第2章 有理数的运算 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一运算到规律探究的知识进阶，适配单元复习需求，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一运算与概念（四则运算、符号判定等）|基础计算与选择填空结合，强化运算准确性| |综合应用|多知识点综合与实际应用（实际情境、参数运算等）|结合温度、营业额等生活情境，培养模型意识| |拓展探究|规律探究与数学思想（裂项相消、新定义运算等）|通过材料阅读与规律归纳，发展创新意识|

2026-2027学年度人教版数学七年级上册课时同步训川练 第二章有理数的运算全章综合训练 课时目标 熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算顺序，能灵活运用运算律进行简便 计算，提高运算的准确性与速度。 2.综合应用倒数、相反数、绝对值等概念，以及科学记数法与近似数，解决包含实际情 境、含参数和条件求解的复杂问题。 3. 通过规律探究题，拓展思维，体会数形结合与从特殊到一般的数学思想，提升综合应 用能力。 课时目录 知识点01：有理数四则运算与运算律的综合简便计算 知识点02：含乘方的综合混合运算 知识点03：有理数运算中的俯号判定综合 知识点04：倒数、相反数、绝对值在运算中的综合应用 知识点05：科学记数法与近似数综合 1/12 知识点O6:有理数运算在实际情境中的综合应用 知识点07：有理数运算规律探究题 【知识点01：有理数四则运算与运算律的综合简便计算 综合加减乘除运算，根据算式特征选择交换律、结合律、分配律进行简便计算。 注意：除法先化为乘法，乘除混合转化为连乘；加减混合统一为加法。 常见策略：凑整、相反数结合、同号结合、提取公因数等。 1.(26-27七年级上江苏徐州开学考试)计算下面各题. (1)14.6-3.73-6.27: a08o+ (3)32×1.25×0.25； 4 (4)0.8×38+54×+80%×8 2.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)计算： 09*(-4) 3 a32.8+(-9.6)+(-154)-(-96) 3.(24-25七年级上福建龙岩阶段检测)计算： a6*号-(3( 4.(25-26六年级上山东威海·期末)【材料阅读】计算： 解法：原式=0：兮50：好+50：日 12 2/12 =150-200+600=550 (111 解法二：原式的倒数为(342÷50 (11+÷50 3412 =1x1_1x111 3504^50'1250 300· 所以，原式=300. 【解法评价】 (1)你认为上述正确的解法是一；（填“解法一”或“解法二”） 【解法应用】 (2)利用上述正确的解法计算： 〔-6号引 知识点02：含乘方的综合混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号内。 注意：乘方底数为负数或分数时需加括号；区分一与（一；同级运算从左到右。 5.(24-25七年级上·云南昆明阶段检测)计算： 0+-2}- (248)÷6-(-5)×(-4)+(-2) 62y八×(-3-(6( 6（2525七年级上内蒙古乌兰家布期中)计算。5(-(3旷(6)】 7.(2026吉林辽源一模)计算：-1-(2-05)××1-(-3儿. 3/12 8.(25-26七年级上·重庆期中)计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 0w3-2-(2刘 ②+子×3-58+(4-明 知识点03：有理数运算中的符号判定综合 综合判定符号： 多个数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时为负： 加减混合中注意正负号变化： 乘方中负数奇次幂为负，偶次幂为正： 除法中同号得正，异号得负。 9.(25-26七年级上山西晋城期中)4个均不为0的有理数相乘，积为负数.下列关于这4个有理数的描 述，可能正确的是() A.2个正数，2个负数 B.1个正数，3个负数 C.都是负数 D,都是正数 10.(25-26七年级上全国期末)下列算式中，积为负数的是() A. 0×(-8) B 4×(-5)×(-3) c.（-2.5)×(-3) D.（-2)×(-3)x(-4) 11.(25-26七年级上天津和平·阶段检测)下列算式中，积为负数的是() 0×(-5) B.4×(-0.5)×(-10) e.(2(到 D.（-1.5)×(-2) 12.(25-26七年级上·山东青岛阶段检测)有理数a在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是() -20 a A.-2+a是负数 B.-2-a是正数 C.a+2是正数 D.a-2为0 知识点04：倒数、相反数、绝对值在运算中的综合应用 4/12 利用相反数和为0、倒数积为1、绝对值的非负性，结合有理数运算法则求解代数式的值。 常见题型：已知α，b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值为2，求代数式的值。 注意分类讨论。 13.(25-26六年级下·黑龙江绥化阶段检测)-3的倒数是—，-3引= 一，3的相反数是 14.(2526入年级下果龙江经化阶段检》一的相反数是 ,3 -14的绝对值是 倒数是 4 15.(25-26六年级上山东泰安期末)2026的倒数是一： 3的相反数是 2 、2 3 3 4(填“”或“”). 16 。(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)在数轴上表示4和它的相反数，一4和它的倒数，绝对值等于 2的数，再用“<”将所有数连接起来。 知识点05：科学记数法与近似数综合 用科学记数法表示绝对值较大的数，并能还原： 根据精确度要求用四舍五入法取近似数： 判断用科学记数法表示的近似数的有效数字和精确度： 比较科学记数法表示数的大小。 17.(25-26七年级下江苏扬州期末)2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周 年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相.本次赛事规模达23000人，数 23000用科学记数法可表示为 18.(2026广东中山一模)华为Mate60RS非凡大师配备了令人惊艳的6.82英寸OLED显示屏，能够呈 现出107000万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则107000万用科学 记数法表示为 19.(25-26八年级上江苏扬州期末)用四舍五入法将3.8563精确到0.01的近似数是一· 20.(25-26七年级上·福建泉州期末)响应国家体育健康年号召，2025年12月7日晋江马拉松热情开跑， 万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松 的半马赛道总里程约为21.098公里，其中近似数“21.098”精确到」 位 5/12 知识点06：有理数运算在实际情境中的综合应用 将有理数运算应用于实际问题，如温度变化、海拔高度、收支计算、路程问题等。 关键：根据题意列出有理数算式，注意单位换算和符号意义，计算结果并解释实际含义。 21.(25-26七年级上陕西西安阶段检测)周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6 枚).回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量6×70克，她们把6枚月饼的质量称重后统 计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为( 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏 -0.7 +0.2 +0.8 0.4 -0.6 差克 A.420.3克 B.423克 C.420克 D.417克 22.(25-26七年级上山东德州期中)某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准， 超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10,4，-8，+1， 0,+10: (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 23.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)某便利店一周每日营业额以500元为标准，超出记正、不足 记负： 周一：-28周二：+35周三：16周四：+42周五：-9周六：+50周日：+22 (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元： (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按15%额外盈利，求这周总盈利多少元. 24,(2026北京中考真婴)如图所示，公路旁自西向东依次有，4，”，A共6处住宅和一所学校. 每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车 站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东 行驶至学校， A Az As As As As 学校 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5in，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为 6/12 min,校车从处至学校的行驶时间为 20 min ，一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至 车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）· A (1)若车站设在处，则住在°处的学生的理想通勤时间为 min (2)若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则k一 知识点07：有理数运算规律探究题 观察数列、算式或图形中的有理数运算规律，归纳通项公式或预测结果。 常见：数字求和、乘方规律、符号交替规律等。 方法：从特殊到一般，猜想并验证。 25.(25-26七年级上·江西南昌·阶段检测)探究有规律分数的求和方法一一裂项相消应用 【规律探寻】 1111 观察一组数2，，2,20,30：…，尝试分析其规律并解决相关问题。 1 (1)根据规律，第8个数是一，156是第一个数： 1 1111111 (2)我们知道：1k212,2X323,3x434,,那么：用含有n的式子表示你发现的 规律 【方法应用】 aa+*6写458 1 166·这种方法叫“裂项相 消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉. 111 1 1 (3)运用上述经验完成下面的计算：1×22×33×4 …+ 2023×20242024×2025: 26.(25-26七年级上福建三明阶段检测)阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算： 1+2-0+2x2-3 1+2+3-0+3x3=6 1+2+3+4-+4)×4-10 2 7/12 1+2+3+4+5-0+5)x5-15 2 (1)利用上述规律计算：1+2+3+…+101= (②)计算： 27.(25-26七年级上江苏淮安·阶段检测)阅读探究： ①1P=1x2x3 6: ②1P+22=2×3x5 6 ③1+22+32=3×4×7 6: ④1+22+32+4=4×5x9 6;… (1)根据上述规律，则⑤1P+22+32+42+52=一 (2)根据以上式子的规律，请写出第n个式子： (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：62+7+82+92+10+112+122， 28.(25-26七年级上广东惠州期中)甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算.“然后 他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式.（+2)*(+3)=+5，（)*(-)=+10 (←3(+6)=9，(4)(-4)=-8.0*(+=1,0(-7)=7.乙同学看了这些算式后说：“我知道你 定义的*（加乘）一运算的运算法则了，”聪明的你也明白了吗？ (I)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： (-2)*(-7)=,(+4)*(3)= ,0*(5)=,（1)*[-5列*0]= (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘)运算的运算法则.两数进行*（加乘）运算时，同号得 异号得一、并把一相加.特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的 结论 8/12 全章训练 一、选择题 1.(2026河南中考真题)某地一天早晨的气温是-3℃，到中午升高了5℃，则中午的气温是() A.-3℃ B.-2C C.2C D.5C 2.(2026江苏泰州二模)泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况.若当日凌晨 水位为-12米（以警戒水位为基准），中午上涨了0.8米，下午又下降了0.5米，则下午的水位为 () A.-1.5米 B.-0.9米 C.-0.5米 D.0.4米 3.(25-26七年级上湖南湘潭·期中)下列说法正确的是() A.9不是有理数 B.5的倒数是5 C.0的相反数与绝对值都是它本身 D.H=1 则x-1 4.(2026江苏徐州一模)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() a b -21012→ A.a=-b B.回小 C.ab>o D a-b>0 5.(25-26八年级下·湖南长沙期末)仲夏端阳，楚韵悠长.这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升.据 手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示 为() A.0.481×10 B.4.81×10 C.48.1×10 D.4.81×10 6.(2526七年级上四川遂宁期末)已知=5，广=4，且9<0，则+y的值等于() A.9或-9 B.7或-7 C.3或-3 D.1或-1 又226七年绿上山东青色期大若(，(.c-（,4-(厂，则 b,c,d的大小关系正确的是() 9/12 A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.d>c>b>a D.b>d>c>a 8.(25-26七年级下·江苏·期中)数的进制是一种计数方式.如十进制数用0至9这十个数字表示，满十 进一，如213=2×10+1×10+3；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数 1101可用式子1×2+1×22+0×2+1转换为十进制数13.下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制 数14，②十进制数17可转化为二进制数10001：③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转 化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的 二进制数转化为十进制数是7；正确的有() 图1 图2 图3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.(25-26七年级上·陕西西安期中)点A在数轴上表示的数为-2，点P从数轴上点A处开始，向左移动 5个单位长度到达点B.点C与点B的距离为9个单位长度.那么点C表示的数为 10.(25-26七年级上江苏徐州：期中)点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单 位长度到达点B.若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是 11.(2026·江西赣州一模)一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是 2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要 元 ab beca abe 12.(25-26七年级上四川达州期末)已知a、b、c为非零有理数， ab"be'caabe的值为 13.(25-26七年级上·重庆黔江·期末)学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的 弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为1：400，每段直道长度为21cm,半圆形弯道的直径为 18.5cm,该体育场实际跑道长度约为m（注：取兀的值为3.14，最后结果保留整数). 10112 ←-21cm 18.5cm 个 体育场跑道示意图比例尺1：400 14.(25-26七年级上福建泉州开学考试)x、y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下 x※y=6x+5yx△y=3x ,那么 2※3)△4= 00*12 15。(25-26七年级上河南郑州期中)算式1 01*130 102 …+2110 10的计算结果的整数部分为 16.(2026浙江模拟预测)阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即2,2， 2等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和2+2+2+…+2+2”时，我们可以假设这个求和 的结果为： S=2+22+23+…+2m-1+2” 我们将每一项都乘以2，就可以得到2S=2+2+2+…+2”+21,我们将两个数相减就可以得到 S=2H-2 现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三 次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点一 三、解答题 17.(25-26七年级上宁夏中卫期中)计算： -20)+(+12)-(-5)-(+7） e18-6(-2刘x】 ④2×4+(-+[2-(-3刃. 18.(25-26七年级上山东日照·阶段检测)计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： 11/12 42}3 a005×+43 e6-日+83 092(-9) 19.(25-26七年级上福建厦门期中)研究下列式子，你能发现什么规律？ 1x3+1=222×4+1=323×5+1=424×6+1=52 (1)第⑦个式子是 (2)请用含n(n为正整数)的式子表示你发现的规律 (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 1 20.(25-26七年级上四川广元期末)某文具厂工人刘师傅一天生产20盒铅笔，以每盒50克为标准，超 过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 盒数 (1)20盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这20盒铅笔的实际总质量是多少克？ 3)若生产每克铅笔的成本是0.05元，这批铅笔按每盒12元的价格售出15盒后，剩余5盒以每盒10元 的优惠价卖出.这20盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 12112 2026－2027学年度人教版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数的运算 全章综合训练 ▌课时目标 1. 熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算顺序，能灵活运用运算律进行简便计算，提高运算的准确性与速度。 2. 综合应用倒数、相反数、绝对值等概念，以及科学记数法与近似数，解决包含实际情境、含参数和条件求解的复杂问题。 3. 通过规律探究题，拓展思维，体会数形结合与从特殊到一般的数学思想，提升综合应用能力。 ▌课时目录 知识点01：有理数四则运算与运算律的综合简便计算 知识点02：含乘方的综合混合运算 知识点03：有理数运算中的符号判定综合 知识点04：倒数、相反数、绝对值在运算中的综合应用 知识点05：科学记数法与近似数综合 知识点06：有理数运算在实际情境中的综合应用 知识点07：有理数运算规律探究题 ▌知识点01：有理数四则运算与运算律的综合简便计算 综合加减乘除运算，根据算式特征选择交换律、结合律、分配律进行简便计算。 注意：除法先化为乘法，乘除混合转化为连乘；加减混合统一为加法。 常见策略：凑整、相反数结合、同号结合、提取公因数等。 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）计算下面各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的混合运算法则以及乘法运算律计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法法则计算即可得出结果； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1)24 (2)17.4 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． ▌知识点02：含乘方的综合混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 注意：乘方底数为负数或分数时需加括号；区分－an与(－a)n；同级运算从左到右。 5．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】 (1)6 (2) (3) 【详解】 （1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 7．（2026·吉林辽源·一模）计算：． 【答案】． 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌知识点03：有理数运算中的符号判定综合 综合判定符号： 1. 多个数相乘，负因数个数为偶数时积为正，奇数时为负； 2. 加减混合中注意正负号变化； 3. 乘方中负数奇次幂为负，偶次幂为正； 4. 除法中同号得正，异号得负。 9．（25-26七年级上·山西晋城·期中）4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 10．（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 11．（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法法则，计算各选项的积，判断其符号即可. 【详解】解： A、，不是负数，不符合题意； B、，不是负数，不符合题意； C、，是负数，符合题意； D、 ，不是负数，不符合题意； 故选C. 12．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A．是负数 B．是正数 C．是正数 D．为0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算，根据数轴可得，据此结合有理数的加减计算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，， ∴四个选项中，只有C选项中的结论正确，符合题意， 故选：C． ▌知识点04：倒数、相反数、绝对值在运算中的综合应用 利用相反数和为0、倒数积为1、绝对值的非负性，结合有理数运算法则求解代数式的值。 常见题型：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求代数式的值。 注意分类讨论。 13．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 14．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是； ，即的绝对值是； 的倒数是． 15．（25-26六年级上·山东泰安·期末）2026的倒数是______；的相反数是______；______；______（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义、相反数的定义、绝对值的性质以及有理数的大小比较．根据倒数的定义，2026的倒数是；根据相反数的定义，的相反数是；根据绝对值的非负性， = ；比较和的大小，先通分再比较． 【详解】解：2026的倒数为；的相反数为；； ，，， 故． 故答案为：，，， 16．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【答案】在数轴上表示：， 【详解】解：4的相反数：； 的倒数：； 绝对值等于的数：， 在数轴上表示：略 用 “” 将所有数连接起来为． ▌知识点05：科学记数法与近似数综合 1. 用科学记数法表示绝对值较大的数，并能还原； 2. 根据精确度要求用四舍五入法取近似数； 3. 判断用科学记数法表示的近似数的有效数字和精确度； 4. 比较科学记数法表示数的大小。 17．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）2026年3月29日，扬州半程马拉松鸣枪开跑，这是扬马创办20周年的里程碑赛事，也是赛事升级为世界田联白金标后的首次亮相．本次赛事规模达23000人，数23000用科学记数法可表示为______________． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 18．（2026·广东中山·一模）华为 非凡大师配备了令人惊艳的英寸 显示屏，能够呈现出万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则 万用科学记数法表示为_____． 【答案】 【详解】万． 19．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）用四舍五入法将3.8563精确到0.01的近似数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法则，精确到需看千分位数字，千分位是6，大于等于5，向百分位进位，即可作答． 【详解】解：用四舍五入法将精确到的近似数是， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． ▌知识点06：有理数运算在实际情境中的综合应用 将有理数运算应用于实际问题，如温度变化、海拔高度、收支计算、路程问题等。 关键：根据题意列出有理数算式，注意单位换算和符号意义，计算结果并解释实际含义。 21．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 22．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 23．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 24．（2026·北京·中考真题）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 34 5 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解，特别注意理想通勤时间之和计算时校车时间需要计算6次． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 这6名学生从自家住宅至处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， ∵一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和， ∴这6名学生的理想通勤时间之和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小． ▌知识点07：有理数运算规律探究题 观察数列、算式或图形中的有理数运算规律，归纳通项公式或预测结果。 常见：数字求和、乘方规律、符号交替规律等。 方法：从特殊到一般，猜想并验证。 25．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 26．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算：_ (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 27．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 28．（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3) 解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）略 ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·河南·中考真题）某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 2．（2026·江苏泰州·二模）泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米． 3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 【答案】C 【详解】解：A、9是整数，属于有理数，故本选项说法错误； B、的倒数是，故本选项说法错误； C、0的相反数与绝对值都是0，即都是它本身，故本选项说法正确； D、若，则，故本选项说法错误． 4．（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，，再判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）已知，，且，则的值等于（   ） A．9或 B．7或 C．3或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的运算． 根据绝对值的意义，有理数的乘方的定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由， 则，， ∴； ，， ∴； 故选：C． 7．（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 8．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 二、填空题 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）点A在数轴上表示的数为，点P从数轴上点A处开始，向左移动5个单位长度到达点B．点C与点B的距离为9个单位长度．那么点C表示的数为_______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，先根据点A的位置和移动方向求出点B表示的数，再根据点C与点B的距离求出点C表示的数． 【详解】解：点A表示的数为，点P从点A向左移动5个单位长度到达点B，因此点B表示的数为， 点C与点B的距离为9个单位长度，因此点C表示的数为： 或． 故答案为：2或． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴的动点问题是解题关键． 根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分点B在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】∵点B与原点的距离是个单位长度， ∴点B表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点A表示的数为或； 故答案为：或． 11．（2026·江西赣州·一模）一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 12．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【答案】4或或0 【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 13．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为，每段直道长度为21cm，半圆形弯道的直径为18.5cm，该体育场实际跑道长度约为______m（注：取的值为3.14，最后结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的周长，比例尺，近似数等知识﹒根据跑道长度等于直道长度加上两个半圆形弯道长度，结合比例尺列出算式，进行计算，最后进行单位换算并取近似值即可求解﹒ 【详解】解： ﹒ 故答案为：400 14．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【分析】根据所给定义先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 则． 15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 16．（2026·浙江·模拟预测）阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 三、解答题 17．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算除法和乘法，再计算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方及括号内的算式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值，再计算乘除，最后计算加法即可； （3）先把小括号内的式子通分并计算，再计算除法即可； （4）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， (1)第个式子是___________； (2)请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； (3)请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 20．（25-26七年级上·四川广元·期末）某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 【答案】(1)克 (2)克 (3)元 【分析】（1）先找到最重、最轻对应的质量差值，再用最重差值减去最轻差值，求出重量差． （2）先算出20盒铅笔的标准总质量，再计算所有盒数对应的质量偏差总和，标准总质量加上偏差总和得到实际总质量． （3）先计算全部销售总收入，再根据实际总质量算出生产总成本，利用盈利=总收入‑总成本求出盈利． 【详解】（1）解：（克）， 答：最重的一盒比最轻的一盒重7克． （2）解：（克） （克）， （克）， 答：这20盒铅笔的实际总质量是1002克． （3）解： （元）， （元）， （元）， 答：刘师傅一共盈利179.9元． / 学科网（北京）股份有限公司 $