第二章有理数的运算达标练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以纠错辨析与情境应用为特色，通过分层题型构建“概念理解-运算强化-综合探究”的有理数运算方法体系，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-2、填空9-11|纠错辨析（17-18题）、符号规则强化|从有理数概念到加减乘除法则，形成运算闭环| |概念应用|单选3-6、填空10-13|科学记数法转化、实际问题建模（6题打车费）|结合数轴（3题）、温度（10题）等情境，体现数感与量感| |综合探究|解答22-24|除方运算转化（22题）、数轴距离数形结合（24题）|从新定义运算到跨学科应用，发展推理意识与创新意识|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年七上达标练习—有理数的运算 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024七年级上册第二章—有理数的运算 一、单选题（32分） 1．下列选项中，结果小于的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 6．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 7．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 8．在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（32分） 9．_____． 10．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可达到零上，其背阳面温度可达到零下．若零上记作，则零下记作( )；零上与零下相差( )． 11．计算：________． 12．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为25.8万平方米，那么25.8万用科学记数法可表示为________平方米． 13．一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 14．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 15．算式 的计算结果的整数部分为_____． 16．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 三、解答题（86分） 17．下面的解题过程正确吗？如果不正确，请指出错误的原因并给出正确的解答． (1)； (2)． 18．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 19．计算下面各题： (1)； (2)； 20．下表是某地连续5天内每天的最高气温和最低气温记录，在这5天中，哪天的温差（最高气温与最低气温的差）最大？哪天的温差最小？ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 最高气温/ 5 6 8 11 最低气温/ 2 21．把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 无理数集合{________________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 正分数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 22．综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 23．某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 24．数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年七上达标练习—有理数的运算 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024七年级上册第二章—有理数的运算 一、单选题（32分） 1．下列选项中，结果小于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先排除非负及等于的选项，再通过比较负数的绝对值与1的大小判断． 【详解】解：A选项：， 不小于． B选项：为正数， 大于． C选项：， ． D选项：， ， ． 故答案为D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，此选项错误； B. ，此选项正确； C. ，此选项错误； D. ，此选项错误． 3．如图，数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置判断，的符号及绝对值大小关系，然后根据有理数的运算法则判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，，故A，B，C正确． ∵，， ∴，故D错误． 4．2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 5．甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 6．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【答案】A 【详解】解：滴滴打车总费用为（元）， 曹操出行总费用为（元）， ∵， ∴滴滴软件更划算． 7．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 8．在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项． 【详解】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数， ∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求， B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求， D．是的倍数，符合条件， 故选：D． 二、填空题（32分） 9．_____． 【答案】4 【分析】先计算去括号的结果，再计算绝对值，最后求和得到最终结果． 【详解】解：根据去括号法则，负负得正，可得 ， 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ， 则原式 ． 10．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可达到零上，其背阳面温度可达到零下．若零上记作，则零下记作( )；零上与零下相差( )． 【答案】 【分析】题目规定零上温度记为正，根据相反意义的量可得到零下温度的记法； 利用有理数减法计算两个温度的差值． 【详解】答题空1 解：因为题目规定零上记作，正负数表示相反意义的量， 所以零下记作． 答题空2 零上与零下相差：． 11．计算：________． 【答案】 / 【详解】解：． 12．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为25.8万平方米，那么25.8万用科学记数法可表示为________平方米． 【答案】 【详解】解：∵万平方米平方米， ∴平方米用科学记数法可表示为平方米． 13．一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 【答案】295 【详解】解：∵第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”， 第二瓶饮料检测员记的是“”， ∴第二瓶饮料实际净含量为：． 14．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【分析】根据所给定义先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 则． 15．算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 16．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【详解】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 三、解答题（86分） 17．下面的解题过程正确吗？如果不正确，请指出错误的原因并给出正确的解答． (1)； (2)． 【答案】(1) 解：解题过程正确 (2) 解：解题过程不正确，错误原因：除数为几个数的和时，不能将被除数分别除以除数的每一项， 原式 正确结果为． 【分析】根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 18．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【详解】略 19．计算下面各题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．下表是某地连续5天内每天的最高气温和最低气温记录，在这5天中，哪天的温差（最高气温与最低气温的差）最大？哪天的温差最小？ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 最高气温/ 5 6 8 11 最低气温/ 2 【答案】第3天的温差最大，第1天的温差最小 【分析】分别计算每一天的温差，再比较得出结论． 【详解】解：每天的温差分别为： 第1天：， 第2天：， 第3天：， 第4天：， 第5天：， 故第3天的温差最大，第1天的温差最小． 21．把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 无理数集合{________________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 正分数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 【答案】 ，，，； ； ，； ，； ． 【分析】本题考查实数的分类，弄清概念是关键．先化简各数，再根据非负有理数、无理数、负整数、正分数、负分数的定义分类即可． 【详解】解：先化简各数：，，，是无限不循环小数为无理数．根据定义分类得： 非负有理数集合{，，，， …}； 无理数集合{，…}； 负整数集合{，，…}； 正分数集合{，，…}； 负分数集合{，…}． 22．综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 23．某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 24．数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 学科网（北京）股份有限公司 $