第1章 一元二次方程 达标练习卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册第1章一元二次方程达标练习卷，适用于单元复习，通过基础题、情境应用题及创新探究题，全面考查概念、解法与应用，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|概念（1题）、判别式（2题）、应用（4题足球比赛）|生活情境建模，如单循环比赛场次计算| |填空题|6题|开放题（11题写方程）、行列式新定义（14题）、增长率（15题AI投入）|时代素材融入，如AI投入增长列方程| |解答题|5题|解法（17题）、销售问题（18题）、几何应用（20题车棚面积）、根与系数关系探究（21题）|综合创新，如车棚面积最值分析、构造方程探究参数关系|

第1章一元二次方程达标练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 3．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 4．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 6．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 7．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 8．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 9．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 12．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 13．若关于的一元二次方程有不相等实数根，则的取值范围是______． 14．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 15．生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 16．如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，若，，则________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 20．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 21．在数学研究课上，小明发现了一个有趣的现象：有些看似和一元二次方程不沾边的问题，只要巧妙构造一元二次方程，利用根与系数的关系就能轻松解决．他随即抛出了两个问题，邀请同学们一起探究． (1)若实数，满足，，求的值； (2)若实数，满足，，且，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程达标练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C A A A A C B 1．D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．C 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式． 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式． 综上，根的判别式的值为非负数． 3．D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 4．C 【详解】解：设参赛的足球队个数为个， 由题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 5．A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 6．A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 7．A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 9．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 10．B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 11．（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 12． 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 13． 【分析】根据一元二次方程判别式与根的情况关系，由题意得到判别式大于，代入方程系数计算后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有不相等实数根， ，，， ∴，解得． 14．或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 15． 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元，列出方程即可． 【详解】解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据题意得： ． 16． 【分析】根据题意，得，设，根据勾股定理，得，继而求得，根据勾股定理，得，故，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， ， ∴， ∴，， ∴， 解得，负的舍去，线段长不能为负， ∴， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得或，负的舍去，线段长不能为负， 故, 故； 17．(1) (2)， 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或， 解得，． 18．(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 20．(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 21．(1)23或2 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据根与系数的关系进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）、满足， ①当时，原式； ②当时，、可看作是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 或2． （2）将方程两边同乘以2得：， 实数，满足：，且， 、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ，，， 又，是方程的两个不相等的实数根， 方程根的判别式，解得， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $