐明天有可能进球 C. 乐乐明天比赛每射球5次必进球1次 D. 乐乐明天的进球率为 4. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 6. 一个正数的两个平方根是和，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 无法确定 7. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 的平方根是__________，的算术平方根是__________． 10. 已知，则______． 11. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 12. 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 13. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 17. 小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 18. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） （2）观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； （3）根据（2）中的结论，若，求． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，，则______． 20. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 21. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是______度． 22. 如图所示，是的中线，点是的中点，连接、，若阴影部分的面积为4，则的面积为______． 23. 如图，矩形纸片中，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，为的角平分线，是线段上一点，，，延长与线段相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c， ，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为 ； （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $