2.2 一元二次方程的解法 课时1-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法，系统讲解直接开平方法的适用形式、步骤及配方法的思路，通过梯子滑动等实际问题导入，搭建从特殊方程到一般方程求解的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学眼光观察现实（如梯子滑动问题发现数量关系）、数学思维推理（配方法推导过程培养运算与推理能力），通过例题变式与综合应用（正方形面积题）强化数学语言表达。小结系统梳理方法，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 课时1 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 2.2 一元二次方程的解法（课时1：直接开平方法）专项练习 本节课是一元二次方程求解的第一种基础方法——直接开平方法，适用于形如完全平方结构的一元二次方程。本课是后续配方法、公式法、因式分解法的基础，重点掌握可直接开平方的方程结构、开平方运算规则以及正负双根的书写规范，熟练解决简单一元二次方程求解问题。 一、核心知识梳理 1. 直接开平方法适用形式：形如 $$x^2=p(p\ge0)$$ 或 $$(mx+n)^2=p(p\ge0)$$ 的一元二次方程，可直接利用平方根的定义求解。 2. 求解原理：若一个数的平方等于 $$p(p\ge0)$$，则这个数为 $$p$$ 的平方根，即一正一负两个根。当 $$p=0$$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $$p>0$$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $$p<0$$ 时，方程无实数根。 3. 基本解题步骤：① 将方程整理为完全平方等于非负数的形式；② 两边同时开平方，保留正负号；③ 解出两个一元一次方程，得到方程的两个根；④ 规范书写根的结果。 4. 常见易错点：开平方时切勿遗漏负根；负数不能开平方，无实数根；整体括号结构需整体开方，不可单独开方；结果需化为最简二次根式。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（） A.$$x^2+2x=0$$ B. $$(x-1)^2=4$$ C. $$x^2-3x+2=0$$ D. $$x^2+4x-1=0$$ 2. 方程 $$x^2=9$$ 的根是（） A. $$x=3$$ B. $$x=-3$$ C. $$x=\pm3$$ D. 无实数根 3. 方程 $$(x+2)^2=0$$ 的根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 方程 $$x^2=-5$$ 的解为（） A. $$x=\pm\sqrt{5}$$ B. $$x=\sqrt{5}$$ C. $$x=-\sqrt{5}$$ D. 无实数根 5. 方程 $$(2x-1)^2=16$$ 的其中一个根是（） A. $$\frac{5}{2}$$ B. $$1$$ C. $$2$$ D. $$4$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 若 $$x^2=16$$，则 $$x=$$________。 2. 方程 $$(x-3)^2=25$$ 可直接开平方得 $$x-3=$$________。 3. 方程 $$x^2-7=0$$ 的根为________。 4. 当方程右侧为________数时，直接开平方法有两个不相等实数根。 5. 方程 $$(3x+2)^2=0$$ 的根是________。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）用直接开平方法解下列基础方程：（1）$$x^2-36=0$$ （2）$$2x^2=8$$ 2.（12分）解含括号结构方程：（1）$$(x+1)^2=9$$ （2）$$(x-2)^2=5$$ 3.（18分）解复杂型直接开平方法方程：（1）$$(2x-3)^2=16$$ （2）$$4(x-1)^2=9$$ 4.（18分）综合应用题：已知正方形面积比边长为4的正方形面积大21，设新正方形边长为x，列方程并利用直接开平方法求边长x。 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 解析：1.只有完全平方等于常数的结构适合直接开平方法；3.平方等于0，方程有两个相等实数根；4.负数无平方根，方程无实数根；5.开方得$$2x-1=\pm4$$，解得$$x=\frac{5}{2}$$或$$x=-\frac{3}{2}$$。 填空题：1.$$\pm4$$ 2.$$\pm5$$ 3.$$x=\pm\sqrt{7}$$ 4.正 5.$$x_1=x_2=-\frac{2}{3}$$ 解答题 1. 解：（1）$$x^2=36$$，$$x=\pm6$$，即$$x_1=6，x_2=-6$$；（2）$$x^2=4$$，$$x=\pm4$$，即$$x_1=2，x_2=-2$$。 2. 解：（1）$$x+1=\pm3$$，解得$$x_1=2，x_2=-4$$；（2）$$x-2=\pm\sqrt{5}$$，解得$$x_1=2+\sqrt{5}，x_2=2-\sqrt{5}$$。 3. 解：（1）$$2x-3=\pm4$$，$$2x=3\pm4$$，得$$x_1=\frac{7}{2}，x_2=-\frac{1}{2}$$；（2）$$(x-1)^2=\frac{9}{4}$$，$$x-1=\pm\frac{3}{2}$$，得$$x_1=\frac{5}{2}，x_2=-\frac{1}{2}$$。 4. 解：列方程得 $$x^2-4^2=21$$，整理得$$x^2=37$$，开方得$$x=\pm\sqrt{37}$$。边长为正数，故新正方形边长为$$\sqrt{37}$$。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程。 2.理解配方法的基本思路。 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 学习目标 2 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 探究新知 3 问题 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程? x²=4， (x+1)²=9等。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²=5，可根据平方根的意义求解， 得x1=，x2=-； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程2x²+3=5，可化为x²=1， 根据平方根的意义求解， 得x1=1，x2=-1； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 可以先将方程变形为 x2=a 的形式后再开平方。 探究新知 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²+2x+1=5可化为(x+1)²=5， 由平方根的意义知，x+1=±， 所以x1=-1+，x2=-1-。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 直接开平方法解一元二次方程： 1.对于方程x²=n，当n≥0时，它可以转化为x=±， 所以x1=，x2=-。 2.对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±， 所以x1=-m，x2=--m。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 知识点1 直接开平方法 1.方程 的解是( ) C A. B. C.， D.， 返回 举一反三 10 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 注意： 1.直接开平方法只适用于能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当n为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况。 探究新知 解方程：(x+1)²-4=0。 解：移项，得(x+1)²=4。 两边开平方，得x+1=±2， 即x+1=2，或x+1=-2， 所以x1=1，x2=-3。 例1 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 探究新知 2.一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一 元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 13 3.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 14 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗?你遇到的困难是什么? 等式的左边不是完全平方式的形式，不能用直接开平方法求解。 联想(2)中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗? 知识点2 用配方法解一元二次方程 将方程转化为(x+m)²=n (n≥0)的形式 即 x²+12x+()²-()²-15=0。 所以 x²+12x+36-51=0， 所以 (x+6)²=51。 探究新知 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗? 我们可以将方程x²+12x-15=0转化为 (x+6)²=。 两边开平方，得 x+6=±。 因此我们说方程x²+12x-15=0有两个根， x1=-6，x2=--6。 x2的值不符合要求，因为实际问题中梯子底端滑动的距离不可能是负值。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x1，x2都符合原问题的要求吗？ 探究新知 知识点2 用配方法解一元二次方程 思路：将方程转化为(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 探究新知 填上适当的数，使下列等式成立： x²+12x+ =(x+6)²； x²-4x+ =(x- )² ； x²+8x+ =(x+ )²。 观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 知识点2 用配方法解一元二次方程 36 4 16 2 4 常数项是一次项系数一半的平方。 探究新知 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x2+ax+( )2=(x+ )2 探究新知 解方程：x²+8x-9=0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x²+8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x²+8x+()²=9+()²， 即 (x+4)²=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 例2 知识点2 用配方法解一元二次方程 探究新知 4. 解方程： 。 解：直接开平方，得____________。 即__________，或____________。 解得___, ____。 6 返回 举一反三 21 5.用直接开平方法解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 系数化为1，得 , 直接开平方，得， 。 （2） ; 解：开平方，得 。 解得, 。 举一反三 22 （3） 。 解：移项，得 。 整理，得 。 开平方，得 。 解得, 。 返回 举一反三 23 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 知识点2 用配方法解一元二次方程 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 探究新知 知识点2 配方 6.［教材 操作·思考变式］ 填空： （1）___ ； （2）_______ ； （3）__ ； （4）____ 。 4 36 6 返回 举一反三 25 知识点3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 7.用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 26 8.用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形式，则 的值为( ) C A. B.2 027 C. D.1 返回 举一反三 27 9.[教材P38随堂练习T1变式] 用配方法解下列方程： （1）[徐州中考] ； 解：移项，得 ， 配方，得，即 ， 开平方，得 ， 解得 ， 即， 。 举一反三 28 （2） ； 解：移项，得 。 配方，得 ， 即 。 开平方，得 。 ， 。 举一反三 29 （3） 。 解：移项、合并同类项，得 。 配方，得 ， 即 。 开平方，得 。 ， 。 返回 举一反三 30 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 适用范围： x²=n或(x+m)²=n(n≥0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 课堂小结 谢谢观看 THANKS $