第1章特殊平行四边形达标练习卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册北师大版第1章特殊平行四边形单元复习卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|矩形性质、菱形判定、正方形折叠等|结合图形变换（如折叠）考查空间观念| |填空题|5题|中点四边形、动点最值、正方形面积等|设置动点问题（如菱形中PM+PE最小值）培养推理能力| |解答题|6题|特殊平行四边形证明、剪拼实验、综合探究|通过剪拼矩形（如直角三角形剪拼）和类比探究（如正方形中EF=BE+DF）发展创新意识与模型意识|

第1章特殊平行四边形达标练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列说法不正确的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 2．在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，连接、，，的周长为18，则菱形的面积为（     ） A．12 B．18 C．24 D．54 6．如图，在矩形中，点E是边上的一点，连接分别是的中点，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 7．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所表示的正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知点是角平分线上的一点，，，M是的中点，，如果点是上一个动点，则的最小值为(   ) A．2 B． C．4 D． 10．如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线垂直的四边形的中点四边形是_______________． 12．如图所示，含角的三角尺放置在矩形纸片的内部，三角尺的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则________． 13．如图，正方形的边长为5，点E在上，，的平分线交于点F，则的长为__________． 14．如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是，四边形的面积是，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为______． 15．如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 三、解答题 16．如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 17．四边形是菱形，O为中点，点E在上，点F在上． (1)添加一个条件，使得，并证明； (2)补充什么条件，能让四边形为菱形？写出条件并证明． 18．如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点作的垂线，垂足为点． (1)请用尺规作图，过点作交于点，并证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，如果，，求矩形的面积． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，，，，均在格点上，仅用无刻度的直尺作图： (1)在图①中，过点作线段，使得且； (2)在图②中，分别在线段，上作点，，连接，使且； (3)在图③中，以线段为边画一个面积为的菱形． 20．我们可以对一张直角三角形纸片剪一刀拼成一个矩形．如图1，中，，按如下方式剪拼：分别取和的中点，，将沿剪开，再将绕点旋转得到，即可拼成四边形． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，在中，，，我们可以将剪两刀，拼成一个矩形（不能重叠）．请画出两种剪拼示意图（对裁剪位置进行字母标注及简要说明），并直接写出对应矩形的周长． 21．根据题意解答下列各题： (1)问题背景：如图①，在正方形中，点，分别在，上，且，请直接写出线段，，之间的数量关系：_____________________． (2)猜想类比：如图②，在四边形中，，，点，分别在，上，且，试确定线段，，之间的数量关系，并给出证明； (3)解决问题：如图③，是以为直角的等腰直角三角形，、均在线段上，且，若，，试求线段的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形达标练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C A D B C D 1．B 【分析】依次根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，判断每个选项表述的正误，找出描述错误的选项即为答案． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故A选项不符合题意； B．对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项符合题意； C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确，故C选项不符合题意； D．对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故D选项不符合题意． 2．C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， 又， 为等边三角形， ， ． 3．C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 4．B 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 5．C 【分析】根据菱形的性质得，，再设，则，然后根据勾股定理得，求出，最后根据的面积是得出答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积是． 6．A 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，，， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵点F、G分别为、的中点， ． 7．D 【分析】观察可看出所处的正方形的面积等于直角三角形的短直角边的平方，已知斜边和另一较长的直角边的平方，则不难求得字母所代表的正方形面积． 【详解】解：根据正方形面积与边长的关系可知，图中直角三角形的长直角边的平方为64，斜边的平方为100， 根据勾股定理，该直角三角形的短直角边的平方， ∴字母所代表的正方形面积是． 8．B 【详解】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，，列方程求解即可得到，进而得出点的坐标． 【解答】解：∵矩形纸片中，， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ∴， ∵点在第二象限， 的坐标为． 9．C 【分析】根据题意是角平分线上的点，可知点到边、的距离相等，要想求的最小值，只有与垂直时的值才最小，也就是的最小值等于，根据已知条件求出即可得． 【详解】解：是角平分线上的一点，， ， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， 点是上一个动点， 的最小值为到距离， 的最小值． 10．D 【分析】，过点D作于点M，根据题意，得，当时，此时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解答即可； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 根据函数图象，得当时，过点D作于点M，根据题意，得， 当时，此时， 根据勾股定理，得，， 根据勾股定理，得， 平行四边形， ， 故①②都正确； 当时， ，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形为正方形， 过点D作于点M，交于点N， 则，四边形是矩形， 设，点D到的距离为， ∴， 解得， 故当时，四边形为正方形， 故③正确； 当时，点E是的中点，设与的交点为N， 设，点D到的距离为， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为； 故④正确； 11．矩形 【分析】利用三角形中位线定理先证明中点四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线垂直的条件，证明平行四边形有一个内角为直角，即可判定中点四边形的形状． 【详解】解：如图所示，在四边形中，对角线，分别为的中点， ∵ ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴ 同理可得， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵，，， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 12． 【分析】根据长方形的性质可得，，利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而求出，然后根据平行线的性质可得，从而求出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 由三角尺可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．/ 【分析】延长到，使，连接，由证得得出，然后得出，则，由勾股定理求得，便可求得，进而求得即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 又∵， ， ， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ∴ ． 14． 【分析】根据图形可知，四边形的面积等于中间阴影正方形的面积加上甲、乙、丙、丁四个长方形面积的一半，据此求出阴影部分的面积，进而求出大正方形的面积及边长，根据周长公式得到甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为正方形的周长的倍，即可得出结果. 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴正方形的周长， ∴甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和． 15． 【分析】作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P，由知最小值为的长，利用菱形的面积列式求解可得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P， 此时取得最小值，最小值为的长， 四边形是菱形， 点在上， ， ， ， 由， 得 解得， 即的最小值是． 16．(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 17．(1)添加条件：． 证明：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ； (2)补充条件：为中点，为中点， 证明：四边形是菱形，是中点，分别为中点， 分别是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 又 菱形中， ， 平行四边形是菱形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，进而根据全等三角形的判定添加条件即可； （2）可以补充条件：为中点，为中点，利用三角形的中位线定理以及菱形的判定可求解． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) 作图如下， 证明：四边形为菱形， ， 是边的中点， 为的中位线， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形； (2)矩形的面积为24 【分析】（1）以点E为圆心，为半径作弧，交于点H，以点A和点H为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点I，连接直线，交于点F，此时点即为所作；由菱形的性质可得，证明为的中位线，则，再结合矩形的判定定理证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理得出，由直角三角形的性质可得，由等面积法得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ，，，， ， 是边的中点， ， ， ， 矩形的面积为． 19．(1)线段如图所示： (2)线段如图所示： (3)菱形如图所示： 【分析】（1）取点上方4个单位处的格点，即为所求点； （2）取线段，的中点即为所求的点，，连接即可； （3）取点下方4个单位处的格点，即为所求点，取点左侧6个单位处的格点，即为所求点． 【详解】（1）解：如图， 由网格可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴且； （2）解：如图， 由网格可知，，，， ∴点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴且； （3）解：由网格可知，，，， ∴四边形是菱形， ∴． 20．(1)证明：点和点分别是和中点， ，． 绕点旋转得到， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． (2)方案1：示意图如图1，取的四等分点，，，再分别取，中点，，沿，剪开．矩形周长． 方案2：示意图如图2，分别取，的中点，，连结，再取中点，沿，剪开．矩形周长． 【分析】（1）先利用中位线的性质可得，，即可利用旋转的性质证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）结合题意，得出不同的拼接方法，再计算周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：方案一：如图，连接， ，取的四等分点，，， ，， ， 是的中点， ， ， 矩形的周长为； 方案二：如图， ，取，的中点，， ，， 取中点， ， ， ， 根据拼接可得 矩形的周长为． 21．(1) (2) 证明：延长至点，使得， ∵,， ∴． 在和中， ， ∴，      ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）延长至点，使得，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）过点作,且使得，连接，，证明，则，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，，    在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．       在和中， ， ∴， ∴，           ∴， 即． （2）略 （3）解：过点作，且使得，连接，； ∵是等腰直角三角形,， ，， ∴， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由第（2）问同理可证：， ∴． 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $