第1章 一元二次方程 单元检测卷 2026—2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册一元二次方程单元培优卷，以2026世界杯、乒乓球运动等时代情境为载体，覆盖方程定义、解法、根的判别式及几何综合，适配单元复习，提升运算与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题40分|定义（第1题）、配方法（第2题）、根与系数关系（第4题）|世界杯小组赛情境（第3题），基础概念与能力提升结合| |填空|4题20分|参数取值（第11题）、根的应用（第12题）、二阶行列式（第14题）|几何与方程综合（第13题），新定义渗透抽象能力| |解答|6题60分|解法（第15题）、增长率问题（第16题）、勾股方程（第19题）、几何动态（第20题）|乒乓球运动实际应用（第16题），梯度设计提升推理与应用意识|

第1章一元二次方程单元检测卷培优卷苏科版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 5．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 6．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 7．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 9．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 10．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 12．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 13．已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 14．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 16．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 18．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 19．定义：如果实数a、b、c满足，那么我们称一元二次方程（a≠0）为“勾股”方程；二次函数（a≠0）为“勾股”函数． (1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ． ① ② ③ ④ (2)探究：若m、n是“勾股”方程的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系； (3)运用：已知“勾股”函数的图象与x轴的交于A、B两点，且AB＝2，求的值． 20．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B A D D B C C 11．且 12． 13．10 4或 14．或 15．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 16．【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 17．(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 18．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 19．【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程中，a=1，b=0，c=-1， ∵，， ∴， ∴一元二次方程为“勾股”方程； 在方程中，a=1，b=-1，， ∵，， ∴， ∴一元二次方程为“勾股”方程； 在方程中，，，， ∵，， ∴， ∴一元二次方程不是“勾股”方程； 在方程中，a=4，b=3，c=-5， ∵ ，， ∴， ∴一元二次方程为“勾股”方程； 故答案为：①②④； （2） ；理由如下： ∵m、n是“勾股”方程的两个实数根， ∴，， 又根据“勾股”方程的定义，， ∴， 即； 另解：∵m、n是“勾股”方程的两个实数根， ∴ ①，②， 由①、②得：，， 又∵， ∴ ， 即； （3）设，，则， ∵AB＝2， ∴， ∵函数为“勾股”函数， ∴由（2）得：， 可化为， ∴ ， 化简得：， 解得：mn=5或-1， 即=5或-1； 另解：方程的两个根为：， ∴， 可化为， ∵二次函数为“勾股”函数， ∴， ∴ ， 化简得：， 解得：c=5a或-a， 即=5或-1． 20．【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． $