2.2 一元二次方程的解法 课时2-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程配方法，系统梳理配方原理、步骤（含二次项系数不为1的情况）及易错点，通过对比系数为1与不为1的方程导入，承接直接开平方法，为公式法学习搭建支架。 其亮点在于结合小球运动高度等实际问题培养数学眼光，通过步骤拆解、错题分析强化数学思维，分层练习与规范小结提升数学语言表达。学生能逐步掌握方法，教师可精准突破难点，提高教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 课时2 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 2.2 一元二次方程的解法（课时2：配方法）专项练习 配方法是解一元二次方程的核心基础方法，承接上一课时直接开平方法，也是后续推导公式法的关键。本节课重点掌握配方原理，学会将普通一元二次方程通过添项、变形，转化为完全平方形式，进而利用直接开平方法求解，是本章几何代数结合的重要工具。 一、核心知识梳理 1. 配方原理：依据完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，对于二次项、一次项，补上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式。 2. 配方法解题步骤（二次项系数为1）：① 移项，将常数项移至等号右侧；② 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③ 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数；④ 直接开平方求解，写出两根。 3. 二次项系数不为1的配方步骤：① 方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；② 再按照系数为1的配方步骤依次变形求解。 4. 核心易错点：配方时必须方程两边同时加常数，保证等式成立；一次项系数为负数时，注意符号运算；最终结果需化简、规范书写两根。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 用配方法配方 $$x^2-6x$$，需要添加的常数是（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 将 $$x^2+4x-1=0$$ 配方后正确的形式是（） A. $$(x+2)^2=5$$ B. $$(x-2)^2=5$$ C. $$(x+2)^2=1$$ D. $$(x-2)^2=1$$ 3. 方程 $$x^2-2x-3=0$$ 配方后可化为（） A. $$(x-1)^2=4$$ B. $$(x+1)^2=4$$ C. $$(x-1)^2=2$$ D. $$(x+1)^2=2$$ 4. 用配方法解方程 $$2x^2-4x-2=0$$，第一步需要（） A. 移项 B. 两边除以2 C. 配方 D. 开平方 5. 代数式 $$x^2-8x$$ 配方后为完全平方式，补加的常数是（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. $$x^2+10x+$$________$$=(x+5)^2$$。 2. 方程 $$x^2-4x=5$$ 配方需两边同时加________。 3. 二次项系数不为1的方程配方，首先需要将________化为1。 4. $$x^2-3x+$$________$$=(x-\frac{3}{2})^2$$。 5. 方程 $$x^2+2x-2=0$$ 配方后为________。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）配方填空：补全下列完全平方式。（1）$$x^2-12x+(\ \ )^2$$ （2）$$x^2+5x+(\ \ )^2$$ 2.（12分）用配方法解二次项系数为1的方程：（1）$$x^2-6x+5=0$$ （2）$$x^2+2x-8=0$$ 3.（18分）用配方法解二次项系数不为1的方程：（1）$$2x^2-8x+2=0$$ （2）$$3x^2-6x-9=0$$ 4.（18分）综合拓展：用配方法求代数式 $$x^2-4x+5$$ 的最小值，并说明x取何值时取得最小值。 三、参考答案与解析 选择题：1.C 2.A 3.A 4.B 5.C 解析：1.一次项系数-6，一半为-3，平方为9；2.移项得$$x^2+4x=1$$，两边加4，得$$(x+2)^2=5$$；4.二次项系数不为1，先化系数为1；5.一次项系数-8，一半平方为16。 填空题：1.25 2.4 3.二次项系数 4.$$\frac{9}{4}$$ 5.$$(x+1)^2=3$$ 解答题 1. 解：（1）原式$$=x^2-12x+6^2$$，填36；（2）原式$$=x^2+5x+(\frac{5}{2})^2$$，填$$\frac{25}{4}$$。 2. 解：（1）移项$$x^2-6x=-5$$，配方$$x^2-6x+9=4$$，$$(x-3)^2=4$$，解得$$x_1=5，x_2=1$$；（2）移项$$x^2+2x=8$$，配方$$(x+1)^2=9$$，解得$$x_1=2，x_2=-4$$。 3. 解：（1）系数化1：$$x^2-4x+1=0$$，移项配方得$$(x-2)^2=3$$，解得$$x_1=2+\sqrt{3}，x_2=2-\sqrt{3}$$；（2）系数化1：$$x^2-2x-3=0$$，配方得$$(x-1)^2=4$$，解得$$x_1=3，x_2=-1$$。 4. 解：原式配方得$$(x-2)^2-4+5=(x-2)^2+1$$。因为$$(x-2)^2\ge0$$，所以当$$x=2$$时，代数式取得最小值1。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程。 学习目标 2 说一说下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ② 3x2 +18x +24 = 0 都是一元二次方程 用配方法解 x2 + 6x + 8 = 0。 解：移项，得 x2 + 6x = -8 ， 配方，得 (x + 3)2 = 1。 开平方， 得 x + 3=±1。 解得 x1 = -2 ， x2= -4。 探究新知 3 说一说下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ② 3x2 +18x +24 = 0 都是一元二次方程 想一想怎么解 3x2 +18x +24 = 0 ? 探究新知 4 解方程：3x²+8x-3 = 0。 解：两边都除以3，得 x²+x-1 = 0。 配方，得 x²+x+(×)²-(×)²-1 = 0。 即 (x+)²- = 0。 移项，得 (x+)² = 。 两边开平方，得x+ = ±， 即x+ = ，或x+ = -。 所以x1 = ，x2= -3。 例1 知识点1 用配方法解一元二次方程 可以先将二次项系数化为1。 探究新知 方法指导 利用配方法一般可以将一个式子通过恒等变形化为 的形式。这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非 负数的意义来解决一些问题：若，则当 时,该代数式有最 小值;若，则当时,该代数式有最大值 。 举一反三 6 1.对于任意的实数，代数式 的值是一个( ) B A.非负数 B.正数 C.负数 D.整数 返回 举一反三 7 2.（1）当___时，多项式 的值最小，最小值为___； （2）当___时，多项式 的值最大，最大值为____； （3）当__,__时，多项式 取最小值, 这个最小值为____。 3 3 1 10 返回 举一反三 8 知识点1 用配方法解一元二次方程 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程： 基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法进行求解。 探究新知 利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 知识点1 用配方法解一元二次方程 一般步骤 示例(3x²+8x-3=0) 一化 二配   三移 四开 五解   x+ = ±。 (x+)² = 。 x²+x+()²-()²-1=0，即(x+)²- =0。 x²+x-1=0。 x1 = ，x2= -3。 化二次项系数为1。 如果n≥0，就可以左右两边同时开平方， 得x+m = ±。 移项，使方程变为(x+m)² = n的形式。 配方，使原方程变为(x+m)²-n = 0的形式。 方程的根为x = -m±。另外，如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。 探究新知 问题1 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系： h = 15t-5t²。 小球何时能达到10m高? 知识点1 用配方法解一元二次方程 15t-5t² = 10 探究新知 根据题意，得 15t-5t² = 10。 两边同时除以-5，得 t²-3t = -2。 配方，得 t²-3t+(-)² = -2+(-)²， 即 (t-)² = 。 两边开平方，得，即t- =±，即t- = ，或t- = - 所以t1 =1，t2 =2。 所以在1s和2s时，小球能达到10m高。 知识点1 用配方法解一元二次方程 探究新知 问题2 你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面? ①要将二次项系数化为1； ②配方时要注意常数项与一次项系数的数量关系； ③一元二次方程一般有两个根； ④若是解决实际问题，还需要检验方程的两个根是否都符合题意。 知识点1 用配方法解一元二次方程 探究新知 3.用配方法说明不论取何值代数式的值总是负数，当 取 何值时这个代数式的值最大？求这个最大值。 解： 。 ，， 不论取何值， 的值总是负数，且当时，这个代数式的值最大，最大值为 。 返回 举一反三 14 知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.用配方法解方程 时，配方的过程如下，开始出现错误 的一步是( ) C ； ； ； 。 A.① B.② C.③ D.④ 返回 考试考法 15 2.[太原期中] 用配方法解方程 ，配方后的方程是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 3. ［教材 例2变式］ 用配方法解一元二次方程 。 解：两边同除以2，得____ 。 配方，得__________ 。 ___。 两边开平方，得 ____。 ___, __。 2 返回 考试考法 17 4.用配方法解方程： （1） ； 解：二次项系数化为1， 得 ， 配方，得 ， 即， ， ， 。 考试考法 18 （2） ； 解：将二次项系数化为1， 得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即， ， ， 。 考试考法 19 （3） ； 解：方程两边都乘2，得 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即， ， ， 。 考试考法 20 （4） 。 解：整理原方程，得 ， 移项、二次项系数化为1， 得 ， 配方，得 , 即 ， ，， 。 返回 考试考法 21 5.用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 22 6. 已知，（为任意实数），则, 的大小关系为( ) A A. B. C. D.无法确定 返回 考试考法 23 7.小华设计了一个魔术盒，将任意实数对 放入其中，会得到一个新 的实数。若将实数对放入其中可得到实数,则 的 值为_ ______。 或 返回 考试考法 24 配方法解一元二次方程的一般步骤 一化 化二次项系数为1。 二配 配方，使原方程变为(x+m)²-n = 0的形式。 移项，使方程变为(x+m)² = n的形式。 如果n≥0，就可以左右两边同时开平方，得x+m = ±。 方程的根为x = -m±。另外，如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。 三移 四开 五解 课堂小结 谢谢观看 THANKS $