2.2+一元二次方程的解法 第4课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用因式分解法解一元二次方程，通过复习配方法和公式法导入，结合小球运动实际问题引出方程，对比不同解法搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以实际问题驱动探究，通过错误解法分析培养推理意识，用表格对比解法适用范围发展模型意识。采用问题探究、变式练习和步骤归纳的教学方法，帮助学生理解解法本质，教师可借助实例提升教学效率。

2.2 一元二次方程的解法 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 第4课时 用因式分解法解一元二次方程 1 用公式法解一元二次方程应先将方程化为__________。 用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_________________的形式。 复习导入 (x+m)2 = n（n≥0） 一般形式 探究与应用 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系:h=15t-5t2.小球从弹出到落回地面,经过了几秒? 设小球经过t s落回地面,此时h=0,于是可得方程15t-5t2=0. 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解,但他们的解法各不相同. 探究一　用因式分解法解一元二次方程 问题导入 小颖:由方程15t-5t2=0, 得5t2-15t=0, 因此t=, 所以t1=0,t2=3. 小明:由方程15t-5t2=0, 得5t2=15t. 两边都约去5t, 得t=3. 小亮:由方程15t-5t2=0, 得5t2-15t=0, 即5t(t-3)=0. 于是t=0,或t-3=0, 所以t1=0,t2=3. 分析上面的求解过程,他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 略 探究新知 一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度 h (单位:m) 与运动的时间 (单位:s) 满足关系：h = 15t－5t2。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0，于是可得方程 15t－5t2 = 0。 因式分解法:当一元二次方程的一边为0,而另一边能够分解成两个一次因式的　　　时,就可以根据“如果a·b=0,那么a=0或b=0”将方程转化为两个一元一次方程来求解,这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.  概括新知 乘积 由方程 15t－5t2 = 0， 得 5t2－15t = 0。 所以 t1 = 0，t2 = 3。 因此 15t－5t2 = 0 由方程 15t－5t2 = 0，得 5t2 = 15t。 两边都约去 5t， 得 t = 3。 15t－5t2 = 0 错误的，约去 t 的时候必须保证 t ≠ 0，他的做法漏掉了根为0的情况。 (教材典题)解方程: (1)5x2=4x; 　　 应用一　运用因式分解法求解一元二次方程 例 1 解:(1)原方程可变形为5x2-4x=0, x(5x-4)=0. x=0,或5x-4=0. ∴x1=0,x2=. (2)x(x-2)=x-2. 解: (2)原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0, (x-2)(x-1)=0. x-2=0,或x-1=0. ∴x1=2,x2=1. 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。 归纳总结 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。 15t－5t2 = 0 5t(t－3) = 0 例 解方程： （1）5x2 = 4x； （2）x(x－2) = x－2。 解：（1）原方程可变形为 5x2 - 4x = 0 ， x(5x - 4) = 0 ， x = 0 ，或 5x–4 = 0。 （2）原方程可变形为 x(x - 2) – (x－2) = 0 ， (x－2)(x－1) = 0 。 x－2 = 0 ，或 x－1 = 0。 x1 = 2 ，x2 = 1。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移——方程的右边等于0; (2)分——方程的左边因式分解成乘积的形式; (3)化——方程化为两个一元一次方程; (4)解——写出方程的两个解. 懂 步骤 用因式分解法解方程 x2 + 5x + 6 = 0。 思考 （x + p）（x + q）= x2 +（p + q）x + pq 2 + 3 = 5 2 × 3 = 6 x2 + 5x + 6 = x2 + (3 + 2)x + 3×2 = (x + 2)(x + 3) x + 2 = 0，或 x + 3 = 0。 x1 = －2 ，x2 = －3。 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个___________的乘积。 至少_________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个_____________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 解下列方程: (1)x2-9=2(x+3); 　　 变式 解:(1)原方程可变形为 (x+3)(x-3)-2(x+3)=0, (x+3)(x-3-2)=0. x+3=0,或x-3-2=0. ∴x1=-3,x2=5. (2)(2x+1)2=5(1+2x); 解:(2)原方程可变形为 (2x+1)2-5(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-5)=0. 2x+1=0,或2x+1-5=0. ∴x1=-,x2=2. （1）解方程 x2－4 = 0，(x + 1)2－25 = 0，x2 + 2x－3 = 0，x2 + 6x－8 = 0。 （2）你用了哪些方法求解（1）中的方程？ 操作·思考 x2－4 = 0 解：原方程可变形为 x2 = 4 x = ±2 x1 = －2，x2 = 2。 解：原方程可变形为 (x + 2)(x－2) = 0 x + 2 = 0 或 x－2 = 0 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 解：原方程可变形为 (x + 1 + 5)(x + 1－5) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4。 操作·思考 (x + 1)2－25 = 0 解：原方程可变形为 (x + 1)2 = 4 x +1 = ±2 x + 1 = 2 或 x + 1 = －2 x1 = －2，x2 = 2。 直接开平方法 因式分解法 概括新知 一元二次方程的解法的各自特点: 直接开平方法:适用于形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,操作简单直接,能快速求出方程的解. 配方法:当二次项系数为1时,通过在方程两边加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式.这是一种通用的方法. 公式法:是一种通用且“机械”的方法,只要把方程化为一般形式,确定a,b,c的值,代入公式就能求解. 因式分解法:将一元二次方程通过因式分解转化为两个一次因式乘积等于0的形式.适用于因式分解较简便的方程. x2 + 2x－3 = 0 解：原方程可变形为 (x + 3)(x－1) = 0 x + 3 = 0 或 x－1 = 0 x1 = －3，x2 = 1。 操作·思考 解：移项，得 x2 + 2x = 3， 两边都加12，得 x2 + 2x + 1 = 4。 即 (x + 1)2 = 4。 两边开平方，得 x + 1 = ±2。 x + 1 = －2 或 x + 1 = 2 x1 = －3，x2 = 1。 因式分解法 配方法 操作·思考 x2 + 6x－8 = 0 解：原方程可变形为 (x－2)(x－4) = 0 (x + 6)(x－4) = 0 x + 6 = 0 或 x－4 = 0 x1 = －6，x2 = 4. 解：a = 1，b = 6，c = －8。 ∵ b2 - 4ac = 62 - 4×1×(-8) = 68 > 0， 因式分解法 公式法 选用适当的方法,解下列方程: (1)x2+8x-5=0; 　　　 应用二　灵活运用一元二次方程的解法 例 2 解:(1)移项,得x2+8x=5. 配方,得x2+8x+16=5+16,即(x+4)2=21. 开平方,得x+4=±. ∴x1=-4+,x2=-4-. (2)2x2+5x+2=0; 解:(2)这里a=2,b=5,c=2. ∵b2-4ac=52-4×2×2=9>0, ∴x=, 即x1=-,x2=-2. 回顾·反思 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax+m)2=n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 【延伸拓展】 十字相乘法解一元二次方程 (1)将x2+6x+8分解因式,可以按下面的方法解答: 解:①分解二次项和常数项:x2=x·x,8=2×4. ②竖写分解结果,交叉相乘再相加,验证一次项. ⇒4x+2x=6x. ③横写分解结果:x2+6x+8=(x+2)(x+4). 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法. (2)根据乘法原理,若a·b=0,则a=　 或b=　　.  (3)试用上述方法和原理解下列方程: ①x2+3x-4=0;　 0 0 解:(3)①x2+3x-4=0, (x-1)(x+4)=0, ∴x-1=0,或x+4=0,解得x1=1,x2=-4. 课堂小结 当一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个____________的乘积。 至少________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个______________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 课堂小结 1.方程x(2x+1)=0的解为　　　　　　.  2.一个数的平方等于这个数的一半,则这个数是　　　.  | 课堂检测 | x1=0,x2=- 0或 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $